Muitos problemas de decisão e planejamento envolvem múltiplos objetivos conflitantes que devem ser considerados simultaneamente. Na otimização de um único objetivo, é possível determinar, dado um conjunto de soluções, qual é melhor que a outra. Como resultado, ge- ralmente obtêm-se um única solução. No entanto, na otimização multiobjetivo não existe um método direto para determinar se uma solução é melhor do que determinada outra. O método mais comumente adotado na otimização multiobjetivo para comparar soluções é o chamado de relação de dominância de Pareto, que, em vez de uma única solução ótima, leva a um con- junto de alternativas com diferentes trade-off entre os objetivos. Essas soluções são chamadas soluções ótimas de Pareto ou soluções não dominadas (Jaimes et al. (2009)).
Formalmente, um problema de otimização com múltiplos objetivo é definido como:
Minizar f (x) = [f1(x), f2(x), . . . , fk(x)]T (3.9)
Sujeito a x ∈ χ (3.10)
O vetor x ∈ Rné formado por n variáveis de decisão representando as quantidades para as
quais os valores devem ser escolhidos no problema de otimização. O conjunto viável χ ⊆ Rn
é implicitamente determinado por um conjunto de restrições de igualdade e desigualdade. A função vetorial f : Rn → Rk é composta por k funções objetivo escalares f
i : Rn → R
(i = 1, . . . , k; k ≥ 2). Na otimização multiobjetivo, os conjuntos Rn e Rk são conhecidos como espaço variável de decisão e espaço de função objetivo, respectivamente (Jaimes et al. (2009)).
A Figura 3.5 exibe o espaço de χ sob a função f e o subconjunto do espaço de fun- ção objetivo denotado por Z = f (χ) e referido como o conjunto viável no espaço de função objetivo.
Para definir com precisão o problema de otimização multiobjetivo indicado na definição na Eq. 3.9, estabelece-se o significado de minimização em Rk. Isto é, define-se como os vetores f (x) ∈ Rk devem ser comparados para diferentes soluções x ∈ Rn. Na otimização multiobjetivo, adota-se geralmente a relação de dominância de Pareto. A Figura 3.6 ilustra o
3.1. Algoritmos de Otimização 52 x1 x2 f2 f1 f3
𝜒 ⊆ ℝ
𝑛𝒵 ⊆ ℝ
𝑘 𝐟: ℝ𝑛 → ℝ𝑘Figura 3.5: Espaços de busca em otimização multiobjetivo (adaptado de Jaimes et al. (2009)).
conceito de conjunto ótimo de Pareto e sua projeção no espaço objetivo, a frente de Pareto. Os pontos mais escuros indicam vetores ótimos de Pareto. No espaço das variáveis, esses vetores são referidos como vetores de decisão ótimos de Pareto, enquanto que no espaço objetivo, são chamados de vetores ótimos de Pareto. Como pode-se observar na Figura, a frente de Pareto é composta apenas por vetores não-dominados.
Otimização multiobjetivo evolucionária
No contexto da otimização multiobjetivo, o princípio extremista de encontrar a solução ótima não pode ser aplicada a um único objetivo, quando o restante dos objetivos também são relevantes. Diferentes soluções podem produzir trade-offs (conflito de resultados entre obje- tivos) entre diferentes objetivos. Uma solução que é extrema (em um sentido melhor) com respeito a um objetivo requer um compromisso em outros objetivos. Isso impede que se esco- lha uma solução que seja ideal em relação a apenas um objetivo. Isso sugere claramente dois objetivos ideais de otimização multiobjetivo (Deb (2008)):
1. Encontrar um conjunto de soluções que se encontram na frente ótima de Pareto
2. Encontrar um conjunto de soluções que sejam suficientemente diversas para representar a frente de Pareto.
Os algoritmos evolutivos de otimização multiobjetivo tentam seguir ambos os princípios acima. Considere a Figura 3.7, na qual esboça-se como várias otimizações paramétricas in- dependentes de um único objetivo que podem encontrar diferentes soluções Pareto-ótimas. A
3.1. Algoritmos de Otimização 53 x1 x2
𝜒 ⊆ ℝ
𝑛 𝐟: ℝ𝑛 → ℝ𝑘 f1 f2𝒵 ⊆ ℝ
𝑘 Frente de ParetoFigura 3.6: Conjunto ótimo de Pareto e sua frente (adaptado de Jaimes et al. (2009)).
frente ótima de Pareto corresponde a soluções ótimas globais de vários objetivos. No entanto, ao longo de um procedimento de otimização, os algoritmos devem superar uma série de dificul- dades, tais como regiões inviáveis, soluções ótimas locais, regiões planas de funções objetivas, dentre outras, para convergir para a solução ótima global. Além disso, devido a limitações práticas, uma tarefa de otimização também deve ser concluída em um custo computacional ra- zoável. Isso requer um algoritmo para encontrar um bom equilíbrio entre a extensão dessas tarefas que seus operadores devem realizar para superar as dificuldades acima mencionadas de forma confiável e rápida (Deb (2008)).
Como visto, a presença de múltiplos objetivos em um problema de otimização, em prin- cípio, dá origem a um conjunto de soluções ótimas (conhecidas como soluções Pareto-ótimas), em vez de uma única solução ideal. Na ausência de qualquer informação adicional, uma destas soluções de Pareto-ótimas não pode ser considerada melhor do que outras. Isso exige encontrar tantas soluções Pareto-ótimas quanto possível. Métodos clássicos de otimização sugerem con- verter o problema de otimização multiobjetivo em um problema de otimização mono-objetivo, enfatizando uma solução Pareto-ótima. Quando um tal método é aplicado a fim de encontrar múltiplas soluções, o mesmo deve ser aplicado diversas vezes, esperando encontrar uma solução diferente em cada rodada do algoritmo (Wang et al. (2010)).
Na tentativa de contornar estes inconvenientes, algoritmos evolucionários são utilizados em otimização multiobjetivo, pois permitem que um conjunto de soluções ótimas de Pareto sejam encontradas com maior eficiência. Um exemplo clássico é o algoritmo genético elaborado por Deb et al. (2002), conhecido como NSGA-II (Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm), que implementa o conceito de dominância, ou seja, classificar a população total em fronts de acordo com o grau de sua dominância. Segundo o NSGA-II, os indivíduos que estão localizados no primeiro front são considerados as melhores soluções daquela geração, enquanto que no último front encontram-se as piores. Segundo o autor, usando esse conceito, pode-se encontrar
3.2. Redes Neurais Artificiais 54