Sensibilité de lŠestimateur à la résolution

Nous avons vu que la fonction dŠappareil était un paramètre important à prendre en compte lors de lŠinversion des signaux Supercontinuum. Dans ce paragraphe, nous nous intéressons à lŠimpact de lŠutilisation dŠune fonction dŠappareil erronée sur les estimations de produit CL. Pour cela, nous allons utiliser un type de fonction dŠappareil pour simuler des signaux et une fonction dŠappareil légèrement diférente (en jouant sur la forme de la fonction dŠappareil puis sur sa largeur à mi hauteur) aĄn dŠestimer les produits CL. Cela permet de quantiĄer lŠimpact de lŠutilisation dŠune fonction dŠappareil erronée lors de lŠinversion des signaux.

InĆuence de la forme de la fonction dŠappareil

Nous évaluons, tout dŠabord, lŠimpact de la forme de la fonction dŠappareil. Pour cela, nous simulons plusieurs transmissions avec le même produit CL et des fonctions dŠappareil ayant toutes la même largeur à mi-hauteur mais des formes diférentes : rectangle, triangle et gaussienne. AĄn dŠinterpréter plus facilement les résultats, nous efectuons ces tests sur un cas simple : on simule un spectre dŠabsorption ne contenant que trois raies régulèrement espacées et

de même intensité. Ces raies sont simulées par des lorentziennes de largeur à mi-hauteur 0, 1 ��⊗1. Le spectre est représenté sur la Ągure 2.24.

31000 3150 3200 3250 3300 3350 3400 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Longueur d’onde (nm)

Section efficace d’absorption (ppm

−1 .m −1 ) 3245 3250 3255 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figure 2.24 Ű Section eicace dŠabsorption simulée

Les trois fonctions dŠappareil, de largeur à mi-hauteur 5 ��, ainsi que les transmissions simulées sont représentées en Ągure 2.25. Notons que la largeur FWHM des fonctions dŠappareil est bien plus grande que celle des raies dŠab- sorption.

Nous pouvons remarquer que la transmission est bien diférente si on utilise une fonction dŠappareil de type rectangle ou triangle. De plus, si lŠon utilise une fonction dŠappareil triangulaire pour estimer la concentration à partir dŠun signal simulé avec une fonction dŠappareil rectangulaire, le biais dans la conĄguration représentée atteint 30%. La connaissance de la forme de la fonction dŠappareil est donc un paramètre quŠil faut prendre en compte dans lŠestimation des produits CL.

Cependant, nous remarquons également que les fonctions dŠappareil gaussienne et triangle ont des proĄls proches, ce qui se traduit bien évidemment par des estimations de produit CL similaires. En efet, le biais dŠestimation est inférieur à 1% si lŠon simule le signal avec lŠune de ces deux fonctions et que lŠestimation est efectuée en utilisant lŠautre. Cela montre que la fonction dŠappareil utilisée pour inverser les spectres peut avoir des diférences minimes avec la fonction réelle sans provoquer de biais majeur dans lŠestimation si la largeur à mi hauteur est correcte.

−10 −5 0 5 10 0 5 10 15 x 10−4

Fonctions d’appareil différentes mais de même largeur à mi hauteur

Longueur d’onde (nm) Unité arbitraire rectangle triangle gaussienne 31000 3150 3200 3250 3300 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Longueur d’onde (nm) Transmission

Transmission simulée avec différentes fonctions d’appareil ayant la même largeur à mi hauteur

Rectangle Triangle Gaussienne 3195 3200 3205 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

Figure 2.25 Ű Fonctions dŠappareil utilisées et transmissions simulées

InĆuence de la largeur à mi hauteur

Nous nous intéressons maintenant à lŠimpact dŠune mauvaise connaissance de la largeur à mi hauteur de la fonction dŠappareil. Pour cela, nous simulons des transmissions en utilisant une fonction de type rectangle. Ensuite nous appliquons lŠalgorithme dŠestimation du produit CL en utilisant une fonction dŠappareil ayant la même forme mais une largeur à mi-hauteur diférente. Comme nous nous intéressons ici uniquement à lŠimpact de la résolution, les signaux sont simulés sans bruit et avec une ligne de base constante égale à 1. Nous évaluons ainsi le biais dŠestimation induit uniquement par lŠécart de largeur à mi-hauteur de la fonction dŠappareil.

Les transmissions sont simulées avec une résolution de 5 �� FWHM (courbe bleue de la Ągure 2.26). Les évolutions et les ordres de grandeur sont les mêmes si lŠon utilise une résolution plus faible (tant quŠelle est supérieur à la largeur des raies dŠabsorption).

