Séries à termes réels positifs

I.6 Restes d’une série convergente

On considère ici une suite(u_n)n∈N telle que la série ^Pu_n converge . On note(S_n)n∈N la suite de ses sommes partielles, qui converge donc versS, somme de la série.

Soit p∈N;

on appelle reste d’ordre p (ou de rangp) de la série convergente^Pu_n l’élément de K: R_p =S−S_p

La suite (Rn)n∈N est la suite des restes de la série convergente ^Pun. Elle converge vers 0 Å

th op. sur les limites

= lim

R_n s’écrit donc comme somme d’une série (convergente, bien entendu) : R_n=

+∞

X

k=n+1

u_k

Parfois, puisqueS= +∞

Exemple. La série^Pzⁿ est convergente si et seulement si|z|<1. Si|z|<1,Sn= Pour une série divergente, on ne peut pas définir de restes.

II. Séries à termes réels positifs

Rq. ^•La nature d’une série tronquée étant la même que celle de la série initiale, l’étude des séries réelles dont les termes ne sont positifs qu’à partir d’un certain rang se ramène à l’étude de celles dont tous les termes sont positifs.

•De plus, deux séries opposées (X

u_n etX

(−u_n)) sont de même nature.

• En résumé, l’étude des séries réelles dont les termes sont de signe constant à partir d’un certain rangse ramène à l’étude des séries à termes positifs, à partir du rang 0.

Dans la suite de ce paragraphe, on va donc énoncer des résultats concernant les séries à termes positifs dès le rang0, résultats qui ont leur transcription pour des séries réelles à termes de signe constant (à partir du rang0 ou à partir d’un certain rangn0).

Remarque. Toutes les propriétés des séries à termes positifs vont reposer sur la proposition suivante : Proposition. (8)

Si∀n∈N, un >0, alors la suite(Sn)_n>0=

n

X

k=0

uk

!

n>0

est croissante.

II.1 Critère de convergence Théorème. (9)

On suppose que ∀n∈N, u_n>0 .

Alors la série ^Xu_n converge ⇐⇒ la suite(S_n) est majorée.

De plus, en cas de convergence, ^+∞X

n=0

u_n=Sup

n∈N n

X

k=0

u_k

!

(mais il s’agit là d’une valeur « théorique »).

Preuve. Puisque∀n , un>0,(Sn)est une suite réelle croissante,

donc par théorème de limite monotone, elle converge si et seulement si elle est majorée.

Exemple. ^X

>1

e⁻ⁿ

n est convergente.

Ce théorème est faux si la suite (un) n’est pas de signe constant...(cf ^X(−1)ⁿ qui diverge gros-sièrement et pour laquelle ∀n , 06S_n61! ! !)

Remarques.

1. Si∀n , un >0et siPun converge, alors∀n∈N, Sn=

n

X

k=0

uk 6

+∞

X

k=0

uk =S.

2. Si une série à termes positifs est divergente, alors lim

n→+∞

n

X

k=0

uk= +∞.

II.2 Règles de comparaison II.2.a Majoration - Minoration

Théorème. (10)

On suppose que ∀n>0, 06un6vn .

1. Si^Xvn converge, alors ^Xunconverge et ^+∞X

n=0

un6

+∞

X

n=0

vn.

2. Si^Xu_n diverge, alors^Xv_n diverge.

II.2.b Domination Théorème. (11)

On suppose que ∀n>0, u_n>0, v_n>0 etu_n=O(v_n) . 1. Si^Xv_n converge, alors ^Xu_nconverge.

2. Si^Xu_n diverge, alors^Xv_n diverge.

Remarque. Puisqueun=o(vn) =⇒ un =O(vn),

le théorème précédent s’applique a fortiori dans le cas oùun =o(vn)(et∀n>0, un>0, vn>0 ).

II.2.c Équivalent Théorème. (12)

On suppose que ∀n>n0, vn>0 .

Si un∼vn alors les deux séries^Xun et^Xvn sont de même nature.

L’hypothèse vn>0 est essentielle et on veillera bien à ne pas appliquer ce théorème à des séries à termes complexes ou à termes réels de signe variable …

II.2.d Application aux séries de Riemann Théorème. (13)

La série de Riemann ^X

n>1

1

n^α converge si et seulement si α >1 .

Preuve.

• Siα60, alors 1 n^α 6→

n→+∞

0, doncX

n>1

1

n^α diverge (grossièrement).

• Siα= 1, alors∀n>1, S2n−Sn>n 1 2n = 1

2, donc si(Sn)convergeait vers`,(S2n)convergerait aussi vers`, et par passage à la limite dans l’inégalité, on aurait0> 1

2! ! ! donc(Sn)diverge i.e. X1

n diverge .

