Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour toutx de ]−R, R[, la somme S(x) =
X∞ n=1
nxn.
Que se passe-t-il si |x|=R ?
En écrivant
S(x) =x X∞ n=1
nxn−1,
on voit apparaître la série dérivée de la série géométrique de coefficients 1. Cette série étant de rayon 1, on aR= 1, et
S(x) =x 1
1−x ′
= x
(1−x)2 .
Pour x=±1le terme général de la série(nxn) ne converge pas vers 0, donc la série diverge.
2.2. SÉRIE DU BINÔME 61
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour toutx de ]−R, R[, la somme S(x) =
X∞ n=1
n
X
k=1
1 k
! xn.
La sommeS(x) n’est autre que le produit de Cauchy de deux séries de rayon 1. Pour toutx de ]−1,1 [ on a
S(x) = X∞ n=0
xn
! ∞ X
n=1
xn n
!
= −ln(1−x) 1−x . En particulier, on a R≥1. On remarque que
lim
x→1−S(x) = +∞,
ce qui ne serait pas possible si on avait R >1, car la série entière est continue sur ]−R, R[. Il en résulte alors queR = 1.
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour toutx de [−R, R], la somme S(x) =
X∞ n=1
xn n(n+ 1).
Si l’on pose
an= 1 n(n+ 1), on a
an∼ 1 n2 ,
et an
an+1 = n+ 2 n ,
tend versR= 1. De plus la série converge absolument si|x|= 1 par comparaison à une série de Riemann.
En décomposant la fraction en éléments simples, on obtient 1
n(n+ 1) = 1 n− 1
n+ 1.
Or les séries entières de coefficients 1/n et1/(n+ 1)sont de rayon 1, donc, si|x|<1, S(x) =
X∞ n=1
xn n −
X∞ n=1
xn n+ 1.
Alors, si x6= 0,
S(x) = X∞ n=1
xn n − 1
x X∞ n=1
xn+1 n+ 1. et donc
S(x) = X∞ n=1
xn n − 1
x X∞ n=2
xn n
= −ln(1−x)−1
x(−ln(1−x)−x)
= 1−x−1
x ln(1−x). Par ailleurs S(0) = 0.
Il résulte du théorème d’Abel que le résultat précédent est encore valable en1et en −1, et donc S(1) = lim
x→1−S(x) = 1 et S(−1) = lim
x→−1+S(x) = 1−2 ln 2.
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour toutx de [−R, R], la somme S(x) =
X∞ n=0
(−1)n x2n 4n2−1.
Posons
un(x) = (−1)n x2n 4n2−1.
On a |un+1(x)|
|un(x)| = 4n2−1 4(n+ 1)2−1x2,
et ceci tend versx2. Donc la série converge absolument six2 <1, et ne converge pas absolument six2>1. La série entière est donc de rayon 1.
D’autre part, si |x|= 1, on a
(−1)n x2n 4n−1
= 1
4n2−1 ∼ 1 4n2,
et il en résulte que la série converge absolument par comparaison à une série de Riemann.
En décomposant la fraction en éléments simples, on obtient 1
4n2−1 = 1 2
1
2n−1 − 1 2n+ 1
.
2.2. SÉRIE DU BINÔME 63
Il résulte du théorème d’Abel que le résultat précédent est encore valable en1et en −1, et donc S(1) =S(−1) = lim
x→1S(x) =−1
2(1 + 2 arctan 1) =−1 2−π
4 .
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour toutx de [−R, R], la somme S(x) =
est le rayon de convergence de la série entière de terme général anxn+1. Donc, en remplaçant x par x2, la série entière de terme généralanx2n+2 est aussi de rayon 1. De plus la série converge absolument si |x|= 1.
On décompose en éléments simples la fraction rationnelle
f(X) = 1
X(X+ 1)(2X+ 1) sous la forme
f(X) = A
X + B
X+ 1+ C 2X+ 1. En multipliant par X et en remplaçant X par 0, on obtientA= 1.
En multipliant par X+ 1et en remplaçant X par −1 on trouveB = 1.
Puisque toutes les séries entières utilisées dans le calcul suivant ont un rayon de convergence égal à 1, on a, lorsquex appartient à ]−1,1 [,
Les deux premières sommes font apparaître la série de−ln(1−u)avecu=x2. Pour la troisième, on part de et, en prenant la primitive nulle en 0, on obtient
X∞ ce que l’on peut encore écrire
S(x) = 3x2−(1−x)2ln(1−x)−(1 +x)2ln(1 +x).
