Simulation de lois uniformes par rejet

u₁ ^cos 2 (2πu2) + ^2π u₁ ^sin 2 (2πu2) = ^2π u₁^.

Pour exprimer u₁ en fonction de (x, y), on remarque que x²+y² =−2 lnu₁, d’où u₁ = exp −(x2+y2)/2 et Jac(g⁻¹)(x, y)= ¹ 2π ^exp − ^x 2+y2 2 . Finalement la densité du couple (X, Y) est donnée par

f_X,Y(x, y) = ¹ 2π ^exp − ^x 2+y2 2 1_D0(x, y).

Comme1D0 et1_R2 ne diffèrent que sur le singleton{(0,0)}qui est un ensemble de mesure nulle, (X, Y) admet aussi pour densité6 _f˜

X,Y(x, y) = (2π)⁻1exp −(x2+y2)/2 qui est la forme classique de la densité d’un couple de v.a. i.i.d. N(0,1). Donc X et Y sont gaussiennes N(0,1)indépendantes.

2.4 Algorithmes de rejet

La méthode du rejet (appelée aussi d’acceptation-rejet) peut être décrite abstrai-tement comme suit. On suppose que l’on sait générer un vecteur aléatoire M₁ de _Rd

suivant une certaine loi µ. On génère alors l’un après l’autre, les vecteurs de la suite i.i.d. M₁, . . . , M_n, . . . en s’arrêtant au premier d’entre eux qui vérifie une certaine condi-tion (H₀). Soit T l’indice (aléatoire) correspondant. On a ainsi fabriqué un vecteur (doublement) aléatoire MT. Comme T est aléatoire, la loi de ce vecteur n’est pas celle deM₁, c’est une nouvelle loiν. Si la simulation deM₁ et le test de (H₀)sont facilement programmables, on dispose ainsi d’une méthode pour générer un vecteur aléatoire de loi ν. Nous allons voir comment fonctionne ce principe général d’abord pour la simula-tion d’un vecteur aléatoire de loi uniforme sur un borélien de _Rd, puis pour celle d’un vecteur aléatoire de densité connue et enfin pour simuler certaines lois discrètes.

2.4.1 Simulation de lois uniformes par rejet

Commençons par rappeler la définition de la loi uniforme sur un borélien.

Définition 2.10. Soient (Ω,F, P) un espace probabilisé et B un borélien de _Rd tel que

0 < λd(B) < +∞, λd désignant la mesure de Lebesgue sur _R^d. Le vecteur aléatoire M : Ω → _Rd suit la loi uniforme sur B si sa loi P_M est la probabilité uniforme sur B, c.-à-d.

∀A∈Bor(_R^d), P_M(A) = P(M ∈A) = ^λd(A∩B)

λ_d(B) ^{. (2.13)}

Rappelons aussi que si le vecteur aléatoire M de _Rd suit la loi uniforme sur B, il admet pour densité

f_M = ¹ λd(B)^1B.

À partir d’une variable U de loi uniforme sur [0,1], on fabrique facilement V de loi uniforme sur [a, b] en prenant V := a+ (b−a)U. On en déduit la construction d’un vecteur aléatoireM = (V₁, . . . , V_d)de loi uniforme sur le pavéB = [a₁, b₁]× · · · ×[a_d, b_d], en prenantV_i :=a_i+ (b_i−a_i)U_i, lesU_i étant i.i.d. de loi uniforme sur[0,1]. En effet la loi P_Vi deV_i a pour densitéc_i1_[ai,bi] avecc_i = (b_i−a_i)⁻1. Les V_i héritent de l’indépendance des U_i puisque V_i = h_i(U_i) avec h_i mesurable. On en déduit que P_M a pour densité la fonction f donnée par

f(x1, . . . , xd) = c11[a1,b1](x1). . . cd1[a_d,b_d](xd) = (c1. . . cd)1[a1,b1]×···×[a_d,b_d](x1, . . . , xd) = λ_d(B)⁻¹1_B(x₁, . . . , x_d),

autrement dit queP_M est la loi uniforme sur B.

En dehors de ce cas particulier où B est un pavé et de ceux qui s’y ramènent par transformation affine, par exemple loi uniforme sur un parallélogramme, la simulation d’un vecteur aléatoire de loi uniforme sur un borélien demande un peu plus de travail. L’algorithme du rejet est souvent une bonne solution à ce problème. On suppose que

B M₁

M₂ M_T

Fig. 2.2 – Simulation par rejet de la loi uniforme sur B, ici T(ω) = 3

l’on sait générer un vecteur aléatoire M₁ de loi uniforme sur un borélien C contenantB (c’est le cas notamment lorsqueB estborné en prenant pourC un pavé assez grand). On génère alors séquentiellement les vecteurs i.i.d.M₁, . . . , M_n, . . . en s’arrêtant au premier d’entre eux qui vérifie la conditionM_i ∈B. Soit T l’indice (aléatoire) correspondant. T est donc le numéro du premier point « tombé » dans B. Alors le vecteur aléatoire M_T suit la loi uniforme sur B.

La justification de cet algorithme repose sur le résultat suivant, qu’il est commode d’énoncer dans un cadre un peu plus général.

