Le hamiltonien de l’oscillateur harmonique estHˆ = pˆ2
2m+12mω2xˆ2, et l’espace des états estH=L2(R). Nous allons résoudre le problème d’évolution par une autre méthode, due à Dirac.
Nous avions défini la longueur caractéristique a= q
~
mω et l’énergie caractéristique~ω puis fait le changement de variabley= xa. Ici, nous définissons de façon analogue les opérateursXˆ = xˆ
a et Pˆ =apˆ ~, de sorte que [ ˆX,Pˆ] =iid. Nous obtenons comme précédemmentHˆ =~ωKˆ avec
ˆ K = 1 2 ˆ X2+ ˆP2.
Pour étudierKˆ, essayons de le factoriser. Pour les nombres complexes, nous avonsa2+b2 = (a+ib)(a−ib), donc nous posons
ˆ
a= √1
2( ˆX+i ˆ
P)
et puisqueXˆ etPˆ sont hermitiens, on a
ˆ
a∗ = √1
2( ˆX−i ˆ
P).
Ces opérateurs sont appelés opérateurs d’échelle, respectivement l’opérateur annihilation et l’opérateur création. On définit aussi l’opérateur nombre
ˆ
N = ˆa∗aˆ
qui est un opérateur positif (exercice C.10). Les valeurs propres deNˆ sont donc positives etker ˆN = ker ˆa
(même exercice).
On calcule Nˆ = ˆK+ i
2[ ˆX,Pˆ] = ˆK− 12. Du fait de la non-commutativité deXˆ etPˆ, on a Nˆ 6= ˆK,
donc on n’a pas factoriséKˆ à proprement parler, mais ce résultat nous suffit. En effet, on voit queNˆ et ˆ
K ont les mêmes vecteurs propres et que les valeurs propres associées sont simplement décalées de 12. On calcule aisément le commutateur[ˆa,aˆ∗] =−i[ ˆX,Pˆ] = idet par conséquent[ ˆN ,ˆa] = [ˆa∗,ˆa]ˆa=−ˆa
et[ ˆN ,ˆa∗] = ˆa∗[ˆa,ˆa∗] = ˆa∗. Cherchons les éléments propres deNˆ. Pour cela, appliquons le résultat de
l’exercice suivant aux relations
[ ˆN ,ˆa ] =−ˆa et
[ ˆN ,ˆa∗] = ˆa∗.
Exercice 5.19. Siu etv sont deux opérateurs tels que[u, v] =µv avecµ∈ C, alors si on note Eλu
pour le sous-espace propre de upour la valeur propreλ(ou{0}siλn’est pas valeur propre de u), on a
v(Eλu)⊆Eλ+µu .
L’exercice montre que si ψ est un vecteur propre deNˆ pour la valeur propre λ, alors ˆaψ est soit un
vecteur propre deNˆ pour la valeur propreλ−1, soit nul (et alorsψ∈ker ˆa⊆ker ˆN doncλ= 0), et de
mêmeˆa∗ψest un vecteur propre de Nˆ pour la valeur propreλ+ 1(en effet,
kˆa∗ψk2 =haˆ∗ψ|ˆa∗ψi=hψ|aˆˆa∗ψi=hψ|( ˆN+ id)ψi= (λ+ 1)kψk2 6= 0
puisqueλ>0).
Cela montre que les valeurs propres de Nˆ sont exactement les entiers naturels. En effet, soit λ
une valeur propre deNˆ (ce n’est pas évident qu’il en existe une en dimension infinie14, mais c’est le cas ici comme la construction ci-dessous le montrera) etψ un vecteur propre associé. Alors pour tout
n∈N,aˆnψ est soit nul soit un vecteur propre de valeur propreλ−n. Puisque λ−n>0, il y a un
n0 ∈Ntel que ˆan0ψ6= 0et ˆan0+1ψ= 0, ce qui implique comme on l’a vu λ−n0 = 0, doncλ=n0∈N. Réciproquement, pour toutn∈N, le vecteur(ˆa∗)n(ˆan0ψ)est vecteur propre deNˆ pour la valeur propre
Mécanique quantique notes de cours
n, donc tous les entiers naturels sont valeurs propres. En revenant àKˆ puis àHˆ, on retrouve que les
valeurs propres deHˆ sont les
En= n+1 2 ~ω , n∈N.
