Rupture des fibres

La modélisation des ruptures de fibre est une problématique spécifique au minicomposite qui contient un grand nombre de fibres. En effet, si la rupture de la fibre d’un microcomposite entraîne immédiatement celle du composite (si la matrice est fissurée), la rupture d’un minicomposite n’inter- vient que lorsque toutes les fibres ont cédé. L’introduction des ruptures de fibre aura donc un effet sur la rupture ultime, mais aussi sur le comportement du composite.

Comme pour les ruptures matricielles, les ruptures de fibre sont régies par une loi de Weibull similaire à celle de la matrice [Cur91a,Neu93,Hui95,DiB97]. Chaque rupture implique également une redistribution de la charge perdue par la fibre rompue à modéliser. Avant d’aborder les modèles de redistribution, notons que nous n’aborderons ici que le cadre du partage de charge global (Global Load Sharing, GLS), c’est-à-dire que les charges sont supposées être redistribuées de manière égale sur l’ensemble des autres fibres. Il a en effet été constaté que cette d’hypothèse, bien que simplificatrice, convient pour la description de la plupart des composites à matrice céramique [Eva94b, Lis97a], en particulier pour les contraintes de cisaillement interfacial faibles [Cur93c].

En ce qui concerne la modélisation de la redistribution des contraintes engendrées par chaque rupture, deux approches majeures peuvent être distinguées dans le cadre des modèles 1D. Le cadre de la première approche, les modèles de faisceau de fibres, a été initialement établi par Daniels [Dan45]. Ce type de modèle considère qu’une fois rompues, les fibres ne peuvent plus reprendre de charge sur toute leur longueur. La contrainte initialement supportée est donc intégralement redistribuée sur toutes les autres fibres intactes et sur toute la longueur du composite. De telles hypothèses ont déjà été prises en compte pour modéliser le comportement et la rupture de composites SiC/SiC [Lis97a,Lam01], impliquant des proportions de fibres rompues liée à la loi de Weibull. La caractérisation expérimentale des ruptures de fibre présentée dans le chapitre II montre cependant que ce type de modèle n’est pas le plus adapté pour représenter les minicomposites étudiés, puisqu’une même fibre doit pouvoir rompre plusieurs fois.

La deuxième approche suppose que chaque rupture de fibre engendre une longueur de décohésion le long de laquelle la contrainte de la fibre rompue augmente linéairement jusqu’à retrouver sa contrainte initiale [Cur91b,Pho92,Pho93,Pho97]. La longueur de décohésion lf s’exprime, comme dans le cas de

la fissuration matricielle, en fonction de la contrainte de cisaillement interfaciale τ considérée constante et de la contrainte σf à recouvrer :

lf(σf) =

Rfσf

2τ (III.7)

Tout segment de la fibre contenu dans la longueur de décohésion est alors considéré comme en- dommagé, et ne peut plus reprendre de charge. La contrainte perdue par la fibre rompue est alors répartie de manière égale sur l’ensemble des fibres intactes (c’est-à-dire qui ne sont pas endommagées dans la section considérée).

Comme pour la modélisation de la multifissuration matricielle, ces hypothèses sont utilisées dans le cadre de modèles numériques [Cur93a,Bax95,Ibn95,DiB97,Pho97], où les contraintes à rupture des fibres sont initialement générées suivant une distribution de Weibull, ou de modèles analytiques [Cur91b, Pho92,Pho93,Hil94,Pho97,Cur98], donnant des résultats moyens en fonction des paramètres de Wei- bull.

L’objectif de l’essentiel de ces modèles est d’étudier le comportement à rupture uniquement du composite, sans décrire le comportement complet. Ils utilisent donc des approximations pour simplifier l’interaction avec les fissures matricielles. La fissuration est supposée quasi-périodique et arrivée à saturation avant les première ruptures de fibres. La contrainte matricielle est alors considérée comme négligeable, permettant ainsi d’ignorer les oscillations de la contrainte des fibres intactes dues au transfert de charge des fissures matricielles. En outre, ces modèles ne permettent pas d’accéder à une caractérisation statistique des phénomènes d’endommagement à l’échelle locale.

Le modèle analytique proposé par Curtin et al. [Cur98] est un des modèles les plus évolués im- pliquant les ruptures de fibre, puiqu’il s’intéresse à l’interaction avec la fissuration matricielle. Le modèle fournit l’évolution de la déformation globale en fonction de la contrainte appliquée en distin- guant la déformation liée à la fissuration matricielle (quand les fibres sont intactes) et la déformation supplémentaire liée aux ruptures de fibre.

En ce qui concerne la fissuration matricielle, le modèle proposé s’appuie principalement sur les résultats de Ahn et Curtin [Ahn97]. Il suppose que la fissuration est périodique (distance inter-fissure ¯x constante le long du composite). La redistribution des contraintes à l’interface est effectuée grâce à une contrainte de cisaillement interfacial constante τ et tient compte du saut de contrainte défini par Hutchinson et Jensen [Hut90]. La déformation globale peut alors être calculée à tout niveau de contrainte en fonction des paramètres de Weibull de la matrice, des paramètres interfaciaux et des paramètres élastiques. Notons que l’expression finale dépend de l’état de saturation de la fissuration matricielle.

En ce qui concerne les ruptures de fibre, la déformation additionnelle ∆ induite par l’endomma- gement des fibres à la contrainte appliquée σ est déterminée par la relation (III.8) si la fissuration matricielle n’est pas arrivée à saturation (i.e. ¯x > 2δ, où ¯x est le pas de fissuration moyen et δ la longueur de décohésion associé à une fissure matricielle). Dans le cas où la saturation est atteinte (i.e. ¯x < 2δ), elle est déterminée par la relation (III.9).

∆ = 1 Ef  T − σ f  2δ ¯x  (III.8) ∆ = 1 Ef  T − σ f  (III.9)

T désigne la contrainte supportée par les fibres non rompues et est obtenue en inversant la re-

lation (III.10). La variable q (z0, T) désigne la probabilité de rupture des fibres sur une longueur z0 définie à partir d’une fissure matricielle (z0 = ¯x/2 si la fissuration matricielle est saturée, et z0 = δ sinon) et est définie par l’équation (III.11).

σ f = T  1 − q (z0, T)  1 + δcT 2¯xσc