Schémas préservant l’asymptotique

Dans cette partie, on présente les méthodes préservant l’asymptotique (Asymptotic

Pre-servingen anglais) qui occupent une place primordiale dans ce manuscrit. Dans la suite on

désignera par les initiales AP le terme Asymptotic-Preserving. Présentons dans un premier

temps le contexte où peuvent être utiles ces schémas.

Soit un réel positif qu’on choisira inférieur ou égal à 1 , sans perte de généralité. Un

problème physique faisant intervenir un tel paramètre sera noté P

. Nous supposerons

que la solution de ce problème notée u

converge (dans un certain sens) vers une

solu-tionu

d’un problème limite, notéP

. De tels problèmes sont délicats à étudier aussi bien

d’un point de vue analytique que numérique. En effet, les problèmes non-limite et limite

peuvent être de nature mathématique complètement différente (le problème limite étant

souvent plus simple que le problème initial). Et certaines méthodes analytiques et/ou

nu-mériques adaptées pour le problème non-limite ne le seront pas plus le problème limite (et

réciproquement).

Les schémas préservant l’asymptotique trouvent leur motivation dans le contexte des

problèmes multi-échelles évoqués précédemment. Les méthodes numériques classiques

peuvent échouer à résoudre correctement de tels problèmes. En guise d’exemple, tout

schéma numérique explicite souhaitant résoudre un problèmeP

fera apparaitre une

condi-tion de stabilité qui dépendra de, ainsi dans de nombreux cas, à la limite→0, il faudra

prendre des pas de temps et/ou d’espace de l’ordre depour ne pas violer cette condition.

Ce qui n’est pas tolérable pour des valeurs très faibles de.

Une première idée afin de contrer ce problème serait de résoudre le problème limiteP

plutôt que le problèmeP

. Mais pour cela, il faut que celui-ci soit bien connu, ce qui n’est

pas toujours le cas. De plus, dans de nombreux cas physiques, se préoccuper uniquement

du problème limite est réducteur. Les exemples de problèmes multi-échelles donnés

précé-demment ont montré que le paramètrepouvait être relié à un paramètre physique. Cela

permet de souligner le fait que le problème limite n’est pas toujours adapté pour décrire

le phénomène physique considéré. Si est très faible dans certaines zones du domaine, il

peut être de l’ordre 1 dans d’autres. Le paramètrepeut donc varier en espace et en temps

du fait de l’évolution des propriétés physiques du système.

Une deuxième idée serait de développer un schéma numérique pour le problèmeP

et

un autre pour le problème P

(sous couvert de connaitre ce problème limite). Mais cette

approche pose le problème de la zone de transition entre les deux régimes et de la manière

de coupler les deux modèles. De plus, il est nécessaire de connaitre précisément la variation

spatiale de afin de construire une zone de transition appropriée. L’idée d’un schéma AP

est de résoudre sans condition de stabilité qui dépendrait deles problèmesP

etP

sans

passer par le développement de deux méthodes numériques distinctes.

Propriétés d’un schéma AP.

Nous allons considérerP

une discrétisation du problèmeP

etP

une discrétisation

du problèmeP

, avech= (∆x,∆t) . Un schéma préservant l’asymptotique devra vérifier ces

trois conditions :

— Le schéma développé devra être uniformément stable par rapport à.

— Pour tout >0 fixé,P

devra être une discrétisation consistante du problèmeP

.

— Pour touthfixé,P

devra être une discrétisation consistante du problèmeP

.

Ainsi, ces schémas sont en mesure d’obtenir les bonnes solutions numériques aux échelles

microscopique et macroscopique en une même procédure numérique. Nous pouvons

résu-mer notre propos dans le diagramme commutatif présent sur la Figure1.8:

P

P

P

P

→

0

h→0

h→0

→

0

Figure1.8 – Propriétés d’un schéma préservant l’asymptotique.

Construction d’un schéma AP.

Si nous avons expliqué ce qu’est un schéma préservant l’asymptotique, il reste à donner la

méthode pour construire un tel schéma à partir de notre problème de départ.

1. Reformulation du problème à perturbation singulière. Bien souvent, le problème

P

est singulier, ce qui conduit à un problèmeP

de nature mathématique très diff

é-rente du problème initial. Une des premières étapes du développement d’un schéma

AP (bien qu’elle ne soit pas toujours nécessaire) est de reformuler mathématiquement

le problèmeP

afin d’obtenir un nouveau problèmeR

équivalent au problèmeP

.

L’idée est que ce problème reformulé soit une perturbation régulière du problème

limite P

. Ils seront donc sous une même forme mathématique et le traitement

nu-mérique sera largement simplifié.

2. Discrétisation en temps adaptée. L’étape suivante est la discrétisation en temps du

problème reformulé (ou du problème initial si ce dernier n’a pas été reformulé). Afin

de s’assurer de la stabilité inconditionnelle du schéma, on implicite tous les termes

raides du problème, s’il en reste après la régularisation du problème.

3. Discrétisation en espace adaptée. Enfin, il faut choisir une discrétisation en espace

des opérateurs présents dans le problème reformulée. Cette étape est aussi

impor-tante que la discrétisation en temps. En particulier, même si tous les termes raides

sont implicites, un mauvais choix de discrétisation spatiale peut conduire à un schéma

numérique ne respectant pas les propriétés d’un schéma AP. Ce point sera illustré

dans le Chapitre 2.

Quelques références pour finir.

L’esprit des schémas AP a été introduit la première fois par Larsen & al. au sujet de

l’ob-tention de la solution stable lors du transport de neutrons en régime diffusif [91]. Pour une

revue détaillée des méthodes préservant l’asymptotique, on renvoie à [80,112].

De nombreux schémas AP ont été développés pour résoudre une grande variété de

pro-blèmes, incluant des problèmes anisotropes elliptiques [35,36] ou paraboliques [107], ainsi

que des équations de Vlasov dans le régime hydrodynamique [55], le régime de

dérive-diffusion [30,84], ou encore le régime en champ magnétique fort [31,81]. On peut

égale-ment citer les problèmes liés au régime faible-Mach de l’équation d’Euler [37,42].