4. L’évolution est une bricoleuse
4.2. Le secret de la vie
Neste capítulo estudaremos a situação onde temos um grupo G coberto (ou seja, é a união) por classes laterais de alguns de seus subgrupos H1, H2, H3. . .. Escreveremos G = ∞ ∪ i=1 Higi.
Estamos interessados no caso onde G é a união finita de classes. Sobre isto, provaremos o seguinte Teorema devido a Neumann
Teorema 3.1 (Neumann) Se o grupo G é a união de uma quantidade finita de classes laterais dos subgrupos H1, H2. . . Hn, ou seja,
G = n
∪
i=1
Higi (3.1)
então existe Hital que |G : Hi| ≤ n. Observação 3.1
(i) Não há perda de genaralidade em supormos as classes à direita, haja vista que uma classe à esquerda de um subgrupo H é também uma classe à direita de algum subgrupo conjugado a H, ou seja,
gH = (gHg−1)g.
(ii) O resultado é falso para uma cobertura com infinitas classes. Para ver isto basta considerar o produto direto restrito de um grupo K indexado pelos naturais
G = Dr(K)λ, λ = 1, 2, . . . .
Agora basta considerar os subgrupos Hicomo sendo dados porDrnλ =1Kλ. Para demonstrarmos o Teorema 3.1 necessitaremos de alguns Lemas.
3.1 Grupos cobertos por classes laterais 85
Lema 3.2 Nas mesmas hipóteses do Teorema 3.1, pelo menos um dos subgrupos Hiapresenta índice finito.
Demonstração :
A prova será feita por indução sobre o número de subgrupos distintos da cobertura.
Caso todos os Hi’s coincidam então teremos G como uma união de n classes laterais de apenas um subgrupo, implicando assim que teremos um índice finito.
Agora suponhamos a validade de nossa hipótese, toda vez que tivermos uma cobertura de um grupo por classes de no máximo (r − 1) subgrupos distintos. Suponhamos agora que exista r > 1 subgrupos distintos dentre H1, H2, . . . , Hn. Reordenando os índices, podemos supor que
H1, H2, . . . , Hm̸= Hne Hm+1= Hm+2= . . . = Hn. Sendo assim temos que, ou
G = n
∪
i=m+1
Hngi⇒ |G : Hn| < ∞ ou existe h ∈ G tal que
h /∈ n
∪
i=m+1
Hngi. (3.2)
Caso isto ocorra então
Hnh∩ ( n ∪ i=m+1 Hngi ) = /0 e, assim, Hnh ⊂ m ∪ i=1 Higi.
Caso g seja um elemento qualquer de G, multiplicando a expressão acima por h−1gobteremos Hng ⊂ ( m ∪ i=1 Higi ) h−1g =∪m i=1 Higih−1g.
Perceba agora que acabamos de encontrar... cada classe lateral de Hnpode ser coberta por uma união finita de classes dos (r − 1) subgrupos restantes. Sendo assim G pode ser coberto por uma quantidade finita de classes desses (r − 1) subgrupos. Mas, por hipótese de indução, pelo menos um deles terá índice finito.
Lema 3.3 Se H1, H2, . . . , Hmtêm índice infinito e Hm+1= Hm+2= . . . = Hn, então G = n ∪ i=1 Higi= n ∪ i=m+1 Hngi,
ou seja, se apenas um dos subgrupos tiver índice finito, as classes dos subgrupos de índice infinito podem ser omitidas da cobertura.
Demonstração:
Segue-se diretamente do Lema anterior, pois caso ocorra 3.2 encontramos
um dos subgrupos H1, H2, . . . , Hm de índice finito, o que é um
absurdo.
Lema 3.4 As classes laterais dos subgrupos de índice infinito podem ser omitidas da cobertura. Demonstração:
Sejam Hm+1, Hm+2, . . . , Hnos subgrupos de índice finito da cobertura (3.1). Fazendo D =
n
∩
i=m+1 Hi teremos que |G : D| será finito.
Observe agora que Hm+1, . . . , Hn contêm D. Dessa maneira, cada um deles pode ser escrito como uma união finita de classes (à direita) de D. Sendo assim, poderemos escrever G como uma união finita de classes de H1, H2, . . . , Hm e de D. Segue-se assim, do Lema 3.3, que as classes de H1, H2, . . . , Hmpodem ser omitidas.
Agora podemos recompor as classes de Hm+1, Hm+2, . . . , Hn a partir das classes de D nas quais elas foram decompostas. Observe
Hj=∪ l Dxjl Hjgj= ∪ l Dxjlgj. Segue-se assim o resultado desejado.
