Simplifie les expressions algébriques ou résous les équations selon le cas

Je vois très bien que cette pyramide tronquée est une grosse pyramide à laquelle on a enlevé la pointe qui représente une petite pyramide de même base…

a)

( 3 a

³

b )

²

=

_9a⁶_b² _b)

( 2 x

⁵

)

²

=

_4x¹⁰ _c)

√ ^{4 x}

¹⁰ = 2x⁵ d)

√ ^{16 x}

⁴

^y

⁸ = 4x²y⁴ e)

( 2 a

³

b

²

)

³

=

_8a⁹_b⁶ _f)

( ^x 2

³

)

³

⁼

^x₈⁹

g)

3

√ ^x

^{89 = \f(x3;2 h)}

^{√ 49 a}

⁴

^b

^{6 = 7a2b3 i) 3}

^{√ ( x + 9)}

^{3 = x +}

9

j)

3

√ ³⁰

³

^z

³ = 30z k)

3

√ ^{27 a}

³

^b

⁶ = 3ab² l)

3

√ ⁶

⁹

^x

^{3 = 63x}

m)

√ ^{( 6 x}

⁴

⁺²⁾

² = 6x⁴ + 2 n)

3

√

²⁷

^x

^{3 = \f(x;3}

o) (2² a²b³)^{3 ¿} (2³ ab²)⁶ = 2⁶a⁶b⁹ · 2¹⁸a⁶b¹²

= 2²⁴a¹²b²¹ p) (5 cd²)³  (5 cd⁴)² = 5³c³d⁶ · 5²c²d⁸

= 5⁵c⁵d¹⁴

q) (2c – d) (d + 3) = 2c · d + 2c · 3 – d · d – d · 3

= 2cd + 6c – 3d – d² = 6c + 2cd – d² – 3d

r) (2x – 3) (4x + 3) = 2x · 4x + 2x · 3 – 3 · 4x – 3 · 3 = 8x² + 6x – 12x - 9

= 8x² - 6x – 9 s) (x + 7)²= (x + 7) · (x + 7)

= x² + 7x + 7x + 49 = x² + 14x + 49 t) (3x – 4)²= (3x – 4) · (3x – 4)

= 9x² – 12x – 12x + 16

= 9x² – 24x + 16

u) \f(4;3\f(5;4²

=

^{\f(16;9 x4 –\f(10;3x2}y + \f(25;16y²

44 EXERCICES - VISION 5

v) (a – 1)(a + 1) = a² + a – a - 1

Radicande

3 √ ^1331=11

21) Le volume d’un cube est de 1157,625 cm³. Calcule son aire totale exacte.

V = c³

1157,625 = c³ c  10,5 cm

22)Soit une boule de 64 dm³ devolume.

a) Calcule le diamètre de cette boule en dm. Arrondis ta réponse au millième près.

V = \f(4πr³;3 64π = \f(4πr³;3

b) Calcule le rayon de cette boule en mm.

r = \f(d;2 r = \f(726,8;2

23) Le volume d’une orange est de 300 ml. Tu coupes cette orange en deux parties égales. Calcule au millième près, l’aire latérale de l’une des deux demi-oranges en mm².

300 ml = 300 cm³ = 300 000 mm³ V = \f(4πr³;3

300 000 = \f(4pr³;3 r 41,528 mm

46 EXERCICES - VISION 5

Réponse : Son aire exacte est de 661,5 cm².

Réponse : Le diamètre de cette boule mesure environ 7,268 dm.

Réponse : Le rayon de cette boule mesure environ 363,4 mm.

7,268 dm = 726,8 mm

AL = 2r² AL 2(41,53)² AL 10 835, 823 mm²

24) Pour chacun des solides ci-dessous, détermine la formule algébrique permettant de calculer le rayon. Calcule ensuite la mesure du rayon de chacun d’eux.

a) Cône circulaire droit de 12 cm de hauteur et dont le volume est de 64 cm³.

V = \f(pr²h;3 3V = r²h r² = \f(3V;ph r = \f(3V;ph

b) Boule de 36 m³ de volume.

V = \f(4pr³;3 3V = 4r³ r³ = \f(3V;4p

r =

3

√

^34Vπ

Réponse : L’aire latérale est d’environ 10 835,823 mm².

r = \f(3V;ph r = \f(3(64p r =

r = 4 cm

r =

3

√

^34Vπ

r =

3

√

^3(364ππ)

r = ³

√

²⁷

r = 3 m

c) Cylindre circulaire droit de 15 cm de hauteur dont le volume est de 13,5

dm³. V = r²h r² = \f(V;ph r = \f(V;ph

d) Demi-sphère de 1587 m² d’aire totale.

