Simulation 3D de la propagation des ondes sismiques par le code en différences finies

SHAKE3D

II.1

Le code en différences finies SHAKE3D

Nos simulations numériques du mouvement du sol sous sollicitation sismique sont réalisées à l’aide du code en différences finies sur grilles partiellement en quinconce SHAKE3D écrit par Victor M. Cruz-Atienza [Cruz-Atienza & Virieux, 2004 ; Cruz-Atienza, 2006 ; Cruz-Atienza et al., 2007a, 2007b]. Ce code séquentiel permet la propagation de champs d’ondes complets dans un milieu 3D arbitrairement hétérogène comprenant des interfaces et surfaces libres de géométries complexes [Cruz-Atienza et al., 2007b]. Il offre la possibilité d’étudier l’influence de différentes structures 3D et de la variation des paramètres rhéologiques (VP, VS, QP, QS et la densité) sur la réponse sismique en surface et en

profondeur.

Le code est basé sur la discrétisation en différences finies des équations viscoélastiques avec pour variables le tenseur des contraintes et le vecteur vitesse. Ces derniers sont séparés et décalés spatialement l’un par rapport à l’autre dans deux grilles en quinconce [Saenger et al., 2000]. Cette approche partiellement en quinconce est précise et peu coûteuse pour simuler la propagation des ondes en présence d’une topographie de géométrie quelconque [Saenger & Bohlen, 2004 ; Bohlen & Saenger, 2006].

Le modèle est discrétisé de manière régulière dans l’espace, où chaque interface est décrite en attribuant correctement les valeurs des propriétés rhéologiques à chaque nœud de la grille numérique [Cruz-Atienza, 2006]. La surface libre est réalisée par l’attribution des propriétés du vide au-dessus de l’interface, ce qui permet de vérifier la condition de contrainte normale nulle. L’interface entre un solide et un liquide est représentée de façon similaire [Cruz-Atienza et al., 2007b].

Afin d’éviter les réflexions parasites aux limites extérieures du domaine de calcul, des conditions d’absorption de l’énergie sont appliquées dans une couche extérieure sur tous les bords du modèle. Cette couche, appelée PML (Perfectly Matched Layer, développée initialement par Berenger, 1994), simule un demi-espace infini en dissipant l’énergie et en évitant son retour vers l’intérieur du modèle [Cruz-Atienza, 2006].

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Le code SHAKE3D opère au deuxième et au quatrième ordre de précision dans l’espace pour les milieux infinis hétérogènes. Dans le cas d’un demi-espace, les conditions à la surface libre forcent l’utilisation d’opérateurs d’ordre deux afin de préserver la stabilité du calcul [Cruz-Atienza, 2006].

Trois types de source sismique sont possibles : 1/ source isotrope (explosive), 2/ dislocation du milieu (double couple) et 3/ forces de volume. Dans tous les cas la source est ponctuelle et appliquée à l’intérieur du domaine de calcul sur un support spatial gaussien.

II.2

Détermination de la fréquence maximale des signaux calculés

Pour assurer la stabilité du calcul, les méthodes numériques discrètes requièrent un nombre minimal de nœuds de grille par longueur d’onde voulue, nombre qui diffère selon la méthode et son implémentation. Ainsi le pas de la grille est soit défini par l’utilisateur en respectant des conditions telles que celles décrites ci-dessous, soit directement calculé en entrée du code.

Concernant le code SHAKE3D, le nombre de nœuds par longueur d’onde (Nλ) doit être

égal à 60 si la surface présente une topographie marquée (contre seulement 30 pour une surface plane) [Bohlen & Saenger, 2006 ; Cruz-Atienza et al., 2006].

Ainsi pour une simulation en milieu topographique, le pas spatial dx est fonction de la fréquence maximale voulue ݂௠௔௫ selon l’équation suivante :

݀ݔ = ߣ௠௜௡ ܰఒ = ܸ௠௜௡ ܰఒ ݂௠௔௫ = ܸ௠௜௡ 60 ݂௠௔௫

où ܸ_௠௜௡ correspond à la vitesse sismique minimale contenue dans le modèle (hormis la vitesse nulle exprimant le vide), soit logiquement la vitesse minimale des ondes S.