• Si0< α <1, alors∀n>1, 1 n^α > 1

n >0, etX

n>1

1

n diverge,

donc par théorème de minoration pour les séries à termes positifs, X

n>1

1

n^α diverge.

• Siα >1, on a pour toutk>2, 1 k^α 6

ˆ k k−1

1

t^αdt= 1 α−1

Å 1

(k−1)^α−1 − 1 k^α−1

ã. D’où Sn−1 =

n

X

k=2

1 k^α 6 1

α−1

n

X

k=2

Å 1

(k−1)^α−1 − 1 k^α−1

ã

= 1

α−1

1− 1 n^α−1

6 1

α−1, donc (Sn−1) est

majorée par 1 α−1,

donc(Sn)est majorée par1 + 1

α−1 et est croissante (car∀n>1, 1

n^α >0) donc (th. lim. monotone) converge.

II.2.e Comparaison à une série de Riemann

Remarque. Les séries de Riemann sont des séries de référence : l’étude d’une série numérique se ramène souvent à comparer celle-ci avec une série de Riemann.

Il faut savoir justifier ces résultats à chaque utilisation (règle appelée dun^αu_n) : Soit ^Xun une série de terme général réel positif .

• S’il existeα >1 tel que la suite(n^αun)n∈N soit majorée , alors la série ^Xun converge.

Donc en particulier, s’il existeα >1tel que la suite(n^αun)n∈N converge, alors la série^Xunconverge.

• S’il existeα61 tel que la suite(n^αu_n)n∈N soit minorée parm >0 , alors la série ^Xu_n diverge.

En particulier, s’il existe α 61 t.q. (n^αu_n)n∈N converge vers` >0 ou diverge vers +∞, alors ^Xu_n diverge.

II.2.f Exemple des séries de Bertrand

Savoir retrouver le résultat suivant, souvent utile (la dém. utilise le §II.4) : Soient (α , β)∈R²; la série ^X

n>2

1

n^α(lnn)^β converge ssi [α >1 ou (α= 1 etβ >1)].

Au passage, on a un résultat sur l’intégrabilité des fonctions de Bertrand (h.p. mais très classique...) : t7 → 1

t^αln^β(t) est intégrable sur [2,+∞[⇐⇒ [α >1 ou (α= 1 etβ >1)]

II.3 Séries géométriques II.3.a Rappels

Théorème. (14)

La série géométrique ^X

n>0

rⁿ converge ssi |r|<1; de plus, si|r|<1, alors ^+∞X

n=0

rⁿ= 1 1−r. Remarque. Si |r|<1,∀n∈N,

+∞

X

k=n+1

r^k =rⁿ⁺¹

+∞

X

p=0

r^p= rⁿ⁺¹ 1−r. II.3.b Développement décimal d’un réel positif ou nul

Soit x∈R⁺. Définition

On appelledéveloppement décimal dex toute suite(d_n)telle que :















∀n∈N, d_n∈N

∀n∈N^∗, 06dn69 x=

+∞

X

n=0

dn10⁻ⁿ et on écrit alors x=d₀, d₁d₂. . . d_n. . .

On remarque que la deuxième condition assure la convergence de la série ^+∞X

n=0

d_n10⁻ⁿ. Comme06

+∞

X

n=1

dn10⁻ⁿ6

+∞

X

n=1

9.10⁻ⁿ= 9 1 10

1 1− ₁₀¹ = 1 et comme cette somme vaut 1 ssi∀n>1, d_n= 9, on a (sauf si∀n>1, d_n= 9) d₀ =bxc.

On peut donc se ramener au cas où x∈[0,1[.

• Existence: soit∀n∈N, u_n= 10⁻ⁿb10ⁿxc etv_n=u_n+ 10⁻ⁿ.

On montre alors que u etv sont adjacentes, puis qu’elles convergent vers x. Puis on montre que b10ⁿun+1c= 10ⁿun.

Enfin, en posantd0 = 0 et pour n>0, dn+1 = 10ⁿ⁺¹(un+1−un), on aun=

n

X

k=0

d_k10^−k, d’où l’existence d’un développement décimal pourx.

• Étude de l’unicité: il n’y a pas unicité en général (cf 1

10 = 0,10000. . .0. . .= 0,099. . .9. . .) On peut cependant montrer que si x est décimal non nul, alors x admet deux développements décimaux^x=d0, d₁d₂. . . d_N0. . .0. . .=d₀, d₁d₂. . . d_N−1e_N9. . .9. . .oùe_N∈ {0, . . . ,8}etd_N=e_N+ 1

et six n’est pas décimal, alorsx admet un unique développement décimal.