A = 3r²

48 EXERCICES - VISION 5

r = \f(V;ph

r =

√ ^{13,5 1,5 π π}

r = r = 3 dm

15 cm = 1,5 dm

r =

√

^3Aπ

r =

√

^15873ππ

r = r = 23 m

2x dm

25) Pour chacun des solides ci-dessous, trouve le polynôme simplifié représentant l’aire totale et le volume. Laisse



dans tes réponses.

a) Cube

b) Prisme à base carrée

c) Pyramide à base carrée

1) AT = c² + \f(PB·ap;2

h=12x m

Réponse : L’aire totale est de 90x² m².

26) Trouve la mesure du segment AB dans le cylindre suivant sachant que son volume est de 12 000



cm³.

27) Trouve la mesure du rayon du cône ci-dessous sachant que son volume est d’environ 47,56 m³.

V = \f(πr²h;3 47 560 = \f(πr²(43 142 680 = πr² (43)

50 EXERCICES - VISION 5

1)

h² + r² = a

c

² (12x)² + (5x)² = a

c

² 144x² + 25x² = a

c

² 169x² = a

c

² a

c

= 13x

Réponse : La mesure du segment AB est de 50 cm.

47,56 m³ = 47 560 dm³

r² = 1056,20

r = 32,50 dm ou r = 3,25 m

28) Le volume du solide ci-contre est de 10 878 m³. Sachant que le rayon de la demi-boule est de 21 m, quelle est la hauteur du cône circulaire droit?

1) Volume de la demi-sphère

V = \f(2πr³;3 = \f(2π(21 = 6 174π m³ 2) Volume du cône

Vtotal = Vdemi-sphère + Vcône

10 878π = 6 174π + Vcône

4 704π = Vcône

29) Une boîte ayant la forme d’un prisme à base carrée de 12 cm de côté contient un objet cylindrique de 12 cm de diamètre. Cette boîte a un volume de 2880 cm³. Le volume de l’espace inoccupé dans la boîte est de 844 cm³. Quelle est la hauteur de la boîte et celle de l’objet cylindrique?

1) Hauteur du prisme V = c²h

2 880 = (12)²h h = 20 cm

2) Volume du cylindre Vcylindre = Vprisme - Vvide

Vcylindre = 2 880 - 844 Vcylindre = 2036 cm³

Réponse : La hauteur de la boîte est de 20 cm et celle du cylindre, d’environ 18,002 cm.

30) Le volume du solide suivant est de 21 609 m³. Si le rayon de la petite demi-boule correspond aux 3/4 de celui de la grande demi-demi-boule, calcule

3) Hauteur du cône V = \f(πr²h;3 4 704π = \f(π (21 14 112π = π(21)²h 32 = h

La hauteur est de 32m.

3) Hauteur du cylindre V = πr²h

2 036 = π (6)²h h ≈ 18,002 cm

VT = VG + \f(27;64VG b) le rayon de chaque demi-boule.

VG = \f(2πrG³;3= 15 197, 538π VP = \f(2πrP³;3 = 6 411,462π

rG ≈ 28,354 m rP ≈ 21,266 m

31) Le volume d’une boule est de 288 cm³. Détermine la mesure EXACTE de l’apothème d’un cône circulaire droit ayant le même volume et le même rayon que la boule.

1) Rayon de la boule

VB =

32) Un cube et une pyramide à base carrée ont la même aire totale. Le cube a un côté de \f(7;6 dm. Si le côté de la base de la pyramide mesure \f(5;3 dm, quelle est la mesure de l’apothème de la pyramide?

AT cube = AT pyramide

6c² = \f(PB·aP;2 + c²

6 \f(7;6² = \f(5;3\f(4··aP;2+ \f(5;3² 6·\f(49;36 = \f(20;3\f(·aP;2 + \f(25;9

\f(49;6 = \f(10;3 aP + \f(25;9

52 EXERCICES - VISION 5

3) Apothème du cône

33) Le volume d’une pyramide A correspond au double de celui d’une pyramide B, tandis que le volume d’une pyramide C correspond au cinquième de celui d’une pyramide A. Si le volume total des trois pyramides est de \f(2176;15 m³, détermine :

a) le volume EXACT de chaque pyramide;

Volume pyramide B : x Volume pyramide A : 2x Volume pyramide C : \f(2x;5 x + 2x + \f(2x;5 = \f(2176;15

\f(5x;5 + \f(10x;5 + \f(2x;5 = \f(2176;15

\f(17x;5 = \f(2176;15 x = \f(2176;15 ÷ \f(17;5 x = \f(128;3

b) la hauteur de la pyramide C sachant que le côté de sa base carrée mesure 4 mètres.

