anneau en pompage résonant
3.1.1 Seuil du laser Brillouin à fibre optique en anneau en pompage résonant d’ordre
L’équation 3-22 peut se réécrire sous la forme :
𝑃tu= − ln(𝜅 𝜅ƒ) 𝐴^__
𝑔> 𝐿^__ 3-24
Au seuil laser, cette puissance 𝑃tu correspond à la puissance de Pompe circulant dans la cavité (𝑃¾(0) = 𝑃tu) nécessaire pour compenser toutes les pertes subies par l’onde Stokes d’ordre 1. Pour trouver la puissance de seuil du laser Brillouin d’ordre 1, il faut trouver la puissance de Pompe injectée (𝑃§Î= 𝑃tuxD) correspondante. Grâce à l’équation 3-11, décrivant l’intensité normalisée circulant dans le résonateur, nous pouvons écrire :
𝑃tuxD= 𝑃tu (1 − √𝜅 𝜅ƒ )O
(1 − 𝛾) (1 − 𝜅) 3-25
La puissance de seuil laser Brillouin en pompage résonant d’ordre 1 (𝑃tuxD) est alors de plus en plus petite lorsqu’on augmente 𝜅 jusqu’à atteindre la valeur critique 𝜅ƒ. Sur la figure 3-6, nous représentons (en gris) la puissance de seuil laser Brillouin en pompage résonant d’ordre 1 (𝑃tuxD de l’équation 3-25) (pour une cavité de 20 m de fibre en silice à maintien de polarisation (𝑔> = 2,1. 10dDD 𝑚/𝑊) ayant un diamètre de cœur de 10 𝜇𝑚). En comparaison, nous représentons (en noir) la puissance critique (𝑃tu de l’équation 3-24) qui correspond à la puissance de seuil d’un laser Brillouin pour lequel on aurait introduit un isolateur dans l’anneau dans le sens de l’onde Stokes pour empêcher à la Pompe de faire plusieurs tours dans la cavité, autrement dit à la puissance de seuil d’un laser Brillouin en pompage non-résonant.
92
3-6 : Puissance de seuil laser Brillouin d’ordre 1 en fonction de la fraction 𝜅 d’intensité transmise par
le coupleur
La puissance critique Pth (en noir) correspond à la puissance de seuil d’un laser Brillouin en pompage non-résonant alors que la puissance PthS1 (en gris) correspond à la puissance de seuil d’un laser Brillouin en pompage résonant
En régime critique (𝜅 = 𝜅ƒ = 0,945) (voir la partie agrandie de la figure 3-7), la puissance de seuil laser passe de 23,15 mW (hors résonance) à 1,45 mW (en résonance) ; soit environ 16 fois plus petite.
Lorsque la puissance de seuil laser 𝑃tuxD est atteinte, la puissance de l’onde Pompe dans la cavité est maintenue à la valeur critique 𝑃tu alors que la puissance de l’onde Stokes augmente quand on augmente la puissance de l’onde Pompe incidente. Dans la cavité, il y a donc un transfert d’énergie de l’onde Pompe à l’onde Stokes.
Soit 𝜅ƒå, le coefficient de transmission en intensité de l’onde Pompe sur un tour dans l’anneau au-dessus du seuil Brillouin. Il prend en compte l’énergie cédée à l’onde Stokes. Il peut s’écrire :
𝜅ƒå = 𝜅 ƒ 𝑒
•d%© ¾ÐJ Ú•&''&''ž 3-26
où 𝑃xD correspond à la puissance de l’onde stokes d’ordre 1. Remplaçons 𝜅ƒ par 𝜅ƒå dans l’équation 3-11 de l’intensité normalisée circulant dans le résonateur (sachant que 𝑃¾(0) = 𝑃tu) sous condition de résonance. On écrit alors la puissance de Pompe incidente :
93 𝑃§Î= 𝑃tu W1 − X𝜅 𝜅ƒ 𝑒•d%© ¾ÐJ Ú&'' •&''ž Y O (1 − 𝛾) (1 − 𝜅) 3-27
En multipliant et en divisant l’équation 3-27 par le facteur (1 − √𝜅 𝜅ƒ)O, on peut la réécrire sous la forme :
𝑃§Î= 𝑃tuxD W1 − X𝜅 𝜅ƒ 𝑒•d%© ¾ÐJ Ú&'' •&''ž Y O (1 − √𝜅 𝜅ƒ)O 3-28 puis : ¹ 𝑃§Î 𝑃tuxD = 1 − X𝜅 𝜅ƒ 𝑒 •d%© ¾ÐJ •Ú&''&''ž 1 − √𝜅 𝜅ƒ 3-29
Une approximation au premier ordre du membre de droite de l’équation 3-29 permet d’écrire la puissance 𝑃xD de l’onde Stokes d’ordre 1.
𝑃xD ≈ 𝑃tuW¹ 𝑃§Î
𝑃tuxD− 1Y 3-30
Il est important de signaler (à partir de l’équation 3-30) que la puissance de l’onde Stokes d’ordre 1 (𝑃xD) n’est pas proportionnelle à la puissance de Pompe injectée (𝑃§Î) dans la cavité mais à sa racine carrée.
Considérons le laser Brillouin précédent, dont les éléments à maintien de polarisation forment un anneau de longueur 𝐿 = 20 𝑚 et fonctionnant en pompage résonant sous la condition de couplage critique 𝜅 = 𝜅ƒ = 0,945. La puissance de l’onde Stokes de premier ordre (𝑃xD) circulant dans la cavité (à ne pas confondre avec la puissance du laser Brillouin de premier ordre) est représentée en fonction de la puissance de Pompe incidente (𝑃§Î) sur la figure 3-7. Le seuil laser Brillouin est atteint pour une puissance de Pompe incidente 𝑃§Î = 𝑃tuxD ≈ 1,5 𝑚𝑊. Lorsque 𝑃§Î ≈ 6 𝑚𝑊, la puissance de l’onde Stokes d’ordre 1 circulant dans la cavité atteint la valeur critique 𝑃tu≈ 23 𝑚𝑊 suffisante pour générer une deuxième onde Stokes dans la cavité.
