Experimentalmente, constata-se que a pressão do vento pode ser dividida em duas parcelas: a pressão média 𝑝̅, constante com o tempo e responsável por 48% da pressão total, e a pressão flutuante 𝑝′, que representa o efeito dinâmico das rajadas, e é responsável por 52% da pressão total. Tal divisão é possível, segundo Franco (2003), devido a uma zona de intensidade espectral quase nula que se constata no
espectro de potência das flutuações de vento entre altas e baixas frequências, próxima a um intervalo de tempo de medição de 3600s. Contudo, Franco (1993) adota um período de 600s como correspondente à parcela média do vento, sendo este o valor adotado neste trabalho que se propõe a avaliar a forma original do método.
Além disso, é possível equacionar, através de expressões empíricas, o espectro de potência do vento para a zona que concerne à micrometeorologia (ou seja, aquela ligada aos baixos períodos e, consequentemente, altas frequências) e que é de interesse para a Engenharia Civil. A expressão mais usual para tal é dada por Davenport (1965), e é ligeiramente modificada no trabalho de Franco, tornando- se: 𝑓 𝑆(𝑓) 𝑢∗ = 4 𝑥 (1 + 𝑥 ) / 𝑐𝑜𝑚 𝑥 = 1220𝑓 𝑈 (3.1)
Onde 𝑈 é a velocidade média do vento a dez metros de altura em terreno aberto para um intervalo de tempo de medição de 600s (LAZANHA, 2003), e pode ser determinada de acordo com os procedimentos estabelecidos pela NBR 6123:1988, 𝑢∗ é a velocidade de fricção do vento e 𝑓 a frequência, em Hertz, variável independente na equação.
Para o desenvolvimento do método, o autor propõe representar a parcela flutuante do vento por meio de sua expansão segundo a integral de Fourier, analogamente ao indicado por Franco (1993):
𝑝 (𝑡) = 𝐶(𝑓) cos 2𝜋𝑓𝑡 − 𝜙(𝑓) 𝑑𝑓 (3.2) Onde: 𝐶(𝑓) = 𝐴(𝑓) + 𝐵(𝑓) (3.3) 𝜙(𝑓) = 𝑡𝑔 𝐵(𝑓) 𝐴(𝑓) (3.4) 𝐴(𝑓) = 𝑝 (𝑡) cos(2𝜋𝑓𝑡) 𝑑𝑡 (3.5) 𝐵(𝑓) = 𝑝 (𝑡) sin(2𝜋𝑓𝑡) 𝑑𝑡 (3.6)
Assim, nota-se uma dependência direta das funções 𝐶(𝑓) e 𝜙(𝑓) com o próprio carregamento 𝑝 (𝑡) que se quer determinar. A ideia do método é, então, de contornar tal dependência assumindo-se uma forma específica para representá-lo. Tal
escolha é justificada tomando como base conceitos da teoria de processos estocásticos.
Adotando um número finito 𝑚 de harmônicos, a integral pode ser substituída por um somatório, tal como segue:
𝑝 (𝑡) = 𝐶 cos (2𝜋𝑓 𝑡 − 𝜙 )
(3.7) Onde 𝑓 é a frequência natural associada ao harmônico 𝑖. Uma delas, aqui denotada pelo índice 𝑟, deve coincidir com a frequência fundamental de vibração da estrutura, sendo as outras determinadas em função dessa. Esse tópico será abordado em maiores detalhes no item 3.3.6.
Se os ângulos 𝜙 forem tomados de forma aleatória e com uma função de densidade de probabilidade uniforme no intervalo [0; 2π) e 𝑛 carregamentos do tipo 𝑝 (𝑡) forem considerados, reconhece-se o processo aleatório definido pela Eq. (2.27). Assim, pelo desenvolvimento do item (2.4):
𝜎 =∑ 𝐴 2 =
∑ 𝐶
2 = 𝑆 (𝑓) 𝑑𝑓 = ( )𝑆 (𝑓) 𝑑𝑓 (3.8)
Onde o subscrito 𝑝’ indica que a variância e a função de densidade espectral de potência são associadas ao processo estocástico definido por 𝑛 variáveis aleatórias 𝑝’ (observe-se que essa notação está em concordância com o que foi apresentado no capítulo 2, pois lá o processo estocástico era definido por 𝑛 variáveis aleatórias 𝑥).
Logo:
𝐶 = 2 𝑆 (𝑓) 𝑑𝑓
( )
(3.9)
Dessa forma, as amplitudes de cada harmônico 𝐶 ficam determinadas. A proposta de adotar os ângulos de fase 𝜙 como sendo aleatórios pode não parecer realista, no entanto, ela constitui a ideia central de um dos métodos mais conhecidos de simulações estocásticas, o Método de Monte Carlo (PAULA, 2014), e quão maior for o valor de 𝑛, melhor será a representatividade estatística do carregamento.
