Signication probabiliste de la fonction d'onde ψ (x)

Eq. (1.7.5) donne :

(F_~ψ_t) (p) =e^−iv(^pt−12wt²)^/~(F_~ψ₀) (p−wt) (1.7.6) qui montre que la fonction

|F_~ψ_t|(p) = |(F_~ψ₀) (p−wt)|

se déplace à la vitessew selon p. Voir gure 1.7.2.

Ce petit modèle justie à posteriori le principe de correspondance car avec le Hamilto-nien (1.7.3), l'onde se déplace comme une particule avec la vitesse V = (v, w)sur l'espace des phases (en fait vitesse v en x et vitessew en paprès transformée de Fourier). De plus il montre la signication de l'impulsionp: elle intervient dans l'expressione^−ipx/~ =e^−iωxx et on peut donc dire que ω_x = ¹

~p est une fréquence spatiale¹⁴. Pour un Hamiltonien quelconque H(x, p), le champ de vecteur V n'est pas uniforme mais l'idée du calcul semi-classique est de montrer que dans la limite~→0, on peut considérer queV est localement constant dans l'espace de phase (x, p) (on dit microlocalement ), on se ramène à ce modèle simple où le principe de correspondance est valide. Dans le calcul semiclassique, on calcule les corrections à cette approximation sous la forme d'un developpement en ~.

000 000 111 111

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

canon

Mur 1 2

x

à électrons

Détecteur P₁ =|ψ₁|²

P₂ =|ψ₂|² x

P₁₂ =|ψ|²

=|ψ₁+ψ₂|²

Figure 1.7.3 Schéma d'une expérience faite en 2012 [BPLB13], interférences et détec-tion de l'onde quantique d'un électron après le passage dans une double fente. Après un petit nombre de détections les résultats semblent aléatoires, mais après un grand nombre d'expériences indentiques on observe la densité de probabilité|ψ(x)|² prédit par la théorie quantique. Voir video des impacts sur la page web du journal.

fois et produit une particule toujours dans le même état décrit par la fonction ψ(x) alors cela signie que la probabilité de détecter expérimentalement la particule dans le domaine U ⊂R³ de l'espace est :

P (U) = 1 kψk

Z

U

|ψ(x)|²dx, (1.7.7)

avec la constante de normalisation kψk := R

R³|ψ(x)|²dx^1/2

. Autrement dit la densité de probabilité est _kψk¹ |ψ(x)|²dx. Noter que grâce au préfacteur _kψk¹ , et comme attendu, la probabilité sur tout l'espace estP (R³) = 1. Notons aussi que le résultatP(U)est inchangé si on modie ψ → λψ avec λ ∈ C\ {0}. Cette invariance est aussi vraie pour l'équation d'évolution (??) qui est linéaire. Donc il est plus pratique de supposer que les fonctions d'ondes sont normalisées c'est à dire kψk² =hψ|ψi= 1, ce que l'on fera dans la suite.

Ce résultat (1.7.7) étonnant (appelé postulat de la mesure) montre que pour une unique expérience, la théorie quantique ne prédit rien. Elle ne peut prédire que des moyennes sur des grands nombres. En physique, on parle de hasard quantique intrinsèque . Par exemple la position moyenne de la particule hxi ∈R³ est donnée par

hxi:=

Z

x|ψ(x)|²dx=hψ|xψi (1.7.8)

Dans ce principe de la mesure il est aussi postulé que après une mesure où la particule a été détectée dans un domaine U ⊂ R³, alors la nouvelle fonction d'onde est supportée sur U. Cela s'appelle le collapse de la fonction d'onde ou réduction du paquet d'onde .

La relation (1.7.8) est en fait plus générale. Par exemple pour une mesure de l'énergie,

menées jusqu'à ce jour.

Nous allons énoncé dans la Section 1.7.3.4 le postulat de la mesure de façon plus gé-nérale (et plus abstraite). Avant cela nous rappelons quelques aspects d'algèbre linéaire (mathématiques).

