Simulations

4.2.5.1 Identification d’un modèle cubique sans mémoire à l’aide de signaux PAM

Considérons le système sans mémoire décrit par la relation suivante :

y_{(n) = 1.3u(n) − 0.5u}2(n) + 0.16u3(n) + w(n)

L’entrée est une séquence PAM-4, i.i.d, centrée et de variance unité. Les résultats ci-dessous sont obtenus en moyennant vingt expériences indépendantes pour chaque nombre de données N et chaque rapport signal à bruit. Le bruit additif w(n) est blanc

et gaussien.

Comme on peut le remarquer sur la figure 4.2 deux types de bruit sont mis en évi- dence : le bruit additif gaussien et l’erreur d’estimation des moments due au nombre de données utilisées pour l’estimation des moments nécessaires à notre algorithme. En effet, la procédure d’orthonormalisation nécessite des statistiques exactes. Or, celles-ci ne sont approchées que lorsque le nombre de données est important. Il est à noter que le défaut d’estimation de ces statistiques est noyé dans le bruit additif lorsque celui- ci est important. C’est ce qui explique que pour un rapport signal à bruit inférieur à 20dB les performances ne s’améliorent que très peu malgré l’augmentation significa- tive du nombre de données. Par contre pour un bruit plus faible l’effet d’augmenter le nombre de données se fait davantage ressentir sur l’estimation des statistiques et donc sur l’estimation des paramètres du modèle.

5 10 15 20 25 30 35 40 −45 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 SNR (dB) EQMN (dB) N= 1000 N= 4000 N= 8000 N= 12000 N= 16000

FIG. 4.2 – EQMN en fonction du rapport signal à bruit pour un modèle cubique sans mémoire

Dans le tableau 4.2 nous comparons l’erreur quadratique moyenne normalisée résul- tant de la méthode proposée dans la section 4.2.2 avec celle résultant d’une estimation au sens EQMM classique, i.e. nécessitant l’inversion de la matrice d’autocorrélation. Nous pouvons constater que les performances sont identiques. Notre méthode présente

SNR (dB) 5 15 25 35

Méthode Classique (dB) -6.474 -15.519 -25.340 -35.401 Méthode Orthogonale (dB) -6.493 -15.490 -25.300 -34.649

TAB. 4.2 – Comparaison avec la méthode EQM classique dans le cas d’un modèle

cubique sans mémoire(N= 12000)

l’avantage d’être moins coûteuse en temps de calcul, puisqu’aucune inversion matri- cielle n’est requise.

4.2.5.2 Identification d’un modèle cubique à l’aide de signaux PAM

Considérons le modèle de Volterra cubique représentant un canal non-linéaire formé par la mise en cascade d’un canal linéaire et d’une partie non-linéaire respectivement représentées par : H(z) = 0.35 + 0.87z−1+ 0.35z−2 et P_{(u) = 0.99u − 0.35u}3. Nous

4.2. Bases de polynômes orthogonaux multivariables

considérons l’identification de ce canal à l’aide d’une séquence PAM-4, i.i.d. de va- riance unité. Pour chaque niveau de bruit, 50 expériences indépendantes sont menées. Les résultats obtenus sont donnés par la figure 4.3.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 SNR (dB) EQMN (dB) N= 1000 N= 4000 N= 8000 N= 12000 N= 16000

FIG. 4.3 – EQMN en fonction du rapport signal à bruit

Dans le tableau 4.3, nous montrons une comparaison avec la méthode d’estimation classique au sens EQMM et la méthode proposée par [131] dont un résumé est donné en annexe D.1.

SNR (dB) 5 15 25 35

Méthode Classique (dB) -6.196 -15.148 -25.016 -34.997 Méthode de Tseng et Powers (dB) -6.186 -15.113 -24.686 -32.536 Méthode Orthogonale (dB) -6.180 -15.105 -24.228 -30.258

TAB. 4.3 – EQMN pour une entrée PAM-4 (N= 16000)

Méthode classique orthogonale Nombre condition 70.416 1.095

TAB. 4.4 – Conditionnement de la matrice des moments de l’entrée d’un modèle de Volterra cubique pour une entrée PAM-4

Nous pouvons constater que les résultats donnés par les trois méthodes sont similaires. Il est à noter que la méthode classique requiert l’ inversion d’une matrice carrée d’ordre 13, ce qui équivaut à un coût de calcul d’ordre O(133_{) tandis que les deux autres mé-}

thodes n’en nécessitent point. Par ailleurs l’avantage de la méthode orthogonale est de donner des expressions analytiques des paramètres optimaux plus simples que celles de la méthode [131]. Ces expressions étant données par les équations (4.30). A titre indicatif nous avons estimé la matrice des moments de l’entrée puis évalué son nombre condition. Comme l’atteste le tableau 4.4, la matrice des moments est mieux condition- née dans la méthode orthogonale.