2.2. SÉRIE DU BINÔME 65
D’après le théorème d’Abel, en en raison de la parité de S, on a S(1) =S(−1) = lim
x→1−(3x2−(1−x)2ln(1−x)−(1 +x)2ln(1 +x)) = 3−4 ln 2.
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=0
xn 2n−1. Que se passe-t-il si |x|=R ?
Posons
an= 1 2n−1.
On a an
an+1 = 2n+ 1 2n−1, et cette suite converge vers R= 1.
Si|x|<1, étudions tout d’abord la série U(x) =
∞
X
n=0
x2n+1 2n+ 1. On obtient en dérivant
X∞ n=0
x2n= 1
1−x2 = 1 2
1
1 +x + 1 1−x
,
et donc, en prenant la primitive nulle en 0, X∞ n=0
x2n+1 2n+ 1 = 1
2 ln1 +x 1−x. Pour 0≤x <1, on écrit
S(x) = −1 +
∞
X
n=1
√x2n
2n−1 =−1 +√ x
∞
X
n=1
√x2n−1 2n−1
= −1 +√ x
X∞ n=0
√x2n+1
2n+ 1 =−1 +
√x
2 ln1 +√ x 1−√
x.
Pour −1< x≤0, on écrit S(x) = −1 +
X∞ n=1
(−1)n√
−x2n
2n−1 =−1−√
−x X∞ n=1
(−1)n−1√
−x2n−1 2n−1
= −1−√
−x X∞ n=0
(−1)n√
−x2n+1
2n+ 1 =−1−√
−x arctan√
−x . Six= 1, on a
anxn∼ 1 2n, et la série diverge.
Six=−1, la suite(1/(2n−1)) est décroissante et converge vers 0, et la série est alternée : elle converge donc. Alors d’après le théorème d’Abel, on a
S(−1) = lim
x→−1S(x) =−1−arctan 1 =−1− π 4 .
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=0
n n+ 1xn. Que se passe-t-il si |x|=R ?
Posons
an= n n+ 1.
On aan∼1 et la série a même rayon de convergence que la série géométrique de rayon 1. Donc R= 1, et le terme général ne converge pas vers 0, donc la série diverge si |x|= 1.
On écrit
S(x) = X∞ n=0
1− 1 n+ 1
xn.
Alors, puisque les séries sont de rayon 1, on a, si|x|<1, S(x) =
X∞ n=0
xn− X∞ n=0
xn n+ 1. Ou encore, si x6= 0,
S(x) = X∞ n=0
xn− 1 x
X∞ n=0
xn+1 n+ 1,
2.2. SÉRIE DU BINÔME 67
et finalement
S(x) = 1
1−x+ ln(1−x)
x ,
avec de plus S(0) = 0.
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=0
(n2+n+ 1)xn. Que se passe-t-il si |x|=R ?
Posons
an=n2+n+ 1. Comme an∼n2, on a
an
an+1 ∼ n2 (n+ 1)2,
et ceci converge versR= 1. De plus si|x|= 1, le terme général ne converge pas vers 0, donc la série diverge.
On décompose le polynôme
P(X) =X2+X+ 1 dans la base(L0, L1, L2) constituée des polynômes
L0(X) = 1 et, sip≥1,
Lp(X) =X(X−1)· · ·(X−p+ 1). Il existe des nombresα,β,γ tels que
X2+X+ 1 =α+βX+γX(X−1). En donnant à X les valeurs0 et1 successivement on obtient
α= 1 et α+β = 3.
Le nombre γ est le coefficient du terme dominant et vaut donc 1. On a alors n2+n+ 1 =n(n−1) + 2n+ 1.
Puisque toutes les séries sont de rayon 1, on a si|x|<1, S(x) =
X∞ n=2
n(n−1)xn+ 2 X∞ n=1
nxn+ X∞ n=0
xn,
c’est-à-dire
S(x) =x2 X∞ n=2
n(n−1)xn−2+ 2x X∞ n=1
nxn−1+ X∞ n=0
xn. Si l’on pose
T(x) = X∞ n=0
xn= 1 1−x, on a
T′(x) = X∞ n=1
nxn−1 = 1 (1−x)2 , puis
T′′(x) = X∞ n=2
n(n−1)xn−2 = 2 (1−x)3 , d’où
S(x) = 2x2
(1−x)3 + 2x
(1−x)2 + 1 1−x, et finalement
S(x) = 1 +x2 (1−x)3.