Les estimations sont efectuées en utilisant lŠalgorithme itératif MCI présenté précédemment. Comme nous nŠavons pas à éliminer la ligne de base, nous nŠappliquons pas de Ąltre au signal. Nous efectuons les estimations en utilisant les fonctions dŠappareil ayant des largeurs à mi-hauteur supérieures de 1% à 20% qui sont représentées en Ągure 2.26.

La Ągure 2.27 représente lŠévolution du biais relatif en fonction de la trans- mission au niveau des pics dŠabsorption (gauche). Ce biais sŠexplique en obser- vant la Ągure de droite qui représente la transmission simulée en utilisant les diférentes fonctions dŠappareil, pour une même valeur de produit CL (pour obtenir une transmission de 50% à cette résolution). On voit que la largeur de la fonction dŠappareil inĆue sur la profondeur des pics dŠabsorption : plus la

−100 −5 0 5 10 15 2 4 6 8 10 12 14 16 x 10−4

Fonction d’appareil utilisées pour la simulation du signal et pour l’estimation Longueur d’onde (nm) Unité Arbitraire FWHM 5 nm FWHM + 1% FWHM + 5% FWHM + 10% FWHM + 20%

Figure 2.26 Ű Fonctions dŠappareil utilisées pour estimer les produits CL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20 25 30 Transmission Biais relatif (%)

Biais relatif en fonction de la transmission minimale pour différents écarts à la résolution théorique:5nm 1% 5% 10% 20% 31000 3150 3200 3250 3300 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Longueur d’onde (nm) Transmission

Exemple de transmission simulée pour une résolution de 5 nm

3190 3200 3210 0.5 0.55 0.6 0.65 FWHM 5 nm FWHM + 1 % FWHM + 5 % FWHM + 10 % FWHM + 20 %

Figure 2.27 Ű Biais relatif dŠestimation des produits CL en fonction de la transmission au niveau des pics dŠabsorption et transmissions simulées avec les diférentes fonctions dŠappareil

fonction dŠappareil est large, moins les pics sont profonds. Par exemple, dans le cas représenté en Ągure 2.27 une erreur de 20% sur la largeur de la fonction dŠappareil implique une erreur de 16% sur la profondeur du pics dŠabsorption et un biais dŠestimation de 18%. Une erreur de quelques pourcents sur la largeur à mi hauteur de la fonction dŠappareil peut induire un biais de lŠordre de quelques pourcents sur lŠestimation de concentration. En outre, plus les pics dŠabsorption sont profonds et plus ce biais est important. CŠest pourquoi il faut porter une attention particulière à ce point.

2.4.10

Bilan

Dans ce paragraphe, les signaux issus de mesures Supercontinuum ainsi que le bruit ont été modélisés. Ceci a permis de calculer les performances optimales données par les Bornes de Cramer-Rao et de déĄnir des stratégies dŠoptimisation en fonction du régime de bruit dominant. Si le bruit de la source domine, il faut privilégier un système dŠanalyse spectrale permettant dŠaccumuler un grand nombre de réalisations. CŠest lŠune des raisons pour laquelle nous privilégierons, pour les mesures en bande II reportées dans le chapitre 4, et efectuées à fort rapport signal à bruit, une analyse spectrale par spectrographe. Cela nous permettra dŠaccumuler le maximum dŠimpulsions pour une grande plage spectrale et dans un temps réduit.

Ensuite, un estimateur itératif de produit concentration distance a été déve- loppé (nommé MCI). Cet estimateur prend en compte de manière eicace la principale caractéristique des signaux issus de mesures Supercontinuum, qui est la convolution par la fonction dŠappareil de lŠinstrument dŠanalyse spectrale. De plus, il est adapté au cas où lŠon ne connaît pas, a priori, la ligne de base par lŠutilisation dŠun Ąltrage des basses fréquences du signal. En outre, des tests statistiques sur des signaux simulés ont montré que cet estimateur avait des performances proches des performances optimales en terme dŠécart type dŠestimation. EnĄn, nous avons quantifé lŠerreur dŠestimation si la fonction dŠappareil utilisée pour inverser les spectres ne correspond pas exactement à la fonction dŠappareil réelle : une erreur de dix pourcent sur la largeur de la fonction dŠappareil induit un biais du même ordre de grandeur sur lŠestimation des produits CL, en particulier lorsque la transmission au niveau des pics dŠabsorption est faible.