1.7.3.3 Rappel d'algèbre linéaire. Spectre d'opérateurs. (Analyse fonction-nelle).

Considérons un opérateur linéaire Aˆ : H → H. L'opérateur adjoint Aˆ⁺ est déni par la relation hϕ|Aˆ⁺ψi = hAϕ|ψiˆ pour tous ψ, ϕ ∈ C₀^∞(R). On dit que Aˆ est autoadjoint si Aˆ⁺ = ˆA. Par exemple les opérateursxˆ,pˆ,Hˆ sont auto-adjoints. Pour simplier on considère des opérateurs autoadjoints.

On considère les vecteurs propres ψ_a et valeurs propres A_a ∈Rde l'opérateur Aˆ: Aψˆ a =Aaψa

oùa = 1,2, . . . sont des indices.

Les valeurs propres A_a sont réelles et que les vecteurs propres ψ_a forment une base orthogonale de l'espace des états H.

Démonstration. On écrit

hψ_a|Aψˆ _bi=A_bhψ_a|ψ_bi=hAˆ⁺ψ_a|ψ_bi=hψ_b|Aψˆ _ai=A_ahψ_b|ψ_ai=A_ahψ_a|ψ_bi

En faisant a = b on déduit que A_a = A_a donc A_a ∈ R, valeurs propres réelles. En sup-posant A_a 6=A_b on déduit que (A_b−A_a)hψ_a|ψ_bi= 0 ethψ_a|ψ_bi= 0 cad vecteurs propres orthogonaux.

On peut classer les valeurs propres par ordre croissant A1 ≤ A2 ≤ . . .. Attention, on peut avoir des valeurs propres répétées A_a = A_a+1, appelées dégénérescences. Plus précisément, pour une valeur propres A ∈ R donnée, on note E_A := n

ψ ∈ H,Aψˆ =Aψo l'espace propre associé. dim(E_A)≥1est le degré de dégénérescence. Les espaces propres (EA)_A sont orthogonaux entre eux. Dans un espace propre donné EA on choisit les vecteurs propres (ψ_a)_a comme formant une base orthogonale de E_A.

A une valeur propre donnée A, on associe le projecteur spectralPˆ_A:H → E_A. On a les expressions utiles suivantes pour le projecteur spectral :

Pˆ_A= X

i t.q.Ai=A

|ψ_iihψ_i| hψ_i|ψ_ii

Pour l'opérateur Aˆ:

Aˆ=X

A

APˆA

et pour l'opérateur identité :

Id=X

A

PˆA

appelée relation de fermeture.

Démonstration. Il sut de les vérier sur les vecteurs propres car ils forment une base orthogonales : hψ_a|ψ_bi = δ_a,bhψ_a|ψ_ai. Considérons un vecteur propre ψ_b de Aˆ. On a vu que si A_i = A 6= A_b alors hψ_i|ψ_bi = 0 donc Pˆ_Aψ_b = 0. Au contraire si A_b = A alors Pˆ_Aψ_b = ^|ψ_hψ^bihψb|ψbi

b|ψ_bi =ψ_b. C'est bien la dénition du projecteur orthogonal sur E_A. De même,

P

AAPˆ_A

ψ_b =A_bPˆ_Abψ_b =A_bψ_b = ˆAψ_b doncAˆ=P

AAPˆ_A. Et nalement P

APˆ_A

ψ_b = ˆP_Abψ_b =ψ_b donc Id=P

APˆ_A.

Il est important de savoir qu'un projecteur othogonalPˆ est caractérisé par les relations Pˆ² = ˆP et Pˆ^†= ˆP, voir [Fau10b].

◦ Dans le cas simple où la valeur propreA est non dégénérée et le vecteur propre est normalisé, kψ_ak= 1, alors on a l'expression plus simple :

Pˆ_A=|ψ_aihψ_a|

et

Id =X

e

|ψeihψe|

L'opérateur de position a un spectre continu car ses valeurs propres sont x ∈ R. Pour appliquer les relations présentées ici, il faut considérer un intervalle [x, x+dx] et le projecteur spectral associé s'écrit P|x,x+dx] = Rx+dx

x |x⁰ihx⁰|dx⁰. Pour l'opérateur position on a alors

ˆ x=

Z

R

x|xihx|dx et

Id= Z

|xihx|dx De même, pour l'opérateur impulsion, on a

ˆ p=

Z

R

p|pihp|dp et

Id= Z

|pihp|dp

1.7.3.4 Mesure d'un état quantique

◦ Si la particule interagit et inuence son environnement, alors l'équation de Schrö-dinger ci-dessus n'est pas valable.

