S´ election d’Echantillon

Dans la Section 15.6, nous avons discut´e des mod`eles dans lesquels l’´echantil-lon avait ´et´e tronqu´e sel’´echantil-lon la valeur de la variable d´ependante. Cependant, dans de nombreux cas pratiques, la troncature n’est pas bas´ee sur la valeur de la variable d´ependante mais plutˆot sur la valeur d’une autre variable qui lui est corr´el´ee avec elle. Par exemple, les gens peuvent choisir d’entrer sur le march´e du travail seulement si leur salaire de march´e exc`ede leur salaire de r´eserve. Ainsi l’´echantillon des gens qui sont sur le march´e du travail

exclura ceux pour qui le salaire de r´eserve exc`ede leur salaire de march´e. Si la variable d´ependante est un ´el´ement corr´el´e avec leurs salaires de r´eserve ou de march´e, l’utilisation des moindres carr´es fournira des estimations non convergentes. Dans ce cas, l’´echantillon est dit s´electionn´e sur la base de la diff´erence entre le salaire de r´eserve et le salaire de march´e, et le probl`eme que ce type de s´election provoque est souvent d´esign´e sous le nom de biais de s´election d’´echantillon. Heckman (1974, 1976, 1979), Hausman et Wise (1977), et Lee (1978) sont les tous premiers articles sur ce sujet.

La meilleure mani`ere de comprendre les caract´eristiques cl´es des mod`eles impliquant la s´election d’´echantillon consiste `a examiner un mod`ele simple en d´etail. Supposons que y_t^∗ et z_t^∗ soient deux variables latentes, g´en´er´ees par le processus bivari´e

o`u Xt et Wt sont des vecteurs d’observations sur les variables exog`enes ou pr´ed´etermin´ees,βetγsont des vecteurs param´etriques inconnus,σ est l’´ecart type de ut et ρ repr´esente la corr´elation entre ut et vt. La restriction que la variance de vt est ´egale `a 1 est impos´ee parce que seul le signe de z<sup>∗</sup><sub>t</sub> sera observ´e. De fait, les variables r´eellement observ´ees sont yt et zt, et elles sont reli´ees `a y^∗_t etz_t^∗ comme suit:

yt =y^∗_t si z_t^∗ >0; yt = 0 sinon;

zt = 1 si z_t^∗ >0; zt = 0 sinon.

Il existe deux types d’observations: celles pour lesquelles `a la foisyt etzt sont nulles et celles pour lesquelles zt = 1 et yt est ´egale `a y_t^∗. La fonction de logvraisemblance pour ce mod`ele est ainsi

X terme de (15.54) est la somme sur les observations pour lesquelles zt = 0 des logarithmes de la probabilit´e que z_t = 0. C’est exactement le mˆeme terme que celui qui correspond `azt par lui-mˆeme dans un mod`ele probit. Le second terme est la somme sur les observations pour lesquellesz_t = 1 de la probabilit´e que zt = 1 fois la densit´e de yt conditionnelle `a zt = 1. En utilisant le fait que nous pouvons factoriser une densit´e jointe de n’importe quelle mani`ere, le second terme peut aussi ˆetre ´ecrit comme

X

zt=1

log¡

Pr(zt = 1|y_t^∗)f(y^∗_t)¢ ,

o`u f(y_t^∗) est la densit´e conditionnelle de y^∗_t, qui est simplement une densit´e normale d’esp´erance conditionnelle X_tβ et de variance σ².

La seule difficult´e dans l’´ecriture explicite de la fonction de logvraisem-blance (15.54) est de calculer Pr(zt = 1|y^∗_t). Comme ut et vt sont normaux

comme yt = y_t^∗ quand zt = 1. Ainsi la fonction de logvraisemblance (15.54) devient

Le premier terme ressemble au terme correspondant pour un mod`ele pro-bit. Le deuxi`eme terme ressemble `a la fonction de logvraisemblance pour un mod`ele de r´egression lin´eaire `a erreurs normales. Le troisi`eme terme est celui que nous n’avons pas vu auparavant.

Les estimations par maximum de vraisemblance peuvent ˆetre obtenues de mani`ere habituelle par la maximisation de (15.55). Cependant, cette ma-ximisation est relativement on´ereuse, et une technique de calcul plus simple propos´ee par Heckman (1976) est souvent utilis´ee `a la place d’une estimation ML. La m´ethode en deux ´etapes de Heckman est bas´ee sur le fait que la premi`ere ´equation de (15.53) peut ˆetre r´ecrite comme

y^∗_t =X_tβ+ρσv_t+e_t. (15.56) L’id´ee est de remplacer y_t^∗ par yt et vt par son esp´erance conditionnelle `a z<sub>t</sub> = 1 et `a la valeur r´ealis´ee de W_tγ. Comme nous l’avons vu `a partir de (15.42), cette esp´erance conditionnelle est φ(Wtγ)/Φ(Wtγ), une quantit´e parfois d´esign´ee sous le nom de ratio inverse de Mills. En cons´equence, la r´egression (15.56) devient

yt =Xtβ+ρσφ(Wtγ)

Φ(Wtγ) + r´esidu. (15.57) Il est maintenant facile de voir comment op`ere la m´ethode en deux ´etapes de Heckman. Dans une premi`ere ´etape, un mod`ele probit ordinaire est utilis´e

pour obtenir des estimations convergentes ˆγ des param`etres de l’´equation de s´election. Ensuite, dans une seconde ´etape, le r´egresseur de s´election φ(Wtγ)/Φ(Wtγ) est ´evalu´e en ˆγ et la r´egression (15.57) est estim´ee par OLS

`a l’aide des observations pour lesquellesy_t >0. Cette r´egression fournit aussi bien un test pour la s´election d’´echantillon qu’une technique d’estimation.

