Ayant choisi d’utiliser dans ce travail de thèse une approche morphologique à partir de la Ligne de Partage des Eaux (LPE), nous allons présenter cette méthode et une méthodologie d’application aux images hyperspectrales.
3.2.1 Introduction à la LPE
Dans cette partie après avoir rappelé la définition de la LPE, nous expliquons les différentes ma- nières de choisir les marqueurs : par imposition des minima ou par l’utilisation des fonctions d’ex- tinction. De plus amples précisions sont données dans l’annexe B.5.
3.2.1.1 Définition de la LPE
La notion de LPE est étroitement liée à celle de minimum régional et de bassin versant. Considé- rons, le relief de la fonction numérique f sous la pluie. Soit M un minimum régional de f . Le bassin versant associé à M , noté BV (M ), est l’ensemble des points x tels qu’une goutte d’eau tombant en x rejoint finalement le fond de la vallée associée à M . La notion de bassin versant permet d’associer à chaque minimum régional une portion de l’image : la vallée qui lui correspond. L’ensemble des bassins versants associés à chaque minimum régional définit une partition de l’image. Il existe une autre manière d’interpréter la LPE qui permet de régler les indéterminations des écoulements, e.g. où va la goutte d’eau sur les plateaux de pixels ou bien sur les pixels ayant plus d’un voisin avec le niveau de gris le plus faible. Imaginons que de l’eau jaillisse de chaque minimum régional et que la surface soit inondée à partir de ces sources. Progressivement, le niveau de l’eau s’élève. Pour empêcher le mélange des eaux venants de minimum différents, on crée un barrage élémentaire en chaque point de contact. A la fin, ne restent que les digues achevées, entourées de l’eau : c’est la LPE. Dans ce qui suit, on notera par LP E(f ) la LPE de la fonction f .
Il faut noter que la LPE est un ensemble de zones disjointes, partitionnant l’espace de définition de l’image. C’est à dire que la LPE fournit une partition.
La LPE est généralement calculée non pas sur l’image originale mais sur son gradient. De cette manière, la LPE correspond aux points crêtes du gradient autour des minima, c’est à dire aux lieux de forte transition d’intensité de la fonction initiale. Évidemment, les zones de fortes transition sont associées aux frontières ou contours des régions homogènes de l’image. L’image sur laquelle est appliquée la LPE, en général le gradient, est appelée fonction à segmenter ou fonction à inonder.
Meyer [118] a proposé des méthodes fondées sur des graphes qui ont abouti à des algorithmes
de segmentation hiérarchiques multi-échelles très rapides et efficaces, voir les thèses de Marcotegui [112], Gomilla [63] et Zanoguera [190].
Il est à noter que le nombre de parties de la segmentation est fixé par le nombre de sources. Pour choisir ce nombre de parties, on peut choisir a priori ou par filtrage le nombre de minima ou bien sélectionner les minima sur des critères morphologiques grâce aux fonctions d’extinction. On parle alors de LPE contrôlée par les marqueurs.
3.2.1.2 Choix des minima de la fonction à segmenter
Par définition, le nombre de régions de la LPE (sans utilisation de marqueurs) est égal au nombre de minima régionaux de l’image gradient (i.e. la fonction à segmenter), et ceci correspond au nombre de plateaux de l’image originale. Étant donné que pour les images réelles il y a un grand nombre de minima présents sur leur gradient, l’effet est une sur-segmentation. Pour régler ce problème, l’idée consiste à calculer la LPE à partir d’un nombre plus faible de minima, associés aux régions les plus importantes. En pratique, on entend par marqueurs la fonction mrk(x), où mrk(x) = 1 si x appartient
aux marqueurs et mrk(x) = 0 sinon, c’est à dire un ensemble de composantes connexes (les minima de mrk), permettant de localiser les régions qui doivent être segmentées. Une manière de contrôler le résultat de la segmentation est de modifier les minima de l’image sur laquelle on calcule la LPE, c’est à dire d’imposer les minima de mrk comme seuls minima de l’image g. Pour effectuer ce marquage, l’algorithme utilisé consiste en une fermeture par reconstruction, ou reconstruction géodésique, de mrk selon (f + 1) ∧ mrk(cf. annexe B.5.3.2, p : 250) :
f0 = ϕrec(mrk, (f + 1) ∧ mrk) .
On peut calculer alors la LPE sur la nouvelle fonction g0 dans laquelle il y aura un bassin versant
associé à chaque marqueur-minimum. Le nombre de régions obtenu est exactement égal au nombre de marqueur-minimum. On peut noter cette transformation par LP E(g, mrk).