VC = \f(AB·h;3

\f(256;15 = \f(16h;3 768 = 240h h = 3,2

Réponse : La hauteur de la pyramide C est de 3,2 mètres.

34) Exprime le volume de chacun des solides ci-dessous à l’aide d’une expression algébrique simplifiée.

a) Cube

Volume pyramide B : \f(128;3 m³

Volume pyramide A : 2\f(128;3 = \f(256;3 m³

Volume pyramide C : \f(2;5 · \f(128;3 = \f(256;15 m³

V = c³

V =

( ³ 7 xy

²

)

³

2y2 cm 7y2 cm

(5y2 + 4) cm b) Prisme droit

35) Un contenant de forme cylindrique de \f(5;6 dm de rayon contient 9 cubes de glace de \f(2;3 dm de côté. Si on laisse fondre les cubes de glace, à quelle rayon. Quelle est l’aire latérale EXACTE du cylindre?

VC = VB volume exact de ce cône.

54 EXERCICES - VISION 5

V = AB · h

La hauteur est de \f(96;25π dm.

AL cylindre = 2πrh

AL cylindre = 2 π · \f(7;3 · \f(96;49 AL cylindre = \f(64π;7 cm²

1) Mesure de l’apothème du cône AT = πraC + πr²

24π = π (3) aC + π(3)² 24π = 3π aC + 9π 15π = 3π aC

aC = 5 dm 2) Hauteur du cône

h² + r² = aC² h² + 3² = 5² h² = 16 h = 4 dm

38) L’arête d’un cube mesure (2x-5) cm. Détermine le polynôme simplifié représentant :

a) l’aire totale du cube;

AT = 6c² AT = PB • h + 2AB

AT = 6(2x – 5)² AT = 4c • c + 2c²

AT = 6(2x – 5) (2x – 5) AT = 4c² + 2c² AT = 6(4x² - 10x – 10x + 25) AT = 6c² AT = 6(4x² - 20x + 25)

AT = (24x² - 120x + 150) cm²

b) le volume du cube.

3) Volume du cône V = \f(πr²h;3 V = \f(π · 3² · 4;3 V = \f(36π;3 V = 12π dm³

V = (2x – 5) (2x – 5) (2x – 5) V = (4x² - 10x – 10x + 25) (2x – 5) V = (4x² - 20x + 25) (2x – 5)

V = 8x³ - 20x² - 40x² + 100x + 50x - 125 V = (8x³ - 60x² + 150x – 125) cm³

39) Les dimensions d’un prisme à base rectangulaire sont exprimées par les polynômes suivants :

Largeur : x+4 Longueur : 2x – 3 Hauteur : 3x

a) Donne l’expression algébrique simplifiée représentant l’aire totale de ce prisme.

AT = PB · h + 2AB

AT = 2 · (x + 4 + 2x – 3) · 3x + 2(x + 4)(2x – 3) AT = 2(3x + 1) · 3x + (2x + 8) (2x – 3)

AT = (6x + 2) · 3x + (4x² - 6x + 16x – 24) AT = (18x² + 6x) + (4x² - 6x + 16x – 24) AT = (22x² + 16x – 24)

b) Exprime le volume de ce prisme à l’aide d’un polynôme réduit.

56 EXERCICES - VISION 5

(2x -3) cm (5x) cm

V = AB · h

V = (x + 4) (2x – 3) · 3x V = (2x² - 3x + 8x – 12) · 3x V = (2x² + 5x – 12) · 3x V = (6x³ + 15x² - 36x)

40) Trouve l’expression algébrique simplifiée représentant le volume de la pyramide à base carrée suivante sachant que la hauteur est de (5x) cm et que le côté mesure (2x - 3) cm.

V = \f(AB · h;3 V = \f((2x – 3 V = \f((4x² - 12x + 9 V = \f(20x³ - 60x² + 45x;3 V = \f(20;3cm³

41) Le rapport des aires de deux cônes est de \f(1;100. La hauteur du cône le plus grand mesure 12 m, son apothème mesure 13 m. Calcule l’aire totale exacte du petit cône.

1) Rayon du grand cône

2) Aire totale du grand cône

3) Aire totale du petit cône

k² =

Aire totale petit

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