Nous avons vu que les instabilités centrifuges qui se développent dans l'écoulement intra-cavitaire pouvaient mener à la sélection de deux familles de modes : l'une propagative et l'autre quasi-stationnaire. A n de véri er l'eet de possibles biais expérimentaux sur les mesures expérimentales, nous considérons ici un écoulement de cavité ouverte carrée produit dans des simulations numériques directes en présence de parois latérales rigides. Les simulations numériques ont été réalisées au LIMSI par Y. Fraigneau sur une cavité ouverte pour le cas particulier S/D = 6 et L/D = 1 et ReD = 4 230 en régime incompressible. Le code OLORIN, développé au LIMSI, a été utilisé pour résoudre les équations de Navier-Stokes incompressibles isothermes et instationnaires, sur un maillage de 256 × 128 × 128 points avec une approximation du second ordre en espace et en temps. Le maillage est ra né près des parois ainsi qu'au niveau de la couche cisaillée et les conditions aux limites sont des conditions de non glissement. Les itérés du champ de vitesse sont sauvegardés avec un pas en temps de 0.033 s. Pour plus d'information sur les paramètres numériques, le lecteur est renvoyé à Pastur et al. (2013).
3.4.1 Dynamique spatio-temporel
Le champ de vitesse longitudinal moyen à l'amont de la cavité (x/D = 0) est représenté sur la gure 3.52.a. Nous pouvons constater une augmentation de la vitesse près des parois latérales et haute, due au développement des couches limites visqueuses et au con nement de l'écoulement par les parois du domaine. La vitesse de référence est prélevée en y/D = 0.8 soit la même position que celle utilisée pour mesurer Ue dans les expériences. La gure 3.52.b représente le pro l de vitesse longitudinal moyen en x/D = 0 et z/D = 0 et la vitesse de référence est Ue = 1.295 m/s.
Le diagramme spatio-temporel de la gure 3.53 est réalisé sur Ux(z, t) en x/D = 0.25 et y/D = −0.6. La ressemblance avec les diagrammes expérimentaux est saisissante. On constate une organisation spatiale périodique des structures de Taylor-Görtler. Les structures dérivent vers la gauche pour −3 < z/D < 1, 5 et vers la droite pour 1, 5 < z/D < 3, séparées par un point source en z/D = 1.5. La dérive vers la paroi
Figure 3.53 Diagramme spatio-temporel construit sur le champ de vitesse longitudinal dans le plan (z,x) en x/D = 0.25 et y/D = −0.6 issu des simulations numériques directes de Y. Fraigneau.
latérale gauche s'eectue avec une célérité de l'ordre de 1.4 mm/s (c/Ue= 0.011) tandis qu'à droite de la source, la vitesse de dérive atteint 1.7 mm/s (c/Ue= 0.013).
La longueur d'onde des structures varie selon la position le long de l'envergure : elle atteint 0.8 D près du point source contre 0.6 D pour le reste de l'envergure. Ces longueurs d'onde sont du même ordre de grandeur de celles obtenues expérimentalement. Nous pouvons également remarquer une augmentation de la longueur d'onde près des parois latérales associée à une accélération de la dérive, qui atteint une vitesse de 5 mm/s. Le nombre de Strouhal associé à la dérive des structures sur la gauche est donc d'ordre St = c/λ D = 0.002, soit un nombre de Strouhal voisin de celui identi é dans nos
Figure 3.54 Transformée de Fourier bidimensionnelle du diagramme spatio-temporel de la gure 3.53.
quasi-stationnaire identi é sur le diagramme spatio-temporel ainsi que dans nos mesures expérimentales. La forte amplitude associée au nombre de Strouhal aux longueurs d'onde 0.8 < λ/D < 1.8, correspond probablement à la dérive quasi verticale identi ée en
z/D = 1.5, donc au niveau du point source, sur le diagramme spatio-temporel de la gure 3.53. D'autres longueurs d'onde et nombre de Strouhal apparaissent mais sont associées à des amplitudes plus faibles et contribuent moins à la dynamique.