Adotando-se então, a partir de agora, o índice 𝑗 para o j-ésimo membro do carregamento, sua expressão se torna:
𝑝 (𝑡) = 𝐶 cos (2𝜋𝑓 𝑡 − 𝜙 )
(3.10) Com isso, pode-se escrever:
𝑝′ = 𝐶
∑ 𝐶 𝑝′ = 𝑐 𝑝′ (3.11)
Dessa forma, as amplitudes dos harmônicos ficam completamente caracterizadas. No entanto, Franco (1993) observou que, com esses coeficientes, a contribuição da componente ressonante, aqui denotada pelo índice r, é superestimada por um fator de 2. Ele propôs, então, a seguinte correção:
𝑐∗ =𝑐
2 (3.12)
Para manter o somatório dos coeficientes unitário, corrigem-se também as duas amplitudes dos harmônicos vizinhos ao ressonante:
𝑐∗ = 𝑐 +𝑐
4 (3.13)
𝑐∗ = 𝑐 +𝑐
4 (3.14)
As amplitudes dos demais harmônicos permanecem inalteradas.
Além da distribuição temporal das rajadas, sua distribuição espacial também é aleatória nas três coordenadas espaciais. No entanto, tendo sido o método desenvolvido com seu foco em estruturas altas, somente a aleatoriedade com relação à altura da edificação (aqui escolhida como a variável z) será considerada.
A correlação espacial das pressões de vento pode ser dada pelo seguinte coeficiente de correlação de banda estreita (FRANCO, 1993):
𝐶𝑜ℎ(𝑟, 𝑓 ) = 𝑒 (3.15)
Com:
𝑓 =𝑓 𝐶 (∆𝑧) + 𝐶 (∆𝑦) 𝑈
𝑟 = (∆𝑧) + (∆𝑦)
Sendo ∆𝑧 e ∆𝑦 variações nas posições vertical e horizontal de dois pontos, respectivamente, e 𝐶 e 𝐶 determinados experimentalmente. Tal como afirmado anteriormente em seu trabalho, o autor considerou apenas a correlação vertical.
De forma a evitar a utilização de uma rajada com correlação exponencial, o autor propõe, originalmente, tomar uma rajada de vento perfeitamente correlacionada, definida como uma rajada uniforme ou linearmente distribuída de mesma área da
rajada de correlação exponencial. Para tal, o autor adota valores numéricos de 𝐶 e 𝐶 a favor da segurança e determina uma altura de rajada:
∆𝑧 = 𝑈
7𝑓 (3.16)
A distribuição das rajadas é ilustrada na Figura 9. Assim, a intensidade de cada um dos harmônicos é modelada pela função de correlação linear e aplicada na área de altura 2∆𝑧 e de igual largura da edificação.
Muito embora no desenvolvimento original do método Franco dê a opção de escolher entre uma distribuição uniforme ou linear, quando revisitou seu trabalho posteriormente (FRANCO, 2003) não menciona a possibilidade de optar por uma distribuição uniforme de pressões. Dessa forma, na presente monografia, a distribuição linear será a adotada.
Assim, a intensidade de cada um dos harmônicos é modelada pela função de correlação linear e aplicada na área de altura 2∆𝑧 e de igual largura da edificação.
Figura 9 - Diferentes tipos de rajada perfeitamente correlacionada
Fonte: Franco, 1993
O centro de aplicação das rajadas é determinado de forma iterativa como o ponto mais desfavorável para a aplicação simultânea dos 𝑚 harmônicos (rigorosamente, seria possível determinar o ponto de aplicação mais desfavorável para cada uma das rajadas; no entanto, segundo o autor do método, tal procedimento não é necessário). A determinação do ponto mais desfavorável de aplicação da rajada será exemplificada no capítulo 5.
Após essas etapas, os 𝑛 carregamentos estão bem definidos. Eles representam, como um todo – e não cada um separadamente – as pressões flutuantes
do vento na estrutura. Dessa forma, é necessária uma caracterização probabilística da resposta, visto que somente a resposta do conjunto de carregamentos é significativa.
Aqui, admite-se que as respostas seguem uma distribuição de probabilidade gaussiana, o que se justifica para o caso de osciladores lineares, já que o processo aleatório adotado para descrever o carregamento também o é (CLOUGH; PENZIEN, 1993) (e dessa forma, a resposta do sistema também o será). Assim, o valor de deslocamento máximo característico, denotado pelo subscrito 𝑘, segue uma distribuição do tipo Gumbel I. Adotando um índice de confiança de 95%, ele pode ser dado, aproximadamente, por:
𝑢 = 1,65𝜎 + 𝜇 (3.17)
Onde 𝜎 é o desvio padrão da série de valores máximos obtido para todos os carregamentos e 𝜇 é a média da série de valores máximos associado a ele. O histórico no tempo característico pode ser tomado como sendo aquele que apresente valor de deslocamento máximo mais próximo de 𝑢 .