Conhecida a lei limite para a distribuic~ao do maximo normalizado, e de todo conveniente medir por algum processo \como e qu~ao proximo" esta Fn(a
nx + bn) de G (x), ou seja, sempre que F 2 D (G), para uma escolha
adequada de constantes normalizadoras, an> 0 e bn2 R; pretende-se avaliar
a qualidade da aproximac~ao ultimate ou assintotica,
Fn(anx + bn) G (x) :
O estudo desta aproximac~ao pode ser feito precisamente recorrendo a es- timac~ao da dist^ancia entre a func~ao exacta Fn(anx + bn) e a respectiva lei
limite,
jFn(anx + bn) G (x)j :
Ora, como a converg^encia em distribuic~ao para leis n~ao degeneradas e uni- forme no suporte da lei limite, o problema resume-se a tomar o supremo da express~ao anterior e analisar como este converge para zero, i.e., averiguar em que condic~oes se tem
sup
x2RjF n(a
nx + bn) G (x)j ! 0; n ! +1; (1.21)
e determinar ainda a velocidade com que essa converg^encia se processa. Para se perceber o conceito de velocidade de converg^encia uniforme, suponha-se que a sucess~ao de func~oes
n(x) = Fn(anx + bn) G (x) ;
pode ser escrita na forma
n(x) = (x) un+ o (un) ; (1.22)
onde (x) e uma func~ao n~ao identicamente nula e n~ao dependente de n; fung e um in nitesimo de comportamento conhecido (tipo 1=np; 1= lnpn ou
(ln n) =n), e o (un) e uma sucess~ao que normalmente depende de x. Por vezes
torna-se mais facil trabalhar directamente com uma func~ao majorante, d (x) ; su cientemente proxima de n(x), comj n(x)j d (x) ;8x e que possa ser
escrita como em (1.22). Em qualquer dos casos, mostrar a converg^encia em (1.21) equivale ent~ao a provar que o termo o (un) converge uniformemente
para zero e, assim sendo, diz-se que a velocidade de converg^encia uniforme de Fn(a
nx + bn) para G (x) e da ordem de un: Note-se que a velocidade de
converg^encia depende quer da escolha das constantes de atracc~ao quer do comportamento assintotico da cauda direita da func~ao de distribuic~ao F:
O problema da obtenc~ao da velocidade de converg^encia tem constitu do o mote de importantes investigac~oes cient cas em teoria de valores extre- mos, tendo sido analisado isoladamente para cada um dos tr^es dom nios de atracc~ao Gumbel, Frechet e Weibull. Destacamos nesta area, os trabalhos de Fisher e Tippett [21], Uzg•oren [45] e Hall [28], que estabeleceram velocidades de converg^encia para modelos de v:a:0s independentes com distribuic~ao nor- mal, inclu da no dom nio da Gumbel. Ja Anderson [1], obteve velocidades de converg^encia uniformemente validas sobre intervalos limitados, abrangendo os diferentes dom nios de atracc~ao. De referir ainda os estudos desenvolvidos por Cohen [9] para o dom nio de atracc~ao da Gumbel, por Smith [42], para os dom nios da Frechet e da Weibull e por Davis [11], que levaram a deduc~ao de velocidades de converg^encia uniforme em todo o suporte da lei limite. Alguns destes resultados foram reformulados e uniformizados por Canto e Castro [5] e [6], para o modelo geral G em amostras de v:a:0s independentes
e identicamente distribu das. Ainda para o referido modelo, Canto e Castro [6] prop~oe uma escolha de constantes de atracc~ao distinta da utilizada por outros autores, o que originou igualmente uma diferente express~ao assintotica nal para Fn(anx + bn) G (x) ; valida em qualquer dom nio de atracc~ao.
As respectivas velocidades de converg^encia uniforme foram deduzidas consi- derando quer intervalos limitados no suporte da G quer tomando todo o seu suporte.
No seu artigo, Fisher e Tippett [21], constataram ainda no caso do modelo normal, para o qual a velocidade de converg^encia uniforme e habitualmente lenta (quanto muito da ordem de 1= ln n), que a distribuic~ao do maximo amostral, convenientemente normalizada, poderia ser \melhor" aproximada a uma sequ^encia de distribuic~oes de valores extremos distintas da propria dis- tribuic~ao ultimate Gumbel. Essa sequ^encia de distribuic~oes de extremos, con- vergente para a lei limite e designada pelos mesmos autores por sequ^encia pe- nultimate ou pre-assintotica, induziria assim uma velocidade de converg^encia uniforme mais rapida do que a veri cada na aproximac~ao assintotica inicial. Outros autores tais como Cohen [8] e Gomes [24] debrucaram-se exactamente sobre o mesmo problema, tambem para a sucess~ao do maximo amostral de
v:a: normais. Gomes e Pestana [25], Smith [44], Gomes e De Haan [26] e ainda Kaufmann [30], estudaram as aproximac~oes penultimate para Fn(a
nx + bn)
contextualizadas no modelo parametrico G . Salientamos em particular o trabalho de Gomes e De Haan [26] por ser aquele que servira de base para o estudo do comportamento penultimate da func~ao de abilidade em sistemas com estrutura paralelo-serie e serie-paralelo a desenvolver no cap tulo 3 desta dissertac~ao. Nesse artigo, os autores consideraram func~oes de distribuic~ao F cujas caudas direitas veri cam as condic~oes de von Mises de primeira ordem (proposic~ao 1.3) e de segunda ordem, envolvendo o par^ametro e ainda um par^ametro de segunda ordem, . Com essas condic~oes provaram, para mode- los de v:a:0s i:i:d:; que a exist^encia de uma sequ^encia de distribuic~oes penul-
timate so e poss vel, quando a aproximac~ao da distribuic~ao do maximo, con- venientemente normalizado, Fn(a
nx + bn) ; a sua lei limite G (x) ; e muito
lenta, i.e., quando = 0 e estabeleceram uma terceira condic~ao a que cha- maram condic~ao de von Mises tipo penultimate, ou simplesmente, condic~ao penultimate, para obter a referida sequ^encia, G n(x), onde n6= e n! , quando n! +1; com uma velocidade de converg^encia uniformemente valida em R: O estudo da aproximac~ao penultimate,
Fn(anx + bn) G n(x) ;
ganha contornos particularmente interessantes quando = 0; por abranger um leque variado de poss veis func~oes de distribuic~ao penultimate. Na ver- dade, tomando n xo e su cientemente grande s~ao obtidas para n > 0; distribuic~oes de Frechet, G n; enquanto que para n < 0; obt^em-se distri- buic~oes de Weibull. Qualquer uma destas distribuic~oes esta mais proxima de Fn(a
nx + bn) do que a lei limite Gumbel.