5.4 L’inversion
5.4.2 Sélection des paramètres
Ces paramètres sont assez nombreux et redondants. Le bruit que chacun d’eux comporte indivi-duellement et de façon aléatoire risque de rendre instable le processus d’inversion. Il faut sélectionner les plus pertinents. Deux axes de sélection doivent être privilégiés :
– la corrélation avec les caractéristiques à évaluer ; – la robustesse à l’échantillonnage spatial.
5.4.2.1 Paramètres hybrides
Parmi les paramètres calculés à partir des trois signaux CF correspondant à un même défaut, deux paramètres apparaissent comme particulièrement intéressants pour l’estimation de l’orientation, effectuée à la sous-section 5.4.3.
Le premier de ces deux paramètres est la différence entre les dynamiques des deux premiers modes, divisée par la dynamique du mode combiné. Ce rapport s’écrit
P1 =
Dk− D⊥
Dc
Le second de ces deux paramètres est le rapport entre l’angle d’inclinaison et la dynamique du mode combiné, donné par
P2 = αc
Dc
Ces paramètres présentent l’avantage de varier fortement en fonction de l’orientation des défauts et faiblement en fonction des autres caractéristiques.
6Dans le cas de l’orientation o1, il est relativement aisé de déterminer l’axe du défaut parmi ~i ou ~j, la plus grande dynamique étant obtenue par la sonde dont l’axe principal est parallèle au défaut. Il est donc possible d’éventuellement définir deux « sous-cas », ce qui n’est pas réalisé ici. Dans le cas de l’orientation o2, déterminer l’axe parmi les deux possibilités est par contre impossible.
5.4. L’INVERSION 95
5.4.2.2 Étude de la corrélation
Afin d’effectuer un premier tri parmi les paramètres choisis, une méthode simple peut être d’effec-tuer une étude de corrélation entre les paramètres des signaux CF et les différentes caractéristiques pour l’ensemble des défauts. Une étude de corrélation est la recherche des ressemblances dans les variations des données. Cette étude est menée par le calcul du coefficient de corrélation linéaire qui s’écrit R = cov(x,y) p V(x) V(y) = n X i=1 (xi− ¯x) (yi− ¯y) v u u tXn i=1 (xi− ¯x)2 Xn i=1 (yi− ¯y)2
avec les xi et yi les n réalisations des grandeurs x et y.
La figure 5.5 montre les résultats de cette étude. Le produit ℓ×p a été ajouté au sein des caractéris-tiques, pour essayer de trouver l’existence de relations affines avec cette quantité. Il apparaît dans ces valeurs que les angles d’inclinaison des signatures CF ont une forte corrélation avec la profondeur ; les dynamiques, qu’elles soient principales ou secondaires, sont fortement corrélées avec le produit ℓ × p.
ℓ αk α⊥ αc Dk D⊥ Dc dk d⊥ dc P1 P2 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 ℓ × p orientation p
Fig.5.5 – Coefficients de corrélation linéaire entre les paramètres des signaux CF et les caractéristiques des défauts à estimer
La première corrélation s’explique essentiellement par l’équation 1.5. Elle montre en effet que le déphasage de la densité des courants induits au sein de la pièce testée dépend de façon importante de la profondeur à laquelle ils se situent au sein de cette pièce. La variation de l’angle d’inclinaison est la variation du déphasage entre la tension mesurée et le courant d’excitation, donc la variation de phase de la tension mesurée. La tension mesurée étant modifiée lorsque les courants induits sont déviés, l’angle d’inclinaison de la signature CF observée est par conséquent fonction de la profondeur
p du défaut.
Pour la deuxième corrélation, il convient de restreindre l’analyse au cas présent des défauts de type parallélépipèdes plats, avec une largeur plus faible que la longueur. Il a été montré dans ce cas que la largeur des fissures a une influence négligeable sur le champ magnétique de réaction dû aux défauts : les signaux, en particulier en amplitude, sont très influencés par la surface latérale des défauts. Cette propriété est d’ailleurs à la base de la modélisation par éléments finis de défauts fins[CSLBM07b], les défauts étant modélisés comme des fissures infiniment plates. Cette propriété est ici retrouvée par
96 CHAPITRE 5. INVERSION ET CARACTÉRISATION
l’étude des coefficients de corrélation linéaire.