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=3
xn
n(n−1)(n−2). Que se passe-t-il si |x|=R ?
Posons
an= 1
n(n−1)(n−2). Comme
an∼ 1 n3 ,
on a an
an+1 ∼ (n+ 1)3 n3 ,
et ceci converge versR = 1. De plus si |x|= 1, la série converge absolument par comparaison à une série de Riemann.
On décompose en éléments simples la fraction rationnelle
f(X) = 1
X(X−1)(X−2)
2.2. SÉRIE DU BINÔME 69
sous la forme
f(X) = A
X + B
X−1 + C X−2. En multipliant par X et en remplaçant X par 0 on trouveA= 1/2.
En multipliant par X−1 et en remplaçant X par 1 on trouveB =−1.
En multipliant par X−2 et en remplaçant X par 2 on trouveC = 1/2.
On obtient donc
an=f(n) = 1
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
et ceci tend versR= 1.
En décomposant la fraction en éléments simples, on obtient n
Etudions maintenant ce qui se passe au bord de l’intervalle de convergence.
Six= 1, on a
n
n2−1xn= n
n2−1 ∼ 1 n, et il en résulte que la série diverge.
Six=−1, on a
la suite(an)décroit et converge vers 0, comme somme de deux suites décroissantes qui convergent vers 0. Alors la série de terme général(−1)nanest alternée. Elle converge, et il résulte du théorème d’Abel que l’on a
S(−1) = lim
2.2. SÉRIE DU BINÔME 71
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=3
n2
(n−1)(n−2)xn. Que se passe-t-il si |x|=R ?
Posons
an= n2
(n−1)(n−2).
Comme (an) converge vers 1, la série à même rayon que la série géométrique de terme général xn. On a doncR = 1. De plus, si |x|= 1, le terme général de la série ne converge pas vers 0 et la série diverge.
On décompose en éléments simples la fraction rationnelle f(X) = X2
(X−1)(X−2) sous la forme
f(X) =A+ B
X−1 + C X−2.
En multipliant par X−1 et en remplaçant X par 1 on trouve B =−1 En multipliant par X−2 et en remplaçant X par 2 on trouve C = 4
Enfin Aest le rapport des termes de plus haut degré, donc A= 1. Finalement an=f(n) = 1− 1
n−1 + 4 n−2.
Or les séries de coefficients 1,1/(n−1) et1/(n−2) sont de rayon 1, donc, si|x|<1,
S(x) = X∞ n=3
xn− X∞ n=3
xn n−1 + 4
X∞ n=3
xn n−2
= x3 1−x−x
X∞ n=3
xn−1 n−1 + 4x2
X∞ n=3
xn−2 n−2
= x3 1−x−x
X∞ n=2
xn n + 4x2
X∞ n=1
xn n
= x3
1−x−x(−ln(1−x)−x) + 4x2(−ln(1−x))
= x2
1−x+x(1−4x) ln(1−x).
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=1
2n+ 1 2n−1xn−1. Que se passe-t-il si |x|=R ?
Comme
2n+ 1 2n−1 ∼1,
la série a le même rayon de convergence que la série géométrique de terme général xn, donc R= 1. De plus le terme général ne tend pas vers 0 si |x|= 1et la série diverge dans ce cas.
En décomposant la fraction en éléments simples, on obtient 2n+ 1
2n−1 = 1 + 2 2n−1.
Or les séries entières de coefficients 1 et1/(2n−1) sont de rayon 1, donc si |x|<1, S(x) =
X∞ n=1
xn−1+ 2 X∞ n=1
xn−1 2n−1
= 1
1−x+ 2 X∞ n=0
xn 2n+ 1. Partons de
X∞ n=0
x2n= 1
1−x2 = 1 2
1
1 +x + 1 1−x
.