Puisque pour tout n ∈ N, les opérateurs d’échelle EnNˆ ˆa ∗ −* )− ˆ a En+1Nˆ vérifient ˆaaˆ∗ = (n+ 1) idENˆ n et ˆ a∗ˆa= (n+1) idENˆ n+1
, ce sont des isomorphismes. Les degrés de dégénérescence de chauqe valeur propre de
ˆ
N sont donc identiques. On va montrer que ce degré est 1, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de dégénérescence. Calculons en effet le noyau de Nˆ (les états fondamentaux). On a vu qu’il est égal au noyau deaˆ. Il est
donc formé des solutions de l’équation différentielleϕ0+yϕ= 0, qui sont données par ϕ(y) =Ae−y2/2
avecA∈C. Comme elles forment un espace vectoriel de dimension 1, l’état fondamental, donc tous les niveaux, sont non-dégénérés.
Siψnest un vecteur propre normé deNˆ pour la valeur propren, alors on a vu quekaˆ∗ψnk=√n+ 1, et de même
kˆaψnk2=hˆaψn|ˆaψni=hψn|ˆa∗ˆaψni=hψn|N ψˆ ni=nkψnk2 = 1
donc kˆaψnk=√n. On peut donc définir15 |ψni= (a√∗)n
n! |ψ0i, soit |ψni= (2nn!)−12 y− d dy n |ψ0i.
En normalisant et en retournant au problème initial, on aψ0(x) = (a√π)−1/2e−12(x
a)2 donc ψn(x) = (a√π2nn!)−12 x a−a d dx n e−12(x a)2 .
Moment cinétique et spin
6.1 L’observable moment cinétique
Une quantité importante en mécanique classique est le moment cinétique L = x×p. C’est par exemple une constante du mouvement dans le cas d’un potentiel central. Le moment cinétique joue un rôle encore plus important en mécanique quantique, et nous allons donc étudier l’observablemoment cinétiqueen détail. Tout d’abord, puisque [ˆxj,pˆk] = 0si j6=k, on peut directement définir
ˆ
L= ˆx×pˆ (observable moment cinétique)
c’est-à-dire par exempleLˆx = ˆypˆz−zˆpˆy pour la première composante.
Exercice 6.1. ∗On rappelle que la densité de courant de probabilitéJψ définie à l’exercice 1.4 s’écrit
Jψ =<ψ∗mˆpψ
. Montrer que hLi=R x×mJψdx.∗
Exercice 6.2. Montrer que [ ˆLx,Lˆy] =i~Lˆz et grouper symboliquement cette relation et ses analogues pour les deux autres composantes en
ˆ
L×Lˆ =i~Lˆ.
En déduire que l’on a pour tout état
σLxσLy > ~
2|hLzi|.
Montrer que si l’espace des états est de dimension finie1 cela implique aussitr( ˆL) =0.
Exercice 6.3. En calculant d’abord[ ˆH,Lˆx]puis en rassemblant les trois coordonnées, montrer que
[ ˆH,Lˆ] = ~
ix× ∇V(x) id.
En déduire que dans un potentiel central, le moment cinétique est une constante du mouvement, comme en mécanique classique.
Une autre observable importante est l’observable moment cinétique total, définie par
ˆ
L2= ˆL·Lˆ = ˆLx2 + ˆL2y+ ˆL2z (observable moment cinétique total)
Mécanique quantique notes de cours
et qui est manifestement un opérateur positif.
On vérifie facilement que l’observable moment cinétique total commute avec l’observable moment cinétique dans une direction donnée, symboliquement
[ ˆL2,Lˆ] =0.