Discussion sur l’utilisation des coefficients de corrélation linéaire
Il est couramment admis que R quantifie la corrélation linéaire entre deux données, c’est-à-dire la possibilité de trouver une relation affine entre ces deux vecteurs. Toute autre relation n’est pas prise en compte : par exemple, une relation polynomiale d’ordre 2 donne en général un coefficient de corrélation linéaire très faible. De plus, ce coefficient est très sensible aux valeurs extrêmes, comme le montre la figure 5.6. Elle présente quatre couples de vecteurs possédant les mêmes moyennes, variances, coefficients de corrélation linéaire et droites de régression linéaire, malgré une différence visuelle très importante. Ces quatre couples, connus sous le nom du quartet d’Anscombe, ont été publiés par F. Anscombe en 1973[Ans73]. 14 12 10 8 6 4 20 0 5 10 15 14 12 10 8 6 4 20 0 5 10 15 14 12 10 8 6 4 20 0 5 10 15 14 12 10 8 6 4 20 0 5 10 15
Fig.5.6 – Quartet d’Anscombe : les quatre couples (x,y) ont tous un coefficient de corrélation linéaire égal à 0,816
Néanmoins, calculer les coefficients de corrélation linéaire entre les paramètres des signaux CF acquis et les caractéristiques des défauts inspectés permet d’obtenir des informations intéressantes, dans le cas où des relations affines existent. Par exemple, la longueur et la profondeur n’offrent, pour aucun des paramètres, une corrélation très importante. Il n’y a a priori que peu de chances de pouvoir définir une relation linéaire entre chacun des paramètres et ces caractéristiques. Il est par contre tout à fait envisageable que des relations non linéaires existent.
5.4.2.3 Influence du pas d’échantillonnage spatial
L’inversion envisagée doit permettre de retrouver à partir d’un signal CF paramétré les caracté-ristiques du défaut inspecté. Les processus de décimation et de suréchantillonnage des signaux CF acquis, présentés aux sections 3.4 et 3.5 correspondent au processus d’échantillonnage spatial que réa-liserait une acquisition « réaliste ». Le pas d’échantillonnage spatial du signal CF après décimation est égal au pas original (100 µm) multiplié par le facteur de décimation nd. Ce processus de décimation introduit le fait que ces contrôles effectués en pratique contiennent moins de points de mesure et par conséquent moins d’informations : plus le pas d’échantillonnage spatial ou le facteur de décimation est important, plus la dynamique, le RSB et la probabilité de détection sont détériorés. Il est nécessaire que les valeurs des paramètres utilisés au sein de l’inversion soient le moins possible affectées par la décimation ou la variation du pas d’échantillonnage spatial.
Les figures 5.7 et 5.8 montrent l’évolution des coefficients de corrélation en fonction du facteur de décimation, plus précisément pour un facteur nd = 5 à la première et nd = 10 à la deuxième figure. Le cas nd = 5 correspond à un pas d’échantillonnage spatial égal à 500 µm, soit la moitié de la largeur d’une microbobine ; le cas nd = 10 correspond à un pas d’échantillonnage spatial égal à 1 mm, soit la largeur d’une microbobine. Elles indiquent que la corrélation entre les angles d’inclinaison des signatures CF et les profondeurs des défauts, conservées encore pour nd = 5, sont très dégradées à
nd = 10. Au contraire, les valeurs des coefficients de corrélation linéaire entre les dynamiques et les surfaces latérales des défauts sont assez stables.
5.4. L’INVERSION 97 ℓ αk α⊥ αc Dk D⊥ Dc dk d⊥ dc P1 P2 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 ℓ × p orientation p
Fig.5.7 – Coefficients de corrélation linéaire entre les paramètres des signaux CF et les caractéristiques des défauts à estimer, après décimation d’un facteur nd = 5
ℓ αk α⊥ αc Dk D⊥ Dc dk d⊥ dc P1 P2 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 ℓ × p orientation p
Fig.5.8 – Coefficients de corrélation linéaire entre les paramètres des signaux CF et les caractéristiques des défauts à estimer, après décimation d’un facteur nd = 10
98 CHAPITRE 5. INVERSION ET CARACTÉRISATION
5.4.2.4 Utilisation du mode combiné
Le mode combiné correspond à un signal CF identique pour deux défauts perpendiculaires entre eux. Il est ainsi souvent préférable d’utiliser les paramètres calculés sur les signatures CF combinées. En effet, la dynamique du mode combiné est par exemple identique pour ces deux défauts perpendiculaires, contrairement aux modes parallèle et perpendiculaire. Elle ne dépend que des autres caractéristiques des défauts.