Le coefficient du r´egresseur de s´election est ρσ. Comme σ 6= 0, le t de Stu-dent ordinaire pour la nullit´e de ce coefficient peut ˆetre utilis´e pour tester l’hypoth`ese que ρ = 0; celle-ci sera asymptotiquement distribu´ee selon la N(0,1) sous l’hypoth`ese nulle. Ainsi, si ce coefficient n’est pas significative-ment diff´erent de z´ero, l’exp´erisignificative-mentateur peut raisonnablesignificative-ment d´ecider que la s´election n’est pas un probl`eme pour cet ensemble de donn´ees, et continuer

`a utiliser les moindres carr´es comme d’habitude.

Mˆeme quand l’hypoth`ese queρ= 0 ne peut pas ˆetre accept´ee, l’estimation OLS de la r´egression (15.57) fournit des estimations convergentes de β.

Cependant, la matrice de covariance OLS n’est valable que lorsque ρ = 0.

A cet ´egard, la situation est tr`es similaire `a celle rencontr´ee `a la fin de la section pr´ec´edente, quand nous testions des biais de simultan´eit´e potentiels dans des mod`eles `a variables d´ependantes tronqu´ees ou censur´ees. Il existe en r´ealit´e deux probl`emes. Tout d’abord, les r´esidus dans (15.57) seront h´et´erosc´edastiques, puisqu’un r´esidu type est ´egal `a

ut−ρσφ(Wtγ) Φ(W_tγ).

Ensuite, le r´egresseur de s´election est trait´e comme n’importe quel autre r´egresseur, quand il s’agit en r´ealit´e d’une partie de l’al´ea. Nous pourrions r´esoudre le premier probl`eme en utilisant un estimateur de matrice de covar-iance robuste `a l’h´et´erosc´edasticit´e (voir le Chapitre 16), mais cela ne r´esoudra pas le second probl`eme. Il est possible d’obtenir une estimation valable de la matrice de covariance compatible avec les estimations en deux ´etapes de β `a partir de (15.57). Cependant, le calcul est peu pratique, et la matrice de co-variance estim´ee n’est pas toujours d´efinie positive. Consulter Greene (1981b) et Lee(1982) pour plus de d´etails.

Il faut insister sur le fait que la convergence de cet estimateur en deux

´etapes, comme celle de l’estimateur ML, d´epend de fa¸con critique de l’hypo-th`ese de normalit´e. Nous pouvons comprendre cela `a partir de la sp´ecification du r´egresseur de s´election comme l’inverse du ratio Mills φ(Wtγ)/Φ(Wtγ).

Quand les ´el´ements de Wt sont identiques aux ´el´ements deXt, ou en sont un sous-ensemble, comme c’est souvent le cas dans la pratique, c’est seulement la non lin´earit´e de φ(Wtγ)/Φ(Wtγ) comme fonction de Wtγ qui identifie les param`etres de la seconde ´etape. La forme exacte de la relation non lin´eaire d´epend de fa¸con critique de l’hypoth`ese de normalit´e. Pagan et Vella (1989), Smith (1989), et Peters et Smith (1991) discutent de diverses mani`eres de tester cette hypoth`ese cruciale. Beaucoup des tests sugg´er´es par ces auteurs sont des applications de la r´egression OPG.

Bien que la m´ethode en deux ´etape pour traiter la s´election d’´echantillon soit largement utilis´ee, notre recommandation serait d’utiliser la r´egression (15.57) seulement comme proc´edure pour tester l’hypoth`ese nulle d’absence de biais de s´election n’est pas pr´esent. Quand cette hypoth`ese nulle est re-jet´ee, nous pr´ef`ererons probablement utiliser l’estimation ML bas´ee sur (15.55) plutˆot que la m´ethode en deux ´etape, `a moins que son calcul ne soit prohibitif.

15.9 Conclusion

Notre traitement des mod`eles `a r´eponse binaire dans les Sections 15.2 `a 15.4 a

´et´e raisonnablement d´etaill´e, mais les discussions plus g´en´erales des mod`eles

`a r´eponse qualitative et des mod`eles `a variable d´ependante limit´ee ont

´et´e n´ecessairement tr`es superficielles. Le praticien qui a l’intention de r´ealiser un travail empirique qui emploie ce type de mod`ele souhaitera consul-ter certaines synth`eses plus fournies dont nous avons donn´e les r´ef´erences.

Toutes les m´ethodes pour traiter des variables d´ependantes limit´ees dont nous avons discut´e reposent lourdement sur les hypoth`eses de normalit´e et d’homosc´edasticit´e. Il faudrait toujours tester ces hypoth`eses. Un certain nombre de m´ethodes pour r´ealiser ces tests de la sorte a ´et´e propos´ees; con-sulter, parmi d’autres, Bera, Jarque, et Lee (1984), Lee et Maddala (1985), Blundell (1987), Chesher et Irish (1987), Pagan et Vella (1989), Smith (1989), et Peters et Smith (1991).