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3-7 : Puissance de l’onde Stokes d’ordre 1 en fonction de la puissance injectée (pour k = kr = 0,945)
(La puissance de l’onde Stokes d’ordre 1 (𝑃xD) de l’équation 3-30 est tracée en fonction de la puissance de Pompe injectée (𝑃§Î). Sous la condition de couplage critique 𝜅 = 𝜅ƒ= 0,945, 𝑃tuxD= 1,45 𝑚𝑊 et 𝑃tu= 23,15 𝑚𝑊)
3.1.2
Seuil du laser Brillouin à fibre optique en anneau en pompage résonant
d’ordre 2
La puissance 𝑃xD de l’onde Stokes augmente lorsqu’on augmente la puissance 𝑃§Î de la Pompe incidente. Lorsque la puissance de la partie de l’onde Stokes du premier ordre qui circule dans la cavité atteint à son tour la puissance critique 𝑃tu, elle génère elle-aussi une onde Stokes susceptible de laser. Il faut reprendre le raisonnement précédent en posant l’onde Stokes de premier ordre comme Pompe. Lorsque le gain, apporté par l’onde Stokes de premier ordre, qui circule à l’intérieur de l’anneau équilibre les pertes (subies par l’onde Stokes de deuxième ordre) sur un tour de la cavité, on atteint le régime laser pour l’onde Stokes de deuxième ordre. Ce dernier se propage dans le même sens que le laser de pompe.
On réécrit l’équation 3-21 en considérant l’onde Stokes de premier ordre comme Pompe. C’est-à-dire en remplaçant 𝑃¾(0) par 𝑃xD(0). La condition d’oscillation de l’onde Stokes de deuxième ordre devient :
1 𝜅 𝜅ƒ = 𝑒
•%© ¾ÐJ(E) Ú•&''
&''ž 3-31
Comme pour l’onde Pompe, la puissance critique (𝑃tuå= 𝑃xD(0)) de l’onde Stokes de premier ordre nécessaire pour générer une onde Stokes de deuxième ordre circulant en sens inverse est obtenue par :
95 𝑃tuå= − ln(𝜅 𝜅ƒ) 𝐴^__
𝑔> 𝐿^__ = 𝑃tu 3-32
Comme on pouvait s’y attendre, de par l’architecture de l’anneau, la puissance critique nécessaire à la génération d’une onde Stokes à l’intérieur de l’anneau est la même quel que soit le signal considéré comme Pompe.
La Pompe continue à subir une perte en faveur de l’onde Stokes de premier ordre dont le coefficient 𝜅ƒå est défini dans l’équation 3-26:
𝜅ƒå= 𝜅ƒ 𝑒 •d%© ¾ÐJ •Ú&'' &''ž = 𝜅 𝜅ƒO 3-33 puisque 𝑒·d%© ¾ÐJ L&'' ®&''¸ = 𝜅 𝜅 ƒ (à partir de l’équation 3-31).
La puissance de seuil laser Brillouin de deuxième ordre (𝑃tuxO) est la puissance de Pompe incidente au résonateur nécessaire pour atteindre le seuil de l’émission laser de l’onde Stokes de deuxième ordre. Elle est obtenue en remplaçant 𝑃§Î par 𝑃tuxO et 𝜅ƒ par 𝜅ƒ′ dans l’équation 3-11 de l’intensité normalisée circulant dans le résonateur : 𝑃tuxO = 𝑃tu ¿1 − š𝜅 𝜅ƒå O (1 − 𝛾) (1 − 𝜅)= 𝑃tu (1 − 𝜅 𝜅ƒ)O (1 − 𝛾) (1 − 𝜅) 3-34
Après quelques manipulations, on détermine :
𝑃tuxO= 𝑃tuxD¿1 + š𝜅 𝜅ƒÂ O
≈ 4 𝑃tuxD 3-35
Nous représentons, sur la figure 3-8, le rapport entre la puissance de seuil du laser Brillouin de deuxième ordre (𝑃tuxO) et celle du laser Brillouin de premier ordre (𝑃tuxD) en fonction de la fraction d’intensité 𝜅 transmise par le coupleur qui ferme la cavité. La courbe en noir, tracée pour la condition de couplage critique 𝜅 = 𝜅ƒ, montre bien que la puissance de seuil laser Brillouin d’ordre 2 est au maximum 4 fois plus grande que celle du laser Brillouin d’ordre 1. La courbe grise a été obtenue en fixant 𝜅ƒ = 0,945 pour rester dans une situation réaliste. Dans ce cas, nous avons calculé une puissance de seuil laser Brillouin de deuxième ordre 3,8 fois plus grande que celle du laser Brillouin de premier ordre.
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3-8 : Rapport entre la puissance de seuil laser de l’onde Stokes 2 et celle de l’onde Stokes 1 en fonction de la fraction d’intensité k transmise par le coupleur
(La puissance de seuil laser Brillouin de l’onde Stokes d’ordre 2 (𝑃tuxO) est au maximum 4 fois plus grande que celle de l’onde Stokes d’ordre 1 (𝑃tuxD). Pour la condition de couplage critique 𝜅 = 𝜅ƒ= 0,945 ; PthS2= 3,8 PthS1)