Com base nestes Lemas demonstraremos o Teorema de Neumann.
3.1 Grupos cobertos por classes laterais 87
Demonstração do Teorema 3.1:
Primeiro, consideremos o caso em que G é finito. Sendo assim |G| ≤ |H1| + |H2| + . . . + |Hn| o que implica que haverá um Hide forma que
|Hi| ≥|G|
n ⇒ |G : Hi| ≤ n.
Agora, para o caso geral, comecemos por omitir da cobertura todas as classes dos subgrupos de índice infinito. Denotaremos novamente por D a interseção dos subgrupos de Hi restantes. Agora decomponha as classes Higiem classes de D, ou seja,
Hi= ∪ x∈Ti Dx (Titransversal) Higi= ∪ x∈Ti Dxgi.
Sendo assim cada Higié a união de |Hi: D| classes de D. Dessa forma G estará contido na união de
∑
|Hi: D| classes de D. Logo∑
|Hi: D| ≥ |G : D| ⇒∑
|G : D||G : Hi|≥ |G : D| ⇒
∑
1|G : Hi| ≥ 1.
Agora, este somatório apresenta no máximo n termos. Concluímos assim que existe Hital que 1
|G : Hi|≥ 1
n ⇒ |G : Hi| ≤ n.
Diremos que a cobertura (3.1) é irredundante se nenhuma das classes pode ser omitida, ou seja
Higi̸⊂∪ j̸=i
Hjgj.
Teorema 3.5 (Neumann) Se G apresenta uma cobertura irredundante por n classes laterais (à direita) G = H1g1∪ H2g2∪ . . . ∪ Hngn então G: n ∩ i=1 Hi é finito.
Observação 3.2 Isso ocorre se, e somente se, |G : Hi| < ∞, ∀i.
3.2 Sobre f
1(n)
Seguindo a notação de M. J. Tomkinson em seu artigo [19], definiremos f1(n) = máximo valor do índice
G: n ∩ i=1 Hi
sobre todos os grupos G que admitem uma cobertura irredundante por n classes G = H1g1∪ H2g2∪ . . . ∪ Hngn.
Observação 3.3 Não sabemos ainda se tal máximo existe, mas como veremos ainda nesta seção, para todo grupo G com uma cobertura irredundante por n classes temos
G: n ∩ i=1 Hi ≤ n!
então não nos preocupemos, por enquanto, com a boa definição de f1(n). O Teorema
Teorema 3.6 (Tomkinson - Parte 1) f1(n) = n!
é de fundamental importância no estudo de cobertura de grupos.
Com o intuito de demonstrarmos tal Teorema, enunciaremos e demonstraremos alguns Lemas fundamentais.
3.2 Sobre f1(n) 89
Lema 3.7 Seja G um grupo. Se H,K ≤ G e x ∈ G, então H ∩ Kx ou é vazio ou é uma classe lateral.
Demonstração:
De fato, suponha que H ∩ Kx ̸= /0. Logo, existe y ∈ H ∩ Kx. Nosso objetivo consiste em mostrar que H ∩ Kx é uma classe lateral.
Como y ∈ H ∩ Kx temos que y ∈ H e y ∈ Kx. Vamos mostrar que H ∩ Kx = (H ∩ K)y.
Sendo assim, considere z ∈ H ∩ Kx. Dessa forma temos que z = k1x, para algum k1∈ K. Note que podemos ter z = (zy−1)y. Agora como temos z, y ∈ H segue que zy−1∈ H. Observe ainda que
zy−1= k
1x(kx)−1= k1xx−1k−1= k1k ∈ K ⇒ zy−1∈ K. Dessa maneira z ∈ (H ∩ K)y. Logo, H ∩ Kx ⊆ (H ∩ K)y.
Da mesma maneira, considerando agora z ∈ (H ∩ K)y com y ∈ H ∩ Kx, ou seja, y ∈ H e y ∈ Kx, isto é, y = h para algum h ∈ H e y = kx para algum k ∈ K. Sendo assim, por um lado temos z = ay ∈ H, pois a ∈ ∩K e y ∈ H.
Por outro lado, do fato de y = kx, temos z = ay = akx = k1x ∈ Kx, pois a ∈ H ∩ K e assim
a,k ∈ K ⇒ k1= ak ∈ K. Logo, z ∈ H ∩ Kx. Portanto, (H ∩ K)y ⊆ H ∩ Kx. Sendo assim,
segue-se o resultado desejado.
