p = 41 # número p E D I T A V E I S
ntimes =10 # numero vezes do ciclo de c a l c u l o E D I T A V E I S
LnotLi=[5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53] # E D I T A V E I S # D e f i n i c o e s F = Zmod(p) E = E l l i p t i c C u r v e(F, [1 , 1]) ; E # g e r a ç ã o da curva e l í p t i c a y ^2= x ^3+ x +1 Pr =Primes() ; Pr # d e f i n i r c o n j u n t o primos # V a r i á v e i s
E r r o r _ P r i m e = 0 # P r i m e i r o e Ultimo n . primo válido se 0
n e x t P r i m e = 2 Pl=[] # C a l c u l o s i n i c i a i s G=E.gens() C a r d i n a l= E.order() ; for k in range(1) : if i s _ p r i m e(p) == False:
print ’ O número p = ’, p, ’ , não é primo ’
E r r o r _ P r i m e = 1
break
# Ciclo c a l c u l o da ordem de P
print ’ C o o r d e n a d a s do ponto g e r a d o r G ’, G print ’O c a r d i n a l de Fp é : ’, C a r d i n a l for i in range(ntimes) :
R e m i n d e r =C a r d i n a l % n e x t P r i m e if R e m i n d e r == 0:
if n e x t P r i m e in LnotLi:
E r r o r _ P r i m e = 1
Pl.append(n e x t P r i m e)
print nextPrime,’é fator primo do c a r d i n a l ’, C a r d i n a l
print nextPrime,’ existe no c o n j u n t o dos l que não estão em li ’, LnotLi n e x t P r i m e= Pr.next(n e x t P r i m e)
if E r r o r _ P r i m e == 0:
print ’ a u m e n t e o número de vezes do ciclo . É i n s u f i c i e n t e ’
if E r r o r _ P r i m e == 1:
print ’ V e r i q u e para qual dos n ú m e r o s primos ’,Pl,’ se tem pl = ’,p
# OUTPUT
E l l i p t i c Curve d e f i n e d by y^2 = x^3 +x + 1 over Ring of i n t e g e r s modulo 41
Set of all prime n u m b e r s: 2 , 3 , 5 , 7 , ...
C o o r d e n a d a s do ponto g e r a d o r G [(9 : 40 : 1) ]
O c a r d i n a l de Fp é: 35 5 é fator primo do c a r d i n a l 35
5 existe no c o n j u n t o dos l que não estão em li [5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53] 7 é fator primo do c a r d i n a l 35
7 existe no c o n j u n t o dos l que não estão em li [5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53]
V e r i q u e para qual dos n ú m e r o s primos [5 , 7] se tem pl= 41
Neste caso, dado que p5 = max S5 = 41 = p, como já calculado anteriormente, podemos concluir que 41∈ Ta
2.
5.12
Conjunto S
Sabemos pela [Poo03a, Proposição 5.2], que E′(Z[S−1]) é união de {±ℓiP : i≥ 1} e algum subconjunto
dum conjunto finito{rP : r|∏ℓ∈Lℓaℓ−1}.
Vamos calcular os valores de r que satisfazem na curva elíptica em estudo:
{rP : r|
∏
ℓ∈L
ℓaℓ−1}
Determinámos anteriormente o conjunto L e os valores de aℓpara os elementos do conjunto L.
L= {2,3}
a2= 2
a3= 2
Assim,∏ℓ∈Lℓaℓ−1= 22−1× 32−1= 6.Temos então determinado, os valore possíveis para r: r ∈ {2,3,6}
S2=/0
S3=/0
S6= {13,47}
Sendo
P
o conjunto dos números primos, o conjunto S é qualquer subconjunto deP
que contém o conjuntoT1e é disjunto de T2.
Desta forma, Sbad contribui com o número primo 2, o conjunto finito{rP} com os números primos 13,47 e
o conjunto{±ℓiP} com os restantes números primos.
Enumeremos, para a curva elíptica em estudo, alguns elementos de S:
S= {2,13,47,97,520081343,882754619,} ∪ (S97− {97,520081343,882754619}) ∪ S3299∪ S14369∪ ···
5.13
Considerações Finais
Os objetivos propostos no início deste estudo prático foram inteiramente alcançados.
Desenvolveram-se os algoritmos necessários à obtenção dos dados e utilizaram-se os comandos disponibi- lizados pelo Sage, por forma a obter a informação necessária.
Confirmou-se que a curva elíptica selecionada obedecia às condições definidas por Poonen. Verificou-se para diversos casos concretos a correcção do [Poo03a, Corolário 3.3] e [Poo03a, Lema 3.4]. Utilizando
os algoritmos desenvolvidos, obtiveram-se exemplos para os elementos iniciais dos conjuntos T1, T2 e S estudados no artigo [Poo03a].
Os dois maiores obstáculos encontrados durante o cálculo foram o vasto número de digitos quer do numera- dor quer do denominador das coordenadas de nP e a complexidade algorítmica da fatorização em números primos do denominador da coordenada x.