Les observables Lˆ2 et Lˆz, par exemple, sont donc simultanément diagonalisables. Pour trouver une
base commune de vecteurs propres et les valeurs propres associées, nous introduisons les opérateurs d’échelle (qui jouent un rôle analogue à celui des opérateurs annihilation et création pour l’oscillateur harmonique)
ˆ
L±= ˆLx±iLˆy
et nous utilisons la même méthode que pour l’oscillateur harmonique. On a bien sûr Lˆ∗
± = ˆL∓ et
[ ˆL2,Lˆ±] = 0. D’autre part,Lˆ±Lˆ∓= ˆL2
x+ ˆL2y∓i[ ˆLx,Lˆy] = ˆL2−Lˆ2z±~Lˆz. On calcule aisément les trois commutateurs
[ ˆLz,Lˆ+] = ~Lˆ+
[ ˆLz,Lˆ−] =−~Lˆ− [ ˆL+,Lˆ−] = 2~Lˆz.
PuisqueLˆ2 commute avecLˆ±, ses sous-espaces propres sont stables par ces opérateurs. Concentrons
donc notre attention sur un sous-espace propre deLˆ2, disons pour la valeur propre (positive) que nous noterons ~2n(n+ 1) avecn ∈R>0, et appliquons le résultat de l’exercice 5.19 à ces deux premières relations de commutation.
Si ψest vecteur propre deLˆz pour la valeur propre~λ, alorsLˆ+ψest soit nul soit vecteur propre
pour~(λ+ 1), et Lˆ−ψ est soit nul soit vecteur propre pour ~(λ−1). Pour tout ~λ∈R, les opérateurs
d’échelle ELzˆ ~λ ˆ L+ −−* )−− ˆ L− ELzˆ
~(λ+1) vérifient (attention au changement d’indice λ7→λ+ 1)
ˆ L−Lˆ+=~2 n(n+ 1)−λ(λ+ 1) id ELzˆ ~λ et Lˆ+Lˆ−=~2 n(n+ 1)−λ(λ+ 1) id ELzˆ ~(λ+1) .
Ces opérateurs étant positifs, toute valeur propre~λdeLˆz vérifieλ(λ±1)6n(n+ 1), donc|λ|6n. Il y a donc une valeur propre maximale, disons~l, et une minimale, disons~l0, avec l0 6l. Les identités ci-dessus montrent quen(n+ 1) =l(l+ 1) =l0(l0−1), doncl0 =l+ 1oul0 =−l, orl0 6l, donc l0 =−l.
Considérons la « chaîne » de sous-espaces propres de Lˆz pour les valeurs propres −l,−l+ 1, . . .
jusqu’à une première interruption −l+α, avecα ∈N. Alors −l+α et l sont racines de l’équation
λ(λ+ 1) =n(n+ 1) (puisqueLˆ−Lˆ+= 0 sur ce sous-espace), donc sont égales ànou −n−1, or cette
dernière valeur est exclue, donc −l+α=l=n. Cela implique l∈ 1
2N. Les valeurs propres deLˆz restreint au sous-espace propre deLˆ2 pour~2l(l+ 1)
sont les2l+ 1nombres−l,−l+ 1, . . . , l−1, l, et les sous-espaces propres correspondants sont isomorphes. On remarquera la similarité avec l’étude de l’atome d’hydrogène. Elle vient du fait que Lˆ2 est~2 fois le laplacien angulaire du chapitre 4. Les harmoniques sphériques forment donc une base propre simultanée deLˆz etLˆ2. Dans ce cas,l est entier, carLˆz = ~
i ∂
∂ϕ en coordonnées sphériques. Une fonction propre deLˆz dépend donc deϕcommeeimϕ, donc on doit avoirei2πm= 1, doncm∈N.
Exercice 6.4. Calculer l’espérance et l’écart-type d’une mesure deLˆx sur un état propre simultané de ˆ
L2 etLˆz.
La somme de moments cinétiques de plusieurs systèmes vérifie toujours les relations de commutation que nous avons établies. Par analogie, on appelle donc observablemoment cinétiquetoute observable vérifiant ces relations. On verra à la prochaine section qu’une telle observable n’est pas nécessairement une somme d’obervables de la formexˆ×pˆ. Pour les différencier, on appellera une observable de cette forme moment cinétique orbital.