S´ eparabilit´ e

Nous somme `a pr´esent en mesure de discuter la s´eparabilit´e des espaces de Lebesgue.

Proposition 4.4.1. Soit Ω un ouvert de R^N et 1 ≤ p < ∞. Alors l’espace L^p(Ω) est s´eparable.

D´emonstration. Soit (K_n)n∈N une suite exhaustive de compact, i.e., K_n ⊂ K˚_n+1 pour tout n∈Net Ω =S

n∈NKn. D’apr`es le Corollaire2.2.5,C(K_n) est s´eparable par rapport

`

a la norme uniforme surKn. Or les ensemblesKn ´etant born´es, la convergence uniforme surK_n implique la convergence dans L^p(K_n) pour tout 1≤p <∞ car

Z

Kn

|f−g|^pdx≤ L^N(Kn) sup

Kn

|f −g|^p pour toutf, g∈ C(K_n).

Par cons´equent, l’espaceC(K_n) est s´eparable pour la convergence dansL^p(K_n). Pour tout n∈N, il existe donc un ensembleD_n d´enombrable dense dansC(K_n) pour la convergence dansL^p(Kn).

Posons D:=S

nDn qui est par cons´equent d´enombrable. Si l’on ´enum`ere les ´el´ements de Den une suite (f<sub>i</sub>)i∈N, chacune des fonctionsf<sub>i</sub> est une fonction continue sur un sous-ensemble compact de Ω. On ´etend alors fi par z´ero sur Ω, et on note ˜fi cette extension qui n’est a prioriplus continue mais toutefois dans L<sup>p</sup>(Ω). L’ensemble ˜D := {f˜i}<sub>i∈N</sub> est alors un sous-ensemble d´enombrable deL<sup>p</sup>(Ω). Montrons qu’il est dense dansL<sup>p</sup>(Ω). Pour ce faire, soit f ∈ L<sup>p</sup>(Ω) et ε > 0. D’apr`es le Th´eor`eme 4.3.3, il existe g ∈ C_c(Ω) tel que kf −gk_Lp(Ω) ≤ ε. Ensuite il existe un n ∈ N tel que Supp(g) ⊂ Kn. Donc il existe un h∈Dn tel que kg−hk_Lp(Kn)≤ε. Soit ˜h l’extension par z´ero de h sur Ω. Alors ˜h∈D˜ et commeg= 0 sur Ω\K_n, il vient

Z

Ω

|˜h−g|^pdx= Z

Kn

|h−g|^pdx≤ε^p.

Finalement, on a que kf −˜hk_Lp(Ω) ≤ kf −gk_Lp(Ω)+kg−˜hk_Lp(Ω) ≤2ε, ce qui montre la densit´e de ˜D dansL^p(Ω).

4.5. CRIT `ERE DE COMPACIT ´E 47 Proposition 4.4.2. Soit Ω un ouvert de R^N. L’espace L^∞(Ω) n’est pas s´eparable.

D´emonstration. Soit X := {χ_B(x,r) : B(x, r) ⊂Ω} qui est une famille non d´enombrable de L^∞(Ω). Si χ, χ⁰ ∈ X sont telles que χ 6= χ⁰, alors kχ−χ⁰k_∞ = 1. Supposons qu’il existe un sous-ensembleD ={f_n}n∈N de L^∞(Ω) d´enombrable et dense. Soit Φ :X → N l’application qui `a chaqueχ∈Xassocie le plus petit entiern∈Ntel quekχ−f_nk_∞≤1/3.

Cette application est bien d´efinie par densit´e de D dans L^∞(Ω). Supposons maintenant que Φ(χ₁) = Φ(χ₂) =n, alorskχ₁−f_nk∞≤1/3 etkχ₂−f_nk∞≤1/3, ce qui implique par l’in´egalit´e triangulaire quekχ₁−χ₂k_∞≤2/3<1. Commeχ1etχ2∈Xsont des fonctions caract´eristiques, alors n´ecessairement χ₁ =χ₂ dansL^∞(Ω) ce qui montre l’injectivit´e de Φ. L’ensembleX ´etant non d´enombrable, on aboutit `a une contradition.

4.5 Crit` ere de compacit´ e

Pour finir, nous ´etablissons un crit`ere compacit´e dans les espaces de Lebesgue.

Th´eor`eme 4.5.1 (Riesz-Fr´echet-Kolmogorov). Soit (f_n)n∈N une suite de fonctions dansL^p(R^N), avec 1≤p <∞, telle que

Alors, pour tout compact K ⊂ R^N, la suite (f_n|K)n∈N admet une sous-suite convergente dansL^p(K).

