La rugosit´e de ligne

La rugosit´e d’une ligne, telle que consid´er´ee dans ce manuscrit, est la rugosit´e d’une ligne (ou de ses bords) mesur´ee sur sa longueur. D’autres types de rugosit´e existent, comme la rugosit´e de flancs de ligne (Sidewall Roughness, SWR) [Verduin et al., 2015], mais elles ne seront pas abord´ees.

La rugosit´e de ligne peut ˆetre d´ecrite par deux param`etres diff´erents, illustr´es en Figure 1.21 : — LWR : rugosit´e de largeur de ligne (Line Width Roughness), caract´erisant les fluctuations de la largeur d’une ligne sur son ´etendue. La LWR est d´efinie par l’´Equation (1.10) comme l’´ecart type `a 3σ de la dimension d’un motif (la distribution des CD suit une loi gaussienne). — LER : rugosit´e de bord de ligne (Line Edge Roughness), caract´erisant les fluctuations d’un

bord d’une ligne par rapport `a sa position moyenne. On peut alors mesurer la LER des bords gauche ou droit d’une ligne. D’une mani`ere similaire `a la LWR, la LER d’un bord A est d´efinie par l’´Equation (1.11).

LWR LER

CD1 CD2 CDn dx1 dx2 dxn Figure 1.21 – Illustration de la rugosit´e de largeur de ligne (LWR) et

de bord de ligne (LER).

LW R= 3 σLW R= 3 v u u t1 N N X i=1 (CD − CDN)2 (1.10) LER_A= 3 σLERA = 3 v u u t1 N N X i=1 dx2 A,i (1.11)

La rugosit´e LER ou LWR mesur´ee comme l’´ecart type d’une valeur par rapport `a son id´eal sera r´ef´er´ee par la suite comme la rugosit´e Root Mean Square (RMS) (3σ).

Il existe un lien entre deux bords d’une mˆeme ligne, pouvant se traduire math´ematiquement par l’´Equation (1.12).

σ²_{LW R}= σ2

LERg + σ2

LERd−2 CC σLERg σLERd avec CC ∈ [−1; 1] (1.12) Avec CC, le coefficient de corr´elation entre les deux bords, et σ2

LW R, σ2

LERg (bord gauche) et

σ²_LER

d (bord droit), les m´etriques d’´ecart-type de LWR et de LER d´efinies par les ´Equations (1.10) et (1.11).

La Figure 1.22 illustre trois lignes dont la corr´elation entre bords est diff´erente, lorsque les deux bords ont une signature similaire (σ2

LER = σ2

LERg = σ2

LERd). Dans le cas d’une ligne aux bords corr´el´es (cas a), le d´eplacement des bords est r´ealis´e en phase. Lorsqu’ils sont anti-corr´el´es (cas c), le d´eplacement d’un bord dans une direction est li´e au d´eplacement du second bord dans la direction inverse. Enfin, le d´eplacement des bords non corr´el´es (cas b) est r´ealis´e ind´ependamment l’un de l’autre. On consid`ere alors que les bords n’ont aucune influence l’un sur l’autre. L’´Equation (1.12) adapt´ee aux diff´erents cas peut se traduire par les ´Equations (1.13) (bords corr´el´es), (1.14) (bords non corr´el´es) et (1.15) (bords anti-corr´el´es).

(a) (b) (c)

Bords corrélés Bords non corrélés Bords anti-corrélés

Figure 1.22 – Illustration de la corr´elation de bords (corr´el´es, non corr´el´es ou anti-corr´el´es).

Bords corr´el´es avec CC = 1 :

σ_{LW R}² = 0 (1.13) Bords non corr´el´es avec CC = 0 :

σ_{LW R}² =^√2 σ2

LER (1.14) Bords anti-corr´el´es avec CC = -1 :

σ_{LW R}² = 2σ2

La densit´e spectrale de puissance, Power Spectral Density (PSD) est une autre m´ethode de mesure de rugosit´e de ligne. Elle est la technique employ´ee dans ces travaux. La PSD est explicit´ee par l’´Equation (1.17) et d´ecrit le comportement fr´equentiel d’un bord de ligne comme une somme de Transform´ees de Fourier Discr`etes.

σ² = ^2π L N −1 X m=0 Pn= ^2π L N −1 X m=0 T F(Rm) (1.16)

o`u L est la longueur d’une ligne, N le nombre de points du signal et Rm la fonction d’auto-corr´elation pr´esentant un d´ecalage m et d´ecrite par Sinha et al. [Sinha et al., 1988] :

Rm = σ2e^−|

m∆y

ξ |2α

(1.17) avec ∆y le pas entre deux mesures, σ la rugosit´e (LER ou LWR), ξ le coefficient de corr´elation,

α l’exposant de rugosit´e.

Finalement, le mod`ele de PSD d´ecrit par les travaux de L. Azarnouche [Azarnouche, 2012, Azarnouche et al., 2012] peut ˆetre d´ecrit par l’´Equation (1.18).