Nous pouvons noter une nette amélioration du conditionnement numérique de la ma- trice des moments. Voyons à présent comment cela se traduit dans une estimation adap- tative à l’aide de l’algorithme LMS. Le rapport signal à bruit est fixé à 30 dB, une évaluation des performances, de type Monte Carlo, est réalisée avec 100 expériences indépendantes. Le pas d’adaptation de l’algorithme LMS est fixé ൠ= 0.08.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Nombre d’itérations Erreur quadratique (1) (2)

FIG. 4.4 – Erreur quadratique d’estimation d’un modèle cubique : (1) LMS, (2) LMS

basé sur le formalisme des polynômes orthogonaux

Comme prévu par la théorie, l’algorithme LMS utilisant des données transformées par les polynômes orthogonaux, converge bien plus rapidement que l’algorithme standard.

4.2. Bases de polynômes orthogonaux multivariables

4.2.5.3 Identification d’un modèle de Volterra passe-bande d’ordre trois à l’aide de signaux QAM

Nous considérons l’identification d’un canal satellitaire en considérant les mesures de coefficients des noyaux de Volterra effectuées par [8]. Les seuls coefficients non nuls du modèle d’ordre trois sont donnés par le tableau 4.5 :

Noyau d’ordre 1 Noyau d’ordre 3

h1(0) = 3.4 + 0.381 j h3(0, 0, 0) = −4.926 + 1.741 j h3(0, 1, 1) = −0.230 + 0.081 j h1(1) = 0.052 + 0.006 j h3(0, 0, 1) = 0.194 − 0.068 j h3(0, 2, 0) = −0.056 + 0.020 j h1(2) = −0.048 − 0.005 j h3(0, 0, 3) = −0.192 + 0.068 j h3(0, 3, 0) = −0.384 + 0.136 j h1(3) = 0.178 + 0.020 j h3(0, 1, 0) = 0.388 − 0.137 j h3(0, 3, 3) = −0.033 + 0.029 j h3(1, 1, 0) = −0.115 + 0.041 j h3(1, 1, 1) = −0.105 + 0.037 j h3(2, 2, 2) = 0.074 − 0.026 j h3(3, 3, 0) = −0.041 + 0.015 j

TAB. 4.5 – Coefficients du modèle de Volterra d’ordre trois représentant un canal satel-

litaire

Nous utilisons une entrée de type QAM-16, i.i.d. Pour chaque niveau de bruit, 50 ex- périences indépendantes sont menées. Les résultats obtenus sont donnés par la figure 4.5. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 SNR (dB) EQMM (dB) N= 1000 N= 4000 N= 12000 N= 16000

FIG. 4.5 – EQMN en fonction du rapport signal à bruit pour une entrée de type QAM- 16

Nous retrouvons le même type de comportement que dans le cas des signaux à valeurs réelles. La même adéquation est aussi observée en comparant avec la méthode classique et celle proposée par [129]3, (voir le tableau 4.6). Il en est aussi de même pour le conditionnement numérique (tableau 4.7) dont l’amélioration est davantage marquée.

SNR (dB) 5 15 25 35

Méthode Classique (dB) -6.199 -15.150 -25.019 -35.005 méthode de Cheng et Powers (dB) -6.193 -15.018 -23.954 -29.233 Méthode Orthogonale (dB) -6.185 -15.023 -23.959 -29.258

TAB. 4.6 – EQMN pour une entrée QAM-16 (N= 16000)

Entrée Méthode classique Méthode orthogonale QAM-16 6_{.146 × 10}3 1.146

QAM-64 9_{.15 × 10}4 1.144

TAB. 4.7 – Conditionnement de la matrice des moments de l’entrée d’un modèle de Volterra cubique ; entrée de type QAM-16 et QAM-64

Remarque 4.5 La méthode orthogonale que nous avons proposée se distingue de celles

de Tseng et Powers ( [129, 131]), tant dans le cas complexe que réel, par la simplicité des équations d’une part et surtout par le fait qu’elle améliore le conditionnement nu- mérique de la matrice des moments de l’entrée. Ce point particulier motive le recours au formalisme des bases de polynômes orthogonaux pour accélérer la convergence des algorithmes adaptatifs.