D´emonstration. Soit (ρ_k)k∈Nune suite r´egularisante comme dans la D´efinition4.3.4. Pour tout k ∈ N, on consid`ere la suite (f_n∗ρ_k|K)n∈N de fonctions dans C(K). Nous allons montrer que pour tout k ∈ N, la suite (f_n∗ρ_k|

K)n∈N admet une sous-suite convergente dans C(K). Pour faire, nous allons appliquer le th´eor`eme d’Ascoli-Arzela. Tout d’abord d’apr`es l’in´egalit´e de H¨older, pour tout x∈K, on a

o`u, d’apr`es l’hypoth`ese (i), la constanteC_k>0 est ind´ependante denet dex. Par ailleurs, six etx⁰∈K,

o`u, d’apr`es l’hypoth`ese (ii), ωk(t) → 0 quand t → 0<sup>+</sup>, ce qui montre l’uniforme ´ equi-continuit´e de la suite (f<sub>n</sub>∗ρ<sub>k|K</sub>)n∈N. Le Th´eor`eme d’Ascoli-Arzela combin´e avec un prin-cipe d’extraction diagonal assure l’existence d’une sous-suite (f_σ(n)∗ρ_k|

K)n∈Nqui converge dans C(K) pour tout k ∈ N. Comme K est born´e on en d´eduit que (f_σ(n)∗ρ_k|

K)n∈N

converge dansL^p(K).

Nous allons `a pr´esent montrer que la sous-suite (f<sub>σ(n)</sub>)n∈N est de Cauchy dans L<sup>p</sup>(K) ce qui montrera qu’elle converge dans cet espace par le Th´eor`eme de Riesz-Fisher. Pour ce faire, on ´ecrit grˆace `a l’in´egalit´e triangulaire que

kf_σ(n)−f_σ(m)k_Lp(K)≤ kf_σ(n)−f_σ(n)∗ρ_kk_Lp(K) appliquant l’in´egalit´e de H¨older et le Th´eor`eme de Fubini-Tonelli, il vient

Z

D’apr`es l’hypoth`ese (ii), on en d´eduit alors que

k→+∞lim sup

est Cauchy dansL^p(K), et donc qu’elle converge dans cet espace.

Chapitre 5

Dualit´ e dans les espaces de Lebesgue

5.1 Le cas Hilbertien de L

5.1.1 Quelques rappels sur les espaces de Hilbert

On rappelle qu’unespace de Hilbertest un espace vectorielH muni d’unproduit scalaire h·,·i:H×H→[0,+∞[ qui est une

(i) forme bilin´eaire: u 7→ hu, vi est lin´eaire pour tout v ∈H et v7→ hu, vi est lin´eaire pour toutu∈H;

(ii) sym´etrique:hu, vi=hv, ui pour toutu,v∈H; (iii) d´efinie positive :hu, ui>0 pour tout u∈H\ {0}; et qui est complet pour la norme Hilbertienne kuk_H := p

hu, ui associ´ee au produit sca-laire.

Les r´esultats suivants sont sp´ecifiques aux espaces de Hilbert et y jouent un rˆole fonda-mental.

Th´eor`eme 5.1.1 (Projection orthogonale). Soit (H,h·,·i) un espace de Hilbert et C un sous-ensemble de H convexe, ferm´e et non vide. Pour toutu ∈H, il existe un unique

´

el´ement P_C(u)∈C, appel´e la projection orthogonale de u sur C, tel que ku−PC(u)k_H = min

v∈Cku−vk_H. De plus, P_C(u) est caract´eris´e par

P_C(u)∈C, hu−P_C(u), v−P_C(u)i ≤0 pour tout v∈C. (5.1.1) D´emonstration. On consid`ere le probl`eme de minimisation

α := inf

v∈Cku−vk²_H (5.1.2)

49

Comme C 6=∅, on a α ∈[0,+∞[. On consid`ere alors une suite (vn)n≥1 d’´el´ements de H limite dans (5.1.3) queα=kv−uk<sup>2</sup><sub>H</sub>. Ceci montre l’existence d’une solution au probl`eme de minimisation (5.1.2). Quant `a l’unicit´e, si v1 ∈C et v2 ∈C sont deux solutions, alors

Montrons `a pr´esent que l’unique solution de (5.1.2) est caract´eris´ee par (5.1.1). SiPC(u) est l’unique solution de (5.1.2), alors P_C(u) ∈ C et, par convexit´e de C, P_C(u) +t(v− P_C(u))∈C pour toutt∈]0,1[ et tout v∈C. Donc

