Un signal de vitesse du vent peut être synthétisé en employant l’Équation (2.72), proposée originalement par Shinozuka (1971). Elle figure aussi dans le travail de Bierbooms (2009) :
L’intervalle de fréquences entre n1 et nM est discrétisé en M −1 sous-intervalles de largeurs(∆n)j =nj+1−nj. Chaque fréquencenj correspond à une valeurUj de la fonction de densité spectrale de puissance. u est la valeur moyenne de la vitesse du vent et ϕj est
un angle de phase aléatoire qui se distribue uniformément dans l’intervalle entre 0 et 2π radians.
Un exemple peut clarifier l’emploi de l’Équation (2.72). Supposons que l’on dispose d’une liste de vitesses moyennes du vent. Chaque entrée de cette liste représente la vitesse moyenne du vent sur une période d’une heure. On souhaite synthétiser un historique de vitesses possédant des harmoniques jusqu’à la fréquence de 1/5 Hertz. Dans ce cas, il faut générer une fonction de Shinozuka (Équation (2.72)) pour chaque période d’une heure.
Cela équivaut à dire que l’on doit générer un nouvel ensemble de variables aléatoires ϕj pour chaque période d’une heure. Bien qu’en langage mathématique cet ensemble de variables aléatoires ne soit pas un vecteur, en langage de programmation il est convenable de l’exprimer comme s’il en était un : [ ϕ1 ϕ2 . . . ϕj . . . ϕM−1 ϕM ]. Chaque entrée de la liste originale de vitesses représente u dans l’Équation (2.72). Dans cet exemple, la fréquence n1 est égale à 1/3600 Hertz et la fréquence nM est égale à 1/5 Hertz.
Les méthodes classiques d’estimation spectrale permettent que le signal soit statistiquement décrit dans l’intervalle de fréquences inférieures à la moitié du taux d’échantillonnage (Wijnants et al., 2013). Cela étant, afin que le signal synthétisé avec l’Équation (2.72) contienne effectivement les données statistiques correspondantes aux fonctions harmoniques dans l’intervalle de fréquences entre n1 et nM, le taux d’échantillonnage doit être égal ou supérieur à 2nM.
Chapitre 3
Chargements sur
une structure éolienne
3.1 Coefficient de pression
La distribution de pression et la distribution de contrainte de cisaillement sont les seules données nécessaires pour évaluer les forces et les moments qui agissent sur la surface extérieure d’un corps aérodynamique immergé dans l’écoulement d’un fluide. La pression et la contrainte de cisaillement agissent respectivement dans la direction normale et tangent à la surface, comme le montre la Figure 3.1.
p(s) s u∞
τ(s)
Figure 3.1 – Vecteurs des forces associées à la pression et à la contrainte de cisaillement autour d’une aile (Anderson, 2001).
Le coefficient de pression et le coefficient de friction sont les paramètres adimensionnels qui permettent d’évaluer respectivement la distribution de pression et la distribution de contrainte de cisaillement autour de la surface. Le coefficient de pression est défini par l’Équation (3.1) (Anderson, 2001) :
cp(x, y, z) = pst(x, y, z)−pst,∞ ρ∞u∞2
2
= p(x, y, z)
pd,∞ (3.1)
où pst(x, y, z)est la pression statique totale qui agit localement sur le point de la surface etpst,∞ est la pression statique sur un point lointain de la surface. La pression dynamique pd,∞ est donnée par (1/2)ρ∞u∞2. Si l’écoulement est incompressible, la valeur maximale du coefficient de pression est 1,0 et cela a lieu sur le point de stagnation, dont la définition
est donnée dans le Chapitre 1. Pour un écoulement compressible, cp peut dépasser 1,0 sur le point de stagnation. La différence de pression statique p(x, y, z) = pst(x, y, z)−pst,∞
est celle qui représente le chargement du vent sur une structure.
Lorsque l’écoulement est incompressible, le coefficient de pression peut être évalué selon (Anderson, 2001) :
cp(x, y, z) = 1−
[u(x, y, z) u∞
]2
(3.2)
3.1.1 Coefficient de pression autour d’un cylindre
Le nombre de Reynolds de l’écoulement externe transversal d’un fluide autour d’un cylindre est donné par (Anderson, 2001) :
Re= ρ∞u∞2Rm
µ∞ (3.3)
où u∞, ρ∞ et µ∞ sont respectivement la vitesse, la densité et la viscosité dynamique du fluide dans une région distante du cylindre de rayon Rm.
Selon Fox & McDonald (2011), l’air a une viscosité dynamique de1,81·10−5 N.s/m2 lorsqu’il se trouve à une pression de 101,3 kPa et une température de 20 degrés Celsius.
Dans ces mêmes conditions, la densité de l’air est de 1,21 kg/m3.
Angle ξ [ Degrés ] Coefficient de pression cp
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
1 0,5 0
−0,5
−1
−1,5
−2
−2,5
Direction de l'écoulement ξ
Re = 140 000 Re = 7,6.106 Re = 530 000
Figure 3.2 – Coefficient de pression autour d’un cylindre en fonction de la coordonnée angulaire et du nombre de Reynolds (Cantwell & Coles (1983), Spitzer (1965), van Nunen (1974)).
La Figure 3.2 montre la variation du coefficient de pression en fonction de la position angulaire par rapport au point de stagnation, pour trois valeurs représentatives de nombre
de Reynolds. Elle est similaire à celle qu’on trouve dans le travail de Roshko (1961). Les courbes correspondantes à Re= 140 000, Re= 530 000et Re= 7,6·106 ont été déterminées respectivement par Cantwell & Coles (1983), Spitzer (1965) et van Nunen (1974). Pour la courbe dont le nombre de Reynolds est de 140 000, le coefficient de pression est zéro à l’angle ξ= 36°.
La chute du coefficient de traînée lorsque le nombre de Reynolds se trouve entre 2·105 et 5·106 dans le graphique de la Figure 3.3 est consistent avec le comportement des graphiques de la Figure 3.2. Pour ξ > 120° (dans la partie arrière du cylindre), on peut espérer que |cp(Re= 530 000)| sera inférieur à|cp(Re= 140 000)|, puisque la traînée s’affaiblit lorsque le nombre de Reynolds évolue de 140 000 à 530 000. On peut espérer aussi que|cp(Re= 7,6·106)|sera supérieur à|cp(Re= 530 000)|, puisque la traînée tourne à augmenter lorsque le nombre de Reynolds évolue de 530 000 à 7,6·106. Dans la région oùξ est proche de90°, une partie considérable de la force aérodynamique ne produit pas de traînée en raison de sa direction.
Nombre de Reynolds
10−1 100 101 102 103 104 105 106 107 10−1
100 101 102
cd
Figure 3.3 – Coefficient de traînée cd d’un cylindre, en fonction du nombre de Reynolds (Tritton, 1988).
Dans le cas d’un cylindre vertical, si la vitesse du fluide varie avec la hauteur z, l’Équation (3.1) peut être récrite de la façon suivante :
p(z, ξ) =cp(ξ)ρ∞u∞2(z)
2 =cp(ξ)pd,∞(z) (3.4)
où la pression pest celle qui doit être considérée comme chargement structurel.