Uma vez que o primeiro obstáculo é um facto incontornável da natureza do problema, a solução encontrada foi um investimento de mais de 1000 horas nos cálculos realizados. Os recursos de computador disponíveis para este estudo foram inferiores aos desejados o que se refletiu na quantidade de valores obtidos. Mais velocidade de processamento, mais capacidade de memória, um processamento multi-thread, levar-nos-ia a construir subconjuntos mais populados.
Relativamente à fatorização em primos de números com muitos dígitos, o facto do algoritmo de fatorização Sage não permitir fatorização parcial, levou à utilização do algoritmo geralmente denominado por "fatoriza- ção por procura direta". Embora a programação do mesmo tenha levado a uma solução com complexidade sub-óptima, assegurou a flexibilidade necessária à realização do trabalho. Mesmo quando não foi possível realizar a fatorização de forma a validar as condições dos candidatosℓiP desenvolveram-se estratégias para
atingir este objetivo sem ser necessário recorrer a esta fatorização.
Apesar dos condicionalismos encontrados na implementação dos algoritmos, foi possível construir um sub- conjunto do conjunto S, onde para o maiorℓiobtido, o denominador da coordenada x tem 107digitos.
Não é de excluir a possibilidade de existirem resultados mais avançados da teoria dos números que permitam obter algoritmos mais eficazes para os cálculos que implementamos. No entanto tais resultados saem fora do âmbito desta tese.
Bibliografia
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[Tar51] Alfred Tarski. A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry . 2nd ed. Berkeley, CA: University of California Press, 1951.
Lista de Figuras
1.1 David Hilbert . . . 1
3.1 Curva Não Singular . . . 11
3.2 Curva com Nó . . . 12
3.3 Curva com Cúspide . . . 12
3.4 Curva Elíptica . . . 13
3.5 Curva Elíptica - Soma de P e Q(1) . . . 14
3.6 Curva Elíptica - Soma de P e Q(2) . . . 14
3.7 Curva Elíptica - Soma de P e Q(3) . . . 15
3.8 Curva Elíptica - Soma de P com P . . . 15
3.9 Curva Elíptica - Simétrico P:−P . . . 16
3.10 Curva Elíptica - Soma de P e−P . . . 16
3.11 Curva Elíptica - Soma P e
O
. . . 193.12 Curva Elíptica - Adição: Propriedade Associativa . . . 20
Lista de Programas
5.1 Comandos Sage Utilizados . . . 34
5.2 Estrutura Programas Sage . . . 34
5.3 Determinar Rank da Curva Elíptica E . . . 35
5.4 Determinar Multiplicação Complexa na Curva Eliptica E . . . 35
5.5 Label Cremona da Curva Eliptica E . . . 36
5.6 Ponto Gerador Ordem Infinita da Curva Eliptica E . . . 36
5.7 Calcular nP e Fatorizar Denominadores das Coordenadas X,Y . . . 37
5.8 Height H(X(nP)) de Pontos da Curva Eliptica E referidos a P . . . 42
5.9 Determinar Elementos do Conjunto L . . . 45
5.10 Construção do Conjuntoℓi . . . 49
5.11 Fatorizar Denominador Coordenada X para o Ponto 97P . . . 50
5.12 Cardinal do Intervalo de Números Primos(2, 97) . . . 52
5.13 Cardinal do Intervalo de Números Primos(2, 520081343) . . . 52
5.14 Cardinal do Intervalo de Números Primos(2, 882754619) . . . 53
5.15 Cálculo de Lim para o Ponto 97P . . . 53
5.16 Verificar que p9409é Maior que 2 . . . 55
5.17 Verificar que p194é Maior que 2 . . . 56
5.18 Verificar que p291é Maior que 2 . . . 58
5.19 Verificar que 97P Satisfaz a Condição 5 deℓi . . . 59
5.20 Fatorizar Denominador Coordenada X para o Ponto 3299P . . . 60
5.21 Cálculo de Lim para o Ponto 3299P . . . 60
5.22 Geração Fponde p menor 107 para o Ponto 320003P . . . 62
5.23 Geração Fponde p menor 107 para o Ponto 10883401P . . . 63
5.24 Verificar que p6598é Maior que 22 . . . 64
5.25 Verificar que p9897é Maior que 22 . . . 65
5.26 Verificar que 3299P Satisfaz a Condição 5 deℓi . . . 66
5.27 Fatorizar Denominador Coordenada X para o Ponto 14369P . . . 67
5.28 Cálculo de Lim para o Ponto 14369P . . . 68
5.29 Geração Fponde p menor 107 para o Ponto 1393793P . . . 69
5.30 Geração Fponde p menor 107 para o Ponto 47403331P . . . 70
5.31 Geração Fponde p menor 107 para o Ponto 206468161P . . . 71
5.32 Verificar que p28738é Maior que 23 . . . 72
5.33 Verificar que p43107é Maior que 23 . . . 74
5.34 Verificar que 14369P Satisfaz a Condição 5 deℓi . . . 75
5.35 Cálculo da Ordem de P para E módulo p . . . 76