En prenant la primitive nulle en 0 on obtient X∞ n=0
x2n+1 2n+ 1 = 1
2 ln1 +x 1−x. Si0< x <1, on a
S(x) = 1
1−x + 2
√x X∞ n=0
(√x)2n+1 2n+ 1
= 1
1−x + 1
√xln1 +√ x 1−√
x,
2.2. SÉRIE DU BINÔME 73
et si−1< x <0, on a cette fois S(x) = 1
1−x + 2
√−x X∞ n=0
(−1)n (√
−x)2n+1 2n+ 1
= 1
1−x + 2
√−xarctan√
−x . Enfin S(0) = 3.
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=0
(−1)n n+ 2 xn. Que se passe-t-il si |x|=R ?
Si l’on pose
an= (−1)n n+ 2 ,
on a |an|
|an+1| = n+ 3 n+ 2, et donc la suite (|an|/|an+1|) converge vers R= 1.
En changeant d’indice de sommation, on a S(x) =
X∞ n=2
(−1)n n xn−2, donc, si x appartient à ]−1,0 [∪] 0,1 [,
S(x) =− 1 x2
X∞ n=2
(−1)n−1 n xn.
On reconnaît alors la série dont la somme estln(1 +x)à laquelle il manque le terme de rang 1 S(x) =− 1
x2(ln(1 +x)−x) = x−ln(1 +x)
x2 .
On a aussi
S(0) =a0 = 1 2.
Enfin, six= 1, la série de terme général(−1)n/(n+ 2)converge d’après le critère de Leibniz, et il résulte du théorème d’Abel que
S(1) = lim
x→1−S(x) = 1−ln 2.
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla Si l’on pose
an= (−1)n
Il en résulte que le rayon de convergence cherché vautR = 1.
On calcule tout d’abord la somme de la série entière en décomposant en éléments simples. On a 1
(2n+ 1)(2n+ 2) = 1
2n+ 1 − 1 2n+ 2. On en déduit
S(x) =
et, comme les séries du membre de droite sont de rayon1, ce calcul est valable pour |x|<1.
Pour xdans ]−1,1 [\{0}, on a tout d’abord
2.2. SÉRIE DU BINÔME 75
De plus
S(0) = 1 2. Pour x=±1, la série de terme général (−1)n
(2n+ 1)(2n+ 2) converge absolument puisque
|an|= 1
(2n+ 1)(2n+ 2) ∼ 1 4n2,
et que la série de terme général1/n2 est une série de Riemann convergente.
On peut alors appliquer le théorème d’Abel. On a S(1) =S(−1) = lim
x→1−S(x) = π 4 − ln 2
2 .
Déterminer le rayon de convergence Ret pour tout nombre réel xtel que|x|< Rcalculer, de deux manières différentes, la somme
S(x) = X∞ n=0
sinnπ 3 xn. Que se passe-t-il si |x|=R ?
Pour n≥0, posons
an= sinnπ 3 . On a
|an| ≤1.
Donc le rayon Rde la série entière de coefficient an est supérieur à celui de la série géométrique qui vaut 1. D’autre part
a3n+1= (−1)nsinπ 3 ,
et la suite (a3n+1) ne converge pas vers 0, donc la suite (an) non plus. Il en résulte que l’on a R≤1. Finalement on obtient R= 1, et si x=±1la série diverge.
Première méthode de sommation On écrit
an= Im(einπ/3).
Or la série de terme général einπ/3xnest une série géométrique de rayon 1, et donc, si |x|<1, X∞
n=0
einπ/3xn= 1 1−eiπ/3x.
Alors
S(x) = Im 1
1−eiπ/3x = Im 1−e−iπ/3x
(1−eiπ/3x)(1−e−iπ/3x), ce qui donne finalement
S(x) = xsin(π/3) Deuxième méthode de sommation
On remarque que
a3k= 0 et a3k+1=a3k+2= (−1)k Donc en faisant tendre p vers l’infini
S(x) = On reconnaît une série géométrique, et l’on obtient
S(x) =
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre complexe z tel que
|z|< Rla somme
2.2. SÉRIE DU BINÔME 77
et la série géométrique de terme général enzn est de rayon 1/e. Donc R = 1/e. Par ailleurs si
|z|= 1/e, la suite(chn zn) ne converge pas vers0donc la série de terme généralchn zndiverge.
On écrit
S(z) = 1 2
X∞ n=0
(ez)n+ X∞ n=0
z e
n! ,
la première série est de rayon 1/e et la seconde de rayon e. On retrouve queR = 1/e. Donc si
|z|<1/e, on obtient
S(z) = 1 2
1
1−ez + 1 1−z/e
,
ce qui donne
S(z) = 1−zch 1 1−2zch 1 +z2 .