Le pas temporel dt doit quant à lui respecter l’équation suivante :

0.7 = ܸ௠௔௫

݀ݐ ݀ݔ

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L’utilisateur doit donc calibrer les caractéristiques du modèle pour que le calcul soit stable dans la bande de fréquences voulues. Cette bande de fréquences est fonction de l’écart maximal entre les vitesses du milieu, des dimensions du modèle et du pas spatial dx :

݂௠௔௫ = ܸ௠௜௡ ߣ௠௜௡ = ܸ௠௜௡ ݀ݔ ܰఒ ݂_௠௜௡ = ܸ௠௔௫ ݀ݔ ݊_௠௜௡

où ܰ_ఒ = 60 (surface topographique), et ݊_௠௜௡ correspond à la dimension minimale du modèle en points de grille.

Par exemple si l’utilisateur souhaite obtenir des prédictions du mouvement du sol jusqu’à 5 Hz, pour un milieu homogène où VP = 5000 m/s et VS = 3000 m/s, le pas de la grille

numérique dx doit être égal à 10 m :

݀ݔ = ܸ௠௜௡ 60 ݂_௠௔௫ =

3000

60 × 5= 10.

Pour conserver la même fréquence maximale mais avec une vitesse minimum égale à 500 m/s, le pas de la grille doit descendre à moins de 2 m.

Diminuer le pas de la grille, même si cela est nécessaire pour simuler dans les fréquences concernant les effets de site, n’est pas un choix anodin car il augmente considérablement les besoins en mémoire vive sur les machines de calcul. Par exemple pour le code SHAKE3D qui utilise une grille régulière, diviser le pas spatial par deux revient à augmenter les besoins en mémoire vive d’un facteur 23 par rapport aux besoins initiaux.

Classiquement, la fréquence maximale n’est pas très élevée pour les simulations utilisant des modèles de grandes dimensions. Quelques exemples :

- Chaljub et al. (2010) ~ 28 × 28 × 35 km3 fmax ≈ 2 Hz

- Lee et al. (2009a) ~ 102 × 88 × 100 km3 fmax = 1 Hz

- Cruz-Atienza et al. (2007b) 20 × 20 × 15 km3 fmax ≈ 1 Hz

Pour étudier l’effet de la topographie sur le mouvement du sol, il est nécessaire de simuler les fréquences supérieures. Lee et al. (2009b) parviennent à obtenir une fréquence

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maximale de 10 Hz, mais le modèle utilisé est de dimensions bien inférieures aux exemples qui viennent d’être donnés : ~ 4 × 4 × 10 km3.

Figure 2-1 : Captures d’écran successives de la propagation d’une onde P depuis une source isotrope dans un relief

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Figure 2-2 : Captures d’écran successives de la propagation d’une onde P depuis une source isotrope dans un relief 3D à

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La Figure 2-1 et la Figure 2-2 montrent deux exemples de la propagation des ondes calculée par SHAKE3D dans un milieu 3D où la forme simple de la topographie permet de distinguer les différentes ondes propagées et diffractées par le relief. Le premier exemple illustre la propagation des ondes dans une topographie conique : de nombreuses diffractions prennent place à l’intérieur du relief et sont à l’origine de l’effet de site topographique (Figure 2-1). Le second exemple représente la propagation des ondes dans une topographie conique à sommet tronqué. On voit nettement l’effet de site topographique à partir de 1.035 s de propagation : l’énergie maximum est concentrée au sommet du relief (Figure 2-2). A partir de 1.26 s l’énergie maximum provient d’une zone de focalisation en profondeur provoquée par la géométrie de la surface. Cette représentation montre qu’un effet de site géométrique peut également prendre place en profondeur au cœur du massif.

III. Le modèle topographique de la Grande