◦ On dit que cet environnement est un détecteur si il mesure une grandeur phy-sique particulière A appelée observable (ex : position x de la particule, impulsion p, énergie H, etc..). Voici comment décrire la mesure dans un cas idéal.

Un opérateur autoadjointAˆ(comme discuté ci-dessus) est associé à l'observable A. On considère ses vecteurs propres ψ_a et ses valeurs propres A_a dénies par :

Aψˆ _a=A_aψ_a

où a = 1,2, . . . sont des indices. (Dans le cas d'une mesure de position, penser par exemple que a= 1,2. . .numérote des détecteurs alignés sur l'axe x, et que A_a =x_a ∈Rest la position du détecteur a.)

Postulat de la mesure :

◦ Si la particule est dans un état initial φ et intéragit avec le détecteur alors le ré-sultat de la mesure sera une des valeurs propresA₁, A₂, . . .. Après une seule expérience il est impossible de savoir quelle valeur est obtenue, c'est le hasard quantique.

◦ Mais si on répète un grand nombre de fois la même expérience (cad avec le même état initialφ, même détecteur, même observable) alors la valeur A apparait avec la probabilité¹⁵ :

Proba(A) =

Pˆ_Aφ

2

kφk² = hφ|Pˆ_Aφi hφ|φi On vérie¹⁶ que P

AProba(A) = 1. Remarques :

dans le cas simple où la valeur propre A est non dégénérée et les états sont normalisés, cad kψ_ak= 1, kφk= 1, alors on a l'expression simple :

Proba(A) = hφ|ψaihψa

| {z }

Pˆ_A

|φi=|hψa|φi|²

Si les résultats expérimentaux aprèsN mesures sonta₁, a₂, . . . , a_N, la moyenne expérimentale est hai_N := _N¹ (a₁+a₂+. . .+a_N). Pour N → ∞ la théorie quantique prédit qu'elle converge vers une valeur précise

hai_N −→

N→∞hAi

qui est la moyenne statistique donnée par (on utilise la relation de fermeture) : hAi:=X

A

A·Proba(A) = X

A

Ahφ|Pˆ_Aφi

hφ|φi = hφ|Aφiˆ hφ|φi

◦ Juste après la mesure, si la particule n'a pas été détruite, elle est alors dans l'état φ⁰ = ˆP_Aφ

qui est donc un vecteur propre deAˆ : Aφˆ ⁰ =Aφ⁰. Ce phénomène s'appelle aussi la réduction du paquet d'onde ou le collapse de la fonction d'onde.

Par exemple si on mesure la position de la particule, l'observable est l'opérateur position ˆ

x et (supposant l'état initial normalisé kψk= 1) Proba(x∈[x, x+dx]) = hψ|Pˆ_[x,x+dx]ψi=

Z x+dx x

|hx⁰|ψi|²dx⁰ =

|{z}dx→0

|hx|ψi|²dx=|ψ(x)|²dx On dit que |ψ(x)|² est la densité de probabilité en position.

15. la dernière égalité vient de ce que PˆA est un projecteur orthogonal vériantPˆ_A² = ˆPA et Pˆ_A^† = ˆPA

donc : k^PˆAφk²

kφk² = h^PˆAφ|PˆAφi

hφ|φi = h^φ|PˆAPˆAφi

hφ|φi = h^φ|PˆAφi

hφ|φi . 16. Preuve : avec la relation de fermeture,P

AProba(A) =P

A

h^φ|PˆAφi

hφ|φi =h^φ|PAPˆAφi

hφ|φi = ^hφ|φi_hφ|φi = 1

Dans le document Chapitre 1 Une particule quantique sans spin, à 1 dimension (I) (Page 61-67)