P_n= _2πN^∆y σ²( N −1 X m=0 (2 − δm)e−|^m∆y ξ |2α cos(knm∆y)(N − m)) (1.18) o`u le nombre d’onde kn est d´efini par l’´Equation (1.19).

k_n= ^2π

Lⁿ, n ∈ N , n ∈ [0; N − 1] (1.19) La rugosit´e mesur´ee par l’´Equation (1.18) sera r´ef´er´ee par la suite de ce manuscrit comme la

rugosit´e PSD. La mani`ere de d´efinir la PSD n’est cependant pas universelle, comme l’explique Palasantzas [Palasantzas, 1993]. Mack utilise notamment une PSD continue directement exprim´ee dans l’espace fr´equentiel pour d´ecrire la rugosit´e [Mack, 2013], explicit´ee par l’´Equation (1.20).

P SD(k) = ^{P SD(0)} [1 + (kξ)2]α+1 2 avec P SD(0) = ^2σ2ξ 2π   √ πΓ^α+1 2  Γ(α)   (1.20) D’autres mod`eles existent pour d´ecrire la rugosit´e de mani`ere plus compl`ete que la rugosit´e RMS, comme la fonction d’auto-corr´elation, Auto-Correlation Function (ACF) ou la fonction de corr´elation des hauteurs, Height-Height Correlation Function (HHCF) [Constantoudis et al., 2004]. Ces m´ethodes mesurent la rugosit´e dans l’espace physique, contrairement `a la PSD (espace fr´equentiel). Si ces m´ethodes commencent `a se r´epandre dans le domaine de la micro-´electronique, c’est encore la PSD qui est majoritairement utilis´ee pour ´etudier la rugosit´e. Elle peut ´egalement ˆetre obtenue exp´erimentalement par diff´erentes techniques : le CD-SEM, l’AFM 3D ou encore le CD-SAXS [Reche et al., 2019].

La PSD poss`ede l’avantage de diff´erencier fr´equentiellement des signaux pr´esentant une rugosit´e RMS identique. Dans la suite de cette section, les avantages de la PSD seront illustr´es par l’exemple de la LWR. Les interpr´etations peuvent ˆetre transpos´ees au cas de la LER.

La PSD permet de caract´eriser la LWR `a l’aide de deux param`etres compl´ementaires `a σ : l’exposant de rugosit´e α et de la longueur de corr´elation ξ. Ainsi, des informations fr´equentielles sont obtenues pour chaque ligne. Concr`etement, lorsque la mesure de LWR est r´ealis´ee par PSD, les CD ne sont plus analys´es un `a un (rugosit´e RMS), mais en corr´elation avec chacun des autres CD de la ligne. Un exemple de PSD th´eorique obtenue pour la LWR pr´esentant les param`etres

Figure 1.23 – Exemple de courbe de PSD LWR th´eorique obtenue pour les param`etres σ= 2,0 nm, ξ = 50 nm et α = 0,5.

Diff´erentes informations peuvent ˆetre d´eduites d’une courbe de PSD : — La rugosit´e σ

La rugosit´e est ´egale `a la racine carr´ee de la variance (aire sous la courbe). — L’exposant de rugosit´e α

L’exposant de rugosit´e caract´erise les changements abruptes (ou chaotiques) des bords (et donc des CD) de lignes. La mesure de la pente de la PSD permet d’obtenir α, variant

entre 0 et 1 (sans unit´e).

— La longueur de corr´elation ξ

La longueur de corr´elation repr´esente la distance (en nm) entre deux CD (par exemple) `a partir de laquelle ceux-ci varient ind´ependamment l’un de l’autre. ξ est mesur´e `a partir de la rupture de pente observ´ee sur la PSD.

— Des analyses fr´equentielles Hautes Fr´equences (HF), Moyennes Fr´equences

(MF) et Basses Fr´equences (BF)

L’analyse en fonction des diff´erentes fr´equences d’une courbe de PSD peut fournir des informations compl´ementaires. Les BF sont d´efinies comme les fr´equences pour lesquelles les bords de lignes varient ind´ependamment l’un de l’autre (p´eriodes spatiales sup´erieures `a la longueur de corr´elation ξ). Les HF sont les fr´equences impact´ees par le bruit d’imagerie9. Les MF correspondent aux fr´equences interm´ediaires.

La Figure 1.24 illustre trois lignes (a, b et c) pr´esentant une rugosit´e LWR RMS σ = 2, 0 nm. On remarque cependant que le comportement des bords des 3 lignes sont diff´erents, de par leur forme et leur amplitude [Lorusso et al., 2006]. L’impact des diff´erents param`etres sur l’allure des PSD th´eoriques est illustr´e en Figure 1.24d.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 = 50 nm ; = 0,5 = 50 nm ; = 0,8 = 20 nm ; = 0,8 (a) 103 102 101 100 101 Nombre d'onde [nm 1] 104 103 102 101 100 101 102 LW R [ nm 3] BF MF HF = 50 nm et = 0,5 = 50 nm et = 0,8 = 20 nm et = 0,8

Dans le document Développement de procédés de lithographie avancée par auto-assemblage de copolymères à blocs de haute résolution (Page 43-47)