• Il est possible de démontrer que le développement décimal d’un nombre rationnel est périodique, autrement dit que la suite (dn) est périodique à partir d’un certain rang :

Exemple. la suite associée au développement décimal de 1

3 (suite constante à partir du rang 1, donc périodique) ou encore 3

13 = 0,230769230769230769. . ..

II.3.c Méthode de d’Alembert : comparaison avec une série géométrique

Cette règle est mentionnée dans le programme. Nous la traitons donc en cours. Mais c’est un résultat peu utile pour l’étude des séries numériques, et il ne doit pas cacher le principe du résultat : on compare le terme général de la série à étudier à une série de référence – ici, une série géométrique.

Remarque. Savoir retrouver rapidement la proposition suivante (qui est surtout utile pour démontrer la règle de D’Alembert) :

Proposition. (15)

• S’il existen₀ ∈Netk∈[0,1 [ tels que ∀n>n₀, u_n>0 et u_n+1 un 6k, alors la série ^Pu_n converge et∀n>n₀, 06R_n6 k

1−ku_n

• Si ∀n>n0, un>0 et un+1

un >1, alors ^Pundiverge grossièrement.

Règle de d’Alembert.(16)

Soit ^Pun une série à termes>0. On suppose que un+1

u_n −−−−−→

n→+∞ `∈R<sup>+</sup>. 1. si` <1, alors ^Xu_n converge

2. si` >1 ou si^Åu_n+1 un

ãconverge vers 1⁺, alors ^Xu_n diverge grossièrement 3. si`= 1, alors on ne peut pas conclure.

Exemple. ∀n>1, u_n= 1

n ouu_n= 1 n²

Remarques.

1. Appliquer la règle de d’Alembert à une série à termes > 0 revient à comparer cette série à des séries géométriques.

2. On essaiera d’appliquer la règle de d’Alembert lorsque le terme généralun contient des exponentielles ou des puissances.

Exemple. X n!

nⁿ 3. un+1

un

<1;

Xun converge (on peut avoir alors un+1

un

−−−−−→

n→+∞ 1) 4. SiÅun+1

u_n

ãn’a pas de limite, il se peut quePun converge ou diverge.

Exemple. u_n= (2 + (−1)ⁿ)2⁻ⁿ ouu_n = 2 + (−1)ⁿ. 5. Les réciproques sont fausses :X

un convergeH

=⇒H Åun+1

u_n

ãadmet une limite `(et` <1).

+Contre-exemple :un= 1

2ⁿ sinest pair etun= 1

3ⁿ sinest impair.

II.4 Comparaison d’une série à une intégrale Lemme. (17)

Soitf : [n0,+∞[→R une fonction continue par morceaux et décroissante.

Pour n>n₀+ 1, sur les figures suivantes, on « voit » des encadrements : y

n n+ 1 x 0

f(n) f(n+ 1)

1

y

n−1 n n+ 1 x 0

f(n)

1 1

f(n+ 1)6 ˆ _n+1

n

f(t)dt6f(n)

ˆ _n+1

n

f(t)dt6f(n)6 ˆ _n

n−1

f(t)dt

SoitN >n0+ 1: en sommant ces inégalités (en nombre fini), on obtient :

Comparaison portant sur un nombre fini de termes !

Remarques. ^• L’utilisation d’un schéma facilite l’obtention de ces inégalités.

•De ces 2 inégalités, on déduit (si besoin) un encadrement deˆ q p

f!

•On a bien sûr quelque chose de similaire avec une fonctionCMet croissante ! Théorème. (18) et en cas de convergence de la série ou de l’intégrale, on a :

∀n>n₀,

Remarques. ^• En cas de convergence dePf(n), on a un encadrement des restes via des intégrales.

• En cas de divergence dePf(n), le lemme précédent permet d’obtenir un équivalent des sommes partielles via des intégrales.

• Toujours présenter un schéma pour illustrer les inégalités annoncées.

Une application directe. Pour les fonctions de Riemann : t7 → 1

t^α et α >0, on a décroissance, Un autre exemple. Déterminer un équivalent deSn= 1

2ln2 + 1

3ln3 +. . .+ 1 nlnn. Exemple. La formule de Stirling

En utilisant les formules de Wallis et la comparaison série-intégrale appliquée à la fonction g : [1,+∞[ → R

t 7→ lnt

, on montre la formule de Stirling (à connaître !)

n!∼ Ån

e ãn√

2πn

Application : trouver un équivalent deu_n=

2n n

2²ⁿ(2n−1)

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