3.4.2 Eet des bords latéraux
Les parois latérales ont un impact sur l'écoulement intra-cavitaire moyen. En eet, un système composé d'un écoulement tournant au-dessus d'un disque xe in ni, génère un écoulement secondaire le long de l'axe de rotation. Loin de la paroi, la force centrifuge est en équilibre avec le gradient de pression. Proche de la paroi, la condition de non
glissement impose une composante de vitesse nulle si bien que la force centrifuge y est négligeable et l'écoulement radial est orienté vers l'axe de rotation. Par continuité, un double écoulement orienté le long de l'axe de rotation est généré : il s'agit de l'écoulement secondaire dû à la couche limite de Bödewadt créé à la paroi. Dans notre système, les parois latérales jouent le rôle du disque (in) ni et la recirculation principale correspond à l'écoulement tournant. A n d'identi er la dynamique complète le long de l'envergure, nous présentons sur la gure 3.55 des champs de vitesse instantané et moyen dans un plan horizontal en y/D = −0.6. Dans cette représentation, les structures tourbillonnaires contra-rotatives sont visibles à l'amont et à l'aval de la cavité conformément aux résultats expérimentaux (cf gure 3.55.a). On remarque aussi sur le champ de vitesse instantané une zone de ré-injection de uide près des bords latéraux vers le centre de la cavité : il s'agit de la grande zone rouge à gauche de la gure et de la zone bleue à droite, centrées sur x/D = 0.5. Ces zones concernées par la réinjection de uide rappellent la forme en chevrons identi ée sur les visualisations de fumée, comme illustré sur la gure 3.2.a. Des zones d'aspiration de uide proches des parois latérales apparaissent près des parois amont et aval de la cavité. Sur le champ de vitesse transverse moyen, les structures
a)
b)
Figure 3.55 Champ de vitesse transverse en y/D = −0.6 pour L/D = 1 et S/D = 6 issu de la simulation numérique directe de Y. Fraigneau : a) champ instantané, b) champ moyen.
tourbillonnaires sont gommées, seules subsistent les couches limites latérales et les ré-injections de uide depuis les bords vers le centre de la cavité. Les vitesses près des parois latérales sont de l'ordre de 10 mm/s (cB/Ue = 0.008) ( gure 3.55.b). Pour les deux champs, nous pouvons remarquer un résultat surprenant : la dissymétrie du champ de vitesse moyen semble moins prononcée que la dissymétrie observée sur le diagramme spatio-temporel de la gure 3.53. Ainsi, le plan de séparation moyen des recirculations secondaires moyennes est situé en z/D ≈ 0. Rappelons toutefois que les écoulements de recirculation résultent d'un eet des parois, tandis que la dissymétrie observée sur le diagramme spatio-temporel résulte de la dynamique non-linéaire d'ondes propagatives droite et gauche.
Il est toutefois intéressant de regarder de plus près la distribution de vitesse du champ transverse moyen, que l'on moyenne sur les lignes 0 ≤ x/D ≤ 0.25 :
¯ Uz = 1 xM Z xM 0 ¯ Uz(x, z)dx
Figure 3.56 Pro l de vitesse transverse moyen en y/D = −0.6, moyenné sur le domaine 0 ≤ x/D ≤ 0.25 pour L/D = 1 et S/D = 6.
points sources où si ces points sources sont créés à cause de la forme du champ moyen. La vitesse transverse moyenne ¯Uz dans le domaine −1 ≤ z/D ≤ 1 atteint 2.0 mm/s (cB/Ue = 0.0015). Nous avons vu que la vitesse de l'onde propagative gauche dans ce domaine est de l'ordre de 1.5 mm/s (cB/Ue = 0.0012) pour les résultats numériques et de l'ordre de 2.0 mm/s (cB/Ue = 0.0017) dans une expérience à ReD = 4 000. La composante transverse du champ moyen est donc du même ordre de grandeur que la dérive des ondes. Le champ moyen pourrait donc être à l'origine de la dérive des structures.
En cavité carrée, le mode critique issu des analyses de stabilité linéaire est stationnaire, Brès et Colonius (2008), Albensoeder et al. (2001), Meseguer-Garrido et al. (2011). Nous avons identi é dans les écoulements expérimentaux et numériques en présence de bords latéraux rigides, un mode quasi-stationnaire. De toute cette analyse, il ressort que ce mode quasi-stationnaire est vraisemblablement un mode stationnaire sélectionné par l'écoulement dont la lente dérive provient des écoulements de recirculation secondaires induits par les couches limites de Bödewadt près des parois latérales.