Les minima peuvent être obtenus par filtrage de l’image d’entrée ou bien par interaction avec l’utilisateur. Il est donc possible d’introduire une connaissance a priori. La LPE est alors appelée LPE contrôlée par marqueurs. En annexe, plus de détails sont donnés concernant la LPE avec imposition des marqueurs (cf. annexe B.5.3, p : 248).
3.2.1.3 Extraction des marqueurs à l’aide des fonctions d’extinction
Il existe une manière « automatique » de choisir des marqueurs pertinents pour la LPE. On dispose généralement d’informations permettant de caractériser les régions d’intérêt : leur contraste, taille, forme, couleur, ... Extraire automatiquement des marqueurs pour les régions consiste donc à utiliser l’ensemble de ces informations.
Les marqueurs sont des minima, par conséquent, le calcul des fonctions d’extinction des minima permet de sélectionner les minima les plus significatifs selon un critère morphologique donné, comme la dynamique maximale des niveaux de gris d’un bassin versant (BV), la surface de ce BV ou son volume. La sélection des BV se fait par simple seuillage des fonctions d’extinction. La valeur du seuil correspond à la dynamique, à la surface ou au volume du BV. Les valeurs d’extinction sont donc très utiles pour la segmentation automatique des fonctions numériques. Pour une étude détaillée de ces fonction, consulter les thèses de Grimaud [69] et Vachier [183]).
Donnons maintenant quelques propriétés des fonctions d’extinction. La dynamique est très sen- sible lorsqu’elle calculée sur une image de gradient, aux variations locales d’intensité sur les lignes de crête du gradient qui peuvent modifier radicalement les valeurs de la dynamique. Les valeurs d’extinc- tion surfaciques calculées sur l’image gradient sont également une mesure de la surface des régions de l’image : contrairement à la dynamique, il n’y a pas de différence d’interprétation entre la mesure de surface calculée sur l’image originale et celle calculée sur l’image gradient, même si ces mesures peuvent être différentes. Les fonctions d’extinction volumiques, qui tiennent compte à la fois de la taille et du contraste des régions, sont aussi très utiles pour la segmentation.
3.2.2 La segmentation des images hyperspectrales par LPE
Segmenter une image par LPE nécessite deux éléments : 1. des marqueurs mrk ;
Les marqueurs peuvent être déterminés par l’utilisateur, selon un critère morphologique (e.g. vo- lume du bassin versant) ou selon les classes de la classification. Les marqueurs issus de la classifica- tion sur les spectres permettent d’introduire l’information spectrale dans la segmentation. Si on utilise une classification spatio-spectrale, comme celle par profils morphologiques, on peut introduire une information sur l’espace et sur le spectre. Dans ce travail de thèse nous avons utilisé uniquement des classifications spectrales, car l’information spatiale a été introduite dans la fonction inonder.
La fonction à inonder est une fonction g : E → T , c’est à dire une image numérique (i.e. sca-
laire) 2D pour une image hyperspectrale 2D, i.e. E ⊂ R2. Nous avons ainsi développé une méthode
déterministe à partir d’un gradient, ou plutôt la norme d’un gradient. Nous avons aussi introduit une nouvelle méthode probabiliste pour déterminer une fonction de densité de probabilité de contours pdf . Cette pdf est conditionnée par la classification spectrale κ. La pdf est ensuite utilisée comme fonction à inonder.
Une fonction à inonder comme le gradient contient l’information spatiale. Afin d’ajouter de l’in- formation, nous avons introduit une nouvelle fonction à inonder g spatio-spectrale.
Après obtention des marqueurs mrk et de la fonction à inonder g, on applique l’algorithme de LPE qui utilise l’imposition des minima sur la fonction inonder. La segmentation fournie LP E(f, mrk), est la Ligne de Partage des Eaux contrôlées par marqueur de l’image f . Il est également possible d’utiliser les fonctions d’extinction, pour sélectionner les minima sur un critère morphologique (e.g. le
volume du bassin versant), à la place des marqueurs. La segmentation résultante est notée LP E(f, ξN)
où ξ est le critère retenu pour le calcul des valeurs d’extinction (ξ = C pour le contraste, ξ = S pour la surface et ξ = V pour le volume) et N est le nombre de régions retenues selon leur valeur d’extinction.
Le paradigme de segmentation par LPE est présenté sur la figure 3.1. Image d'entrée
Marqueurs Fonction à inonder
- interaction utilisateur - classification κ - critère morphologique (fonction d'extinction) - gradient - pdf - pdf conditionnée par la classification κ Information spatiale ou spatio-spectrale Information spectrale (imposition des minima)LPE
LPE f , mrk ou LPE f ,N
FIG. 3.1 – Schéma général de segmentation des images hyperspectrales par LPE.