Simplexe: Grand M et 2 phases

Introduction: Cette activité utilise l’algorithme Simplexe tableau, conçu pour résoudre les problèmes de maximisation d’une fonction objectif en introduisant les variantes Grand M et deux phases / étapes; Il montre également comment utiliser le solveur pour résoudre les problèmes de minimisation.

Détails de l’activité

Grand M

Simplexe tableau a été développé pour résoudre la maximisation du problème de la fonction objectif, qui est la forme standard:

maxz Ax≤b x≥0

Les contraintes définissent le domaine convexe fermé possible. Le Simplexe tableau démarre à l’origine de (coordonnées 0,0) où la fonction objectif qui a la valeur la plus basse et

recherche des points où la fonction objectif évolue jusqu’à ce qu’elle atteigne un maximum:

Pour un problème de minimisation de la fonction objectif, la forme standard est:

min(z) Ax≥b x≥0

Les contraintes définissent une région convexe faisable mais pas toujours fermée à cause de l’inégalité des contraintes.

Si la région est un fermé alors l’»algorithme de minimisation» commence en un point où la fonction objectif à la plus grande valeur et recherche des points où la fonction objectif diminue le plus rapidement, atteignant une valeur minimale.

Minimum: si la région n’est pas bornée alors que l’«algorithme de minimisation » démarre à un point donné Grand M de coordonnées où la fonction objectif a la valeur la plus élevée et recherche des points où la fonction objectif diminue jusqu’à ce qu’elle atteigne une clé:

Minimum^:

La minimisation d’une fonction objectif (z) est équivalente à la maximisation de la fonction objectif (-z) et ainsi la méthode Simplexe tableau déjà présenté peut être utilisé aussi dans un problème de minimisation.

Exemple^:

Face à un problème de minimisation sous forme standard:

min(z) z=3x_1+4x_2 2x_1+3x_2≥8 5x_1+2x_2≥12

x_1,x_2≥0

Le problème de la minimisation de la fonction objectif (a z) correspond à la maximisation d’une nouvelle fonction d’objectif (-z)

max(-z) (z)=-3x_1-4x_2

Les contraintes nécessitent deux variables d’écart négatifs pour obtenir les équations : 2x_1+3x_2-s_1=8

5x_1+2x_2-s_2=12

Les variables d’écart négatifs ne contribuent pas à la fonction objectif (-z) leur coefficients sont nuls dans la fonction objectif

(-z)=-3x_1-4x_2-0s_1-0s_2

L’initialisation ne peut être faite au point , elle ne satisfait pas aux contraintes.

L’initialisation est effectuée à un point Grand M de coordonnées avec la plus petite valeur possible de la fonction d’objectif (𝑧) obtenu en multipliant les variables auxiliaire ou artificielles par les coordonnées du Grand M:

(-z)=-3x_1-4x_2-0s_1-0s_2-Ma_1-Ma_2 Clé:

Si les variables auxiliaires ou artificielles ne font pas partie du problème, elles ne peuvent pas faire partie de la solution. De plus quand toutes les itérations sont terminées les variables auxiliaires ne peuvent pas être dans la base.

Nous sommes maintenant en mesure d’exécuter le Simplexe tableau par exemple :

L’initialisation est effectuée de la même manière en tenant compte à la fois des variables d’écart et des variables auxiliaires dans l’en-tête.

Les variables auxiliaires commencent à la base avec des coefficients -M

Bien que certaines variables aident la base, il est nécessaire de calculer les variables auxiliaires (cellules grises.) Parce que les valeurs ne sont pas utilisées pour les calculs.

Les solutions optimales sont les suivantes:

x_1=20⁄11 x_2=16⁄11 max(-z)=(-124)⁄11

Par conséquent, la valeur minimale de (z) est 124⁄112 phases.

Ce problème peut également être résolu avec la méthode 2 phases.

Dans un premier temps mettre tous les coefficients des variables de décision à zéro et prendre la valeur de . Puis exécuter le Simplexe tableau jusqu’à ce que les variables artificielles sortent de la base.

Les solutions de la première phase sont qui vont être utilisées pour la seconde phase.

La première phase se termine lorsque toutes les variables auxiliaires sortent de la base. Dans le cas contraire si au moins une variable artificielle reste dans la base, le problème n’a pas de solution.

Les variables auxiliaires ne sont pas introduites dans la base du premier tableau du Simplex de la deuxième phase. Ainsi la base ne peut contenir que des variables de décision et d’écart.

Les coefficients de la fonction objectif (z) sont également inscrits dans la table.

Dans la seconde phase, les valeurs de la dernière table d’itération de la première de phase (en vert) sont copiées en intégralité dans la première table de la deuxième phase et s’en suit les itérations habituelles du Simplex jusqu’à ce que les quantités aient des valeurs négatives ou nulles qui indiquent la fin des itérations.

Dans cet exemple il n’a pas été nécessaire d’aller au-delà de la 1ère itération pour obtenir les solutions, puisque les quantités ont des valeurs négatives ou nulles :

x_1=20⁄11 x_2=1 6⁄11 max(-z)=(-124)⁄11

Par conséquent, la valeur minimalede (z) est 124⁄11

Minimisation utilisant le SOLVEUR

Le solveur a déjà intégré tous ces algorithmes et effectue une minimisation directement à partir du menu.

À partir du SOLVER avec le problème de l’Appel

On fait la saisie des données et on exécute le SOLVER en choisissant l’option de minimisation.

Nous obtenons :

Ce sont exactement les mêmes résultats que ceux obtenus par le Simplexe tableau x_1=20⁄11=1.818182

x_2=16⁄11=1.454545

La valeur minimum de =124⁄11=11.272726 Conclusion^:

Le Simplexe tableau a été conçu pour résoudre un problème de maximisation où le second membre des inégalités est (LD) est positif.

Pour résoudre une minimisation du problème, cela se transforme en un problème de maximisation de par la transformation min (z) = max (-z), on introduit des variables d’écart négatifs ainsi que des variables auxiliaires et on utilise la méthode du Grand M ou à 2 phases.

D’autres méthodes seront présentées plus tard dans cette unité (Simplexe dual et mixte) qui permettent de résoudre ces problèmes directement.

Les Feuilles du solveur d’Excel ou Google ont intégré les choix de maximisation ou de minimisation afin de résoudre des problèmes directement.