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=1
x4n−1 n . Que se passe-t-il si |x|=R ?
Posons
un(x) = x4n−1 n . On a
|un+1(x)|
|un(x)| = n n+ 1x4,
et cette suite converge vers x4. La série de terme général un(x) converge absolument si x4 <1 et ne converge pas absolument si x4 >1, donc R= 1.
On a S(0) = 0et si0<|x|<1, S(x) = 1
x X∞ n=1
(x4)n n =−1
x ln(1−x4). Lorsquex=±1, le terme général de la série vaut x/n, et la série diverge.
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=0
x4n+1 4n+ 1. Que se passe-t-il si |x|=R ?
La série dérivée est de rayon 1, donc la série proposée également. On a, si|x|<1, S′(x) =
∞
X
n=0
x4n= 1 1−x4, que l’on décompose en éléments simples. On a tout d’abord
S′(x) = 1 2
1
1−x2 + 1 1 +x2
puis
S′(x) = 1 4
1
1−x + 1
1 +x + 2 1 +x2
.
Alors, en prenant la primitive nulle en 0, on obtient, si|x|<1, S(x) = 1
4 ln1 +x 1−x+ 1
2 arctanx . Lorsquex=±1, le terme général de la série vaut
x
4n+ 1 ∼ x 4n, et la série diverge.
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=0
(−1)n x4n+1 4n+ 1. Que se passe-t-il si |x|=R ?
La série dérivée est de rayon 1, donc la série proposée également. On a, si|x|<1, S′(x) =
X∞ n=0
(−1)nx4n= 1 1 +x4. En remarquant que
x4+ 1 =x4+ 2x2+ 1−2x2 = (x2+ 1)2−2x2,
2.2. SÉRIE DU BINÔME 79
on a donc la factorisation
x4+ 1 = (x2−x√
2 + 1)(x2+x√ 2 + 1),
ce qui, compte tenu de la parité de la fonction, permet d’obtenir une décomposition en éléments simples de la forme :
S′(x) = ax+b x2−x√
2 + 1 + −ax+b x2+x√
2 + 1. On obtient facilement, par identification par exemple,
S′(x) = 1
On écrit encore, en faisant apparaître la dérivée des dénominateurs, S′(x) =− 1
Alors, en prenant la primitive nulle en 0, on obtient si |x|<1, S(x) =
Lorsquex=±1, la suite(1/(4n+1))décroît et converge vers 0, et la série est alternée et converge donc. Alors d’après le théorème d’Abel,
S(1) =S(−1) = lim
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla
Etudions tous d’abord la série
T(x) = que l’on décompose en éléments simples sous la forme
T′(x) = A
1−x + Bx+C 1 +x+x2.
En réduisant au même dénominateur et en identifiant, on obtient le système
On fait apparaître la dérivée du dénominateur T′(x) = 1 On détermine C en tenant compte du fait queT(0) = 0. On obtient
C =−
2.2. SÉRIE DU BINÔME 81 ce qui donne
S(x) = 1 et la série diverge.
Par contre si x=−1, la suite (1/(3n+ 1)) décroît et converge vers 0, et la série est alternée et converge donc. D’après le théorème d’Abel on a
S(−1) = lim
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=1
sin2n xn.
On a l’encadrement
0≤sin2n≤1.
Puisque la série géométrique de terme généralxnest de rayon1, la série entière de terme général sin2nxn est de rayon supérieur ou égal à 1. La série converge donc si|x|<1.
En écrivant
sin2n= 1−cos 2n
2 = 2−e2ni−e−2ni
4 ,
les séries entières de termes généraux xn,e2nixn ete−2nixnsont toutes de rayon 1, alors
De plus, la somme obtenue a une limite infinie lorsquextend vers 1. Il en résulte que l’on aR= 1.
Soit α etβ deux nombres réels. Calculer pour tout nombre complexe z tel que |z|< 1 les sommes
Considérons la série
X∞ qui converge si
|eαiz|=|z|<1. On en déduit
S(z) = 1
et, en réduisant au même dénominateur,
S(z) = cosβ−zcos(β−α)
2.2. SÉRIE DU BINÔME 83
ce qui donne
T(z) = sinβ−zsin(β−α) 1−2zcosα+z2 .