Proposition 2.11. Soit(M_n)n∈_N∗une suite de vecteurs aléatoiresΩ→_Rd, indépendants et de même loi µ. Soit B un borélien de _Rd tel que µ(B)>0. Pour tout ω∈Ω, on pose

avec la convention inf∅= +∞. On définit M_T : Ω→_Rd par MT(ω) :=

(

M_T(ω)(ω) si T(ω)<+∞, 0 si T(ω) = +∞. Dans ces conditions,

a) P(T < +∞) = 1 et T⁰ := T1{T <₊∞} est une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p=µ(B).

b) M_T est un vecteur aléatoire de loi ν donnée par

∀A∈Bor(_R^d), ν(A) =P(M_T ∈A) = ^µ(A∩B) µ(B) ^. Autrement dit, ν est la probabilité conditionnelle µ(. |B).

En particulier lorsque µ est la loi uniforme sur un borélien C contenant B et tel que 0< λ_d(B)< λ_d(C), ν est la loi uniforme sur B.

Preuve du a). L’introduction de T⁰ a pour seul but d’éviter de travailler avec une v.a. à valeurs dans _N. Nous verrons dans un instant que de toutes façons T et T⁰ sont « p.s. égales ». Commençons par justifier la mesurabilité de l’applicationT⁰ : Ω→_N. En raison de la dénombrabilité de _N, il suffit de vérifier⁷ que

∀k∈_N, T⁰⁻¹({k})∈F. (2.14) Si k ∈_N∗, on a{T0 =k}={T =k} d’où {T⁰ =k}={∀i < k, M_i ∈/ B etM_k ∈B}= ∩ 1≤i<kM_i⁻¹(B^c) ∩M_k⁻¹(B), (2.15) tandis que dans le cas particulier k= 0,

{T⁰ = 0}={T = +∞}={∀i∈_N^∗, M_i ∈/ B}= ∩

i∈_N∗M_i⁻¹(B^c). (2.16) Les M_i étant des vecteurs aléatoires dans _Rd, donc mesurables F-Bor(_Rd), l’image ré-ciproque par M_i d’un borélien quelconque de _Rd est un élément de F. Il résulte alors de (2.15) et de (2.16) que T⁰⁻¹({k})est intersection finie ou dénombrable d’éléments de F, ce qui établit (2.14). Ainsi T⁰ est bien une variable aléatoire discrète à valeurs dans N.

Sa loi est caractérisée par les P(T⁰ =k). Posons p=µ(B) =P(M_i ∈B). Si k ∈_N∗, la décomposition (2.15) et l’indépendance des M_i nous donnent

∀k∈_N^∗, P(T =k) = (1−p)^k−1p. (2.17) Calculons P(T⁰ = 0) = P(T = +∞). Par hypothèse µ(B) >0, donc 1−p = µ(Bc) = P M_i⁻¹(Bc) est strictement inférieur à 1. En remarquant que pour tout n ∈ _N∗ on

a l’inclusion ∩i∈_N∗M_i⁻¹(Bc) ⊂ ∩i≤nM_i⁻¹(Bc), on a par indépendance P(T = +∞) ≤ (1−p)ⁿ, d’où en faisant tendre n vers l’infini,

P(T⁰ = 0) =P(T = +∞) = 0. (2.18) D’après (2.17), T⁰ suit la loi géométrique de paramètre p=µ(B).

Preuve du b). Commençons par vérifier queM_T est un vecteur aléatoire, c’est-à-dire une applicationF-Bor(_Rd)mesurable, en montrant queM_T⁻¹(A)∈Fpour toutA∈Bor(_Rd). En partitionnantΩ suivant les évènements {T =k}, on a la décomposition :

M_T⁻¹(A) ={ω ∈Ω; M_T(ω)(ω)∈A}= ∪

k∈_N^∗

{MT ∈A} ∩ {T =k}

.

Cette union étant dénombrable, il suffit de vérifier que chacun de ses termes est un élément de F. Si k ∈_N∗, ceci résulte de la mesurabilité des M_i via la décomposition

{M_T ∈A} ∩ {T =k} = {ω∈Ω; T(ω) =k etM_k(ω)∈A} = ∩

i<k{M_i ∈/ B} ∩ {M_k∈B} ∩ {M_k ∈A} = ∩

i<kM_i⁻¹(B^c)∩M_k⁻¹(A∩B). (2.19) Dans le cas particulierk = +∞,

{M_T ∈A} ∩ {T = +∞}= ∩

i∈_N∗M_i⁻¹(B^c)∩ {M∞∈A}.

M∞étant le vecteur aléatoire constant0,{M∞∈A} vautΩou∅selon que0appartient ou non à A. On a donc une intersection dénombrable d’éléments de F.

Maintenant que nous voilà rassurés sur la mesurabilité de M_T, on peut s’intéresser à sa loi ν que l’on détermine en calculant ν(A) = P(M_T ∈ A) pour A ∈ Bor(_R^d). En partitionnant par les{T =k} et compte-tenu de (2.18), on obtient :

ν(A) = ^X

k∈_N∗

P(M_T ∈A etT =k). (2.20)

La décomposition (2.19) et l’indépendance des M_i nous donnent P(M_T ∈A etT =k) = (1−p)^k−1µ(A∩B), d’où en reportant dans (2.20) et en notant que 0<1−p <1,

ν(A) = µ(A∩B)^X k∈_N∗ (1−p)^k−1 =µ(A∩B) ¹ 1−(1−p) ⁼ µ(A∩B) µ(B) ^.

On a donc bien ν = µ(. | B). Dans le cas particulier où µ est la loi uniforme sur un borélien C contenant B et tel que 0< λd(B)< λd(C), on obtient grâce à (2.13),

∀A∈Bor(_R^d), ν(A) =

λ_d(A∩B∩C) λd(C) λd(B∩C) λd(C) = ^λd(A∩B) λ_d(B) ^, ce qui montre que ν est la loi uniforme sur B.