α≤ ku−PC(u)−t(v−PC(u))k²_H =α−2thu−PC(u), v−PC(u)i+t²kv−PC(u)k²_H. En divisant partpuis en passant `a la limite quandt→0, il vienthu−P_C(u), v−P_C(u)i ≤0 comme attendu. R´eciproquement, supposons (5.1.1), alors pour tout v∈C,

kv−uk²_H =kv−P_C(u) +P_C(u)−uk²_H

=kv−PC(u)k²_H+ 2hv−PC(u), PC(u)−ui+kP_C(u)−uk²_H ≥ kP_C(u)−uk²_H, ce qui montre, avec P_C(u) ∈ C, que P_C(u) est la solution au probl`eme de minimisation (5.1.2).

Dans le cas particulier o`u C est un sous espace vectoriel ferm´e deH, le th´eor`eme de la projection orthogonale permet de d´ecomposer l’espace H en la somme directe deC et de son orthogonal.

5.1. LE CAS HILBERTIEN DEL² 51 Proposition 5.1.2. Soit F un sous espace vectoriel ferm´e de H et u ∈ H. Alors la projection orthogonale P_F(u) deu sur F est caract´eris´ee par

P_F(u)∈F, hu−P_F(u), vi= 0 pour tout v∈F.

De plus, en notant F^⊥={v∈H:hv, ui= 0 pour tout u∈F} l’orthogonal de F, on a la d´ecomposition

H =F⊕F^⊥.

D´emonstration. CommeF est un sous espace vectoriel deH, il est non vide (car il contient l’origine) et convexe. La projection orthogonaleP_F(u) deu surF est donc bien d´efinie et est caract´eris´ee par

PF(u)∈F, hu−PF(u), w−PF(u)i ≤0 pour tout w∈F.

Si v ∈ F est arbitraire, alors w = PF(u)±v ∈ F car F est un sous espace vectoriel, et donc±hu−P_F(u), vi ≤0, autrement dit hu−P_F(u), vi= 0. L’implication r´eciproque est imm´ediate.

Tout ´el´ement u ∈ H peut donc s’´ecrire u = PF(u) + (u−PF(u)), o`u PF(u) ∈ F et u−P<sub>F</sub>(u) ∈ F<sup>⊥</sup> d’apr`es la caract´erisation de la projection orthogonale sur F ´etablie pr´ec´edemment. Par ailleurs, commeF^⊥∩F ={0}, alors on a bien queH=F ⊕F^⊥.

Un corollaire du r´esultat pr´ec´edent est l’identification du dual d’un espace de Hilbert H avec H lui mˆeme.

Th´eor`eme 5.1.3 (Riesz). Soit (H,h·,·i) un espace de Hilbert et L ∈ H⁰. Il existe un unique ´el´ement f ∈H tel que

L(u) =hf, ui pour tout u∈H.

De plus, kLk_H⁰ =kfk_H.

D´emonstration. Si L = 0, on prend f = 0. Sinon, on pose M = Ker(L) qui est un sous espace vectoriel ferm´e de H. Comme d’apr`es la Proposition 5.1.2, H = M⊕M^⊥, on en d´eduit queM^⊥6={0}et il existe donc un ´elemente∈M^⊥ avece6= 0. AlorsL(e)6= 0 (car sinone∈M et donce= 0). On en d´eduit queu−^L(u)_L(e)e∈M donchu, ei= ^L(u)_L(e)kek²_H, soit L(u) = h_kek^L(e)₂

H

e, ui pour tout u ∈ H, d’o`u l’existence. Quant `a l’unicit´e, si f₁ et f₂ ∈ H sont deux repr´esentants de L, alors hf₁−f2, ui = 0 pour tout u ∈ H, en particulier le choix de u=f₁−f₂ donne kf₁−f₂k²_H = 0 soitf₁ =f₂. Enfin en prenant u =f /kfk_H, on obtient kLk_H⁰ ≥ kfk_H, l’autre in´egalit´e vient de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz.

5.1.2 Application `a L²

En tant qu’espace de Hilbert, le Th´eor`eme de Riesz (Th´eor`eme5.1.3) permet d’identifier le dual deL² avec lui mˆeme.

Th´eor`eme 5.1.4. Soit (X,A, µ) un espace mesur´e. Pour tout L ∈[L²(X)]⁰, il existe un unique f ∈L²(X) tel que pour tout g∈L²(X),

L(g) = Z

X

f g dµ, kLk_[L2(X)]⁰ =kfk₂.