Lema 3.8 Seja G um grupo e
G = H1g1∪ H2g2∪ . . . ∪ Hngn
uma cobertura irredundante de G por n classes laterais e considere D = n
∩
i=1
Hi. Então para qualquer0 ≤ r ≤ n − 1, e qualquer permutaçãoρde {1,2,3,...,n} temos
Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r): D ≤ r! Demonstração:
A demonstração será feita por indução sobre r. Para r = 0 temos a validade da afirmação. Suponha agora que tenhamos r ≥ 1, e que a interseção de qualquer n − (r − 1) subgrupos de Hi
contenha D como subgrupo de índice no máximo (r − 1)!. Agora usando o fato da cobertura ser irredundante, existe x de modo que
x ∈ G −(Hρ(1)gρ(1)∪ Hρ(12)gρ(2)∪ . . . ∪ Hρ(n−r)gρ(n−r)). Observe que para cada j ∈ {1,2,...,n − r} temos
(
Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r))x∩Hρ( j)gρ( j)= /0
pois caso existisse y ∈ Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r)tal que yx = yρ( j)gρ( j)com yρ( j)∈ Hρ( j) teríamos que x = y−1y
ρ( j)gρ( j). Mas y−1yρ( j)∈ Hρ( j)e assim x ∈ Hρ( j)gρ( j)o que é um absurdo. Dessa forma podemos concluir que
( Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r))x ⊆ n ∪ k=n−r+1 Hρ(k)gρ(k) ⇒(Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r))⊆ ( n ∪ k=n−r+1 Hρ(k)gρ(k) ) x−1 ⇒(Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r))⊆ n ∪ k=n−r+1 Hρ(k)gρ(k)x−1 Sendo assim, podemos dizer que Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r)é igual a
n
∪
k=n−r+1 (
Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r)∩ Hρ(k)gρ(k)x−1).
Segue-se agora do Lema 3.7 que para cada k temos que
Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r)∩ Hρ(k)gρ(k)x−1= /0 ou Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r)∩ Hρ(k)gρ(k)x−1=(H ρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r)∩ Hρ(k)gρ(k) ) yk. Dessa maneira, Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r) é a união de no máximo r classes laterais, cada uma das quais, por hipótese de indução, é a união de no máximo (r − 1)! classes laterais de D.
3.2 Sobre f1(n) 91 Veja Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r) = n ∩ k=n−r+1 ( Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r)∩ Hρ(k)gρ(k))yk = ∩ j≤(r−1)! k ( Dyk1∪ . . . ∪ Dyk j ) yk = ∩ j≤(r−1)! k Dyk1yk∪ . . . ∪ Dyk jyk
Portanto, Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r) será coberto por no máximo r! classes laterais de D, e concluímos assim que
|Hρ(1)∩ Hρ(2)∩ . . . ∩ Hρ(n−r): D| ≤ r! o que completa a nossa indução.
Lema 3.9 Seja G = H1g1∪ H2g2∪ . . . ∪ Hngn uma cobertura irredundante de G e seja D = n ∩ i=1 Hi. Então |G : D| ≤ n! Demonstração:
Pelo Lema anterior, cada Hié a união de no máximo (n − 1)! classes laterais de D e assim cada Higiserá a união de no máximo (n − 1)! classes laterais de D, e portanto G será a união de no máximo n! classes laterais de D. Logo
|G : D| ≤ n!
Com base nesses resultados mostramos até agora que
f1(n) ≤ n!.
Exemplo 3.1 Considere G = Sn, o grupo das permutações de ordem n. Seja H o estabilizador de n, ou seja, H é o subgrupo das permutações que fixam o elemento n.
Tome x = (123...n). Sendo assim
G = H ∪ xH ∪ x2H ∪ ... ∪ xn−1H com tal união disjunta.
Para que percebamos a igualdade, note que cada xiH é o conjunto de todas as permutações que levam n em i.
Com efeito, dadoα ∈ Sncomα(n) = i então
x−iα(n) = x−i(i) = n ⇒ x−iα ∈ H ⇒α ∈ xiH. Analagomante, prova-se a recíproca.
Agora iremos melhorar um pouco essa união de G por classes laterais. Escrevamos G de uma forma estratégica:
G = H ∪(xHx−1)x ∪(x2Hx−2)x2∪ . . .(xn−1Hx−(n−1))xn−1.
Observe que tal cobertura é irredundante formada por n classes laterais (à direita) disjuntas. Para que se perceba isso, basta observar que xiHx−ié o estabilizador de i, ou seja, é o subgrupo das permutações que fixam o elemento i. A demosntração disto segue da mesma forma que foi feita acima.
Agora temos que D = n−1∩
i=0
xiHx−i= 1 (Pois fixa todos os elementos).