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=1
cos(n−1) n xn.
La série entière dérivée est S′(x) =
X∞ n=1
cos(n−1)xn−1= X∞ n=0
cosn xn= Re X∞ n=0
(eix)n
! .
La série converge si |x|<1 et l’on a
S′(x) = Re 1
1−eix = 1−xcos 1 x2−2xcos 1 + 1.
Comme le terme général ne tend pas vers 0 six= 1, cette série est de rayon 1, doncS également.
Si l’on fait apparaître la dérivée du dénominateur, on a S′(x) =−cos 1
2
2x−2 cos 1
x2−2xcos 1 + 1 + sin21 x2−2xcos 1 + 1. On obtient donc
S(x) =−cos 1
2 ln(x2−2xcos 1 + 1) + sin 1 arctanx−cos 1 sin 1 +C . La constante C est déterminée en remarquant queS(0) = 0. Donc
0 =C−sin 1 arctancos 1 sin 1 , c’est-à-dire
C= sin 1 arctan 1 tan 1, mais, siu >0,
arctanu+ arctan1 u = π
2,
et, par ailleurs, le nombre 1appartient à l’intervalle ] 0, π/2 [, donc arctan 1
tan 1 = π
2 −arctan tan 1 = π 2 −1.
Finalement
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme (On pourra calculer d’abord le produit (1 +x)S(x)).
Que se passe-t-il si |x|=R ?
Comme la série de coefficient n est de rayon 1, on en déduit que R ≥ 1. D’autre part la série harmonique diverge, donc la suite (|an|) tend vers l’infini. Il en résulte que si |x| = 1 la série
En regroupant les termes des deux dernières séries, il reste (1 +x)S(x) =
2.2. SÉRIE DU BINÔME 85
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=1
n2xn−1.
Que se passe-t-il si |x|=R ?
Posons
an= (n+ 1)2. On a
an
an+1 = (n+ 1)2 (n+ 2)2,
et cette suite converge vers R= 1. De plus, si |x|= 1le terme général ne tend pas vers 0, donc la série diverge. Si |x|<1, on écrit
S(x) = X∞ n=1
n(n+ 1)xn−1− X∞ n=1
nxn−1.
Posons, si|x|<1,
T(x) =
∞
X
n=0
xn= 1 1−x. On a alors
S(x) =T′′(x)−T′(x) = 2
(1−x)3 − 1 (1−x)2, et finalement
S(x) = 1 +x (1−x)3.
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=0
(2n+ 1)!
(n!)2 x2n. Que se passe-t-il si |x|=R ?
On pose
un(x) = (2n+ 1)!
(n!)2 x2n, on obtient
un+1(x)
un(x) = 2(2n+ 3) n+ 1 x2,
et la suite(un+1(x)/un(x))converge vers4x2. La série de terme général un(x) converge absolu-ment si4x2 <1, donc si|x|<1/2, et ne converge pas absolument si4x2 >1, donc si|x|>1/2.
Il en résulte que cette série entière a pour rayon 1/2.
En simplifiant par n!, on obtient
un(x) = (2n+ 1)(2n−1)· · ·3
n! 2nx2n, ce que l’on peut encore écrire, en divisant par 2n,
un(x) = n+12
n−12
· · ·52 ·32
n! 4nx2n. On peut alors faire apparaître la série du binôme,
un(x) = (−1)n −32
−32 −1
· · · −32 −n+ 1
n! 4nx2n.
Donc, si|x|<1/2, on obtient
X∞ n=0
un(x) = (1−4x2)−3/2.
Comme la fonction obtenue tend vers l’infini lorsquextend vers±1/2, la série ne peut converger pour ces valeurs d’après le théorème d’Abel.
Déterminer le rayon de convergence R et calculer pour tout nombre réelx tel que |x|< Rla somme
S(x) = X∞ n=0
x2n+1 3n+ 2. Que se passe-t-il si |x|=R ?
Etudions tous d’abord la série
T(x) = X∞ n=0
x3n+2 3n+ 2.
Sa série dérivée est de rayon 1, donc la série également. On a, si |x|<1, T′(x) =
X∞ n=0
x3n+1 = x 1−x3 , que l’on décompose en éléments simples sous la forme
T′(x) = A
1−x + Bx+C 1 +x+x2.