Face às aprendizagens realizadas anteriormente, propuseram-se problemas que envolvessem o volume de sólidos, tais como “A caixa”, “A piscina” e “O aquário”. Estes problemas focaram, na sua generalidade, o descritor “Resolver problemas envolvendo o cálculo de volumes de sólidos”.
Relativamente ao problema “A caixa” (Figura 6) pretendia-se o cálculo do volume do prisma octogonal através da sua decomposição em prismas triangulares, pelo que os alunos tinham de calcular o volume do prisma triangular e, de seguida, calcular o óctuplo desse volume. Uma outra forma seria através da determinação da medida da área do octógono através da medida da área do triângulo (área do octógono= 8 x área do triângulo), determinando o produto dessa mesma medida de área pela medida da altura.
Figura 6 - Problema "A caixa"
Como forma de preparação para a elaboração do problema com os alunos bem como para a correção, elaborou-se uma proposta de resolução do que seria esperado que os alunos realizassem. Proposta de resolução: 𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎= 8 × 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝐴𝑏× 𝑎 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 5 × 30 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 150 𝑐𝑚3 𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎= 8 × 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎= 8 × 150 𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎= 1200 𝑐𝑚3 Aplica 1
A Joana comprou uma caixa para guardar bolachas com a forma de um prisma octogonal regular, dividida em oito prismas triangulares para que pudesse fazer a separação de diferentes tipos de bolachas.
Sabendo que cada parte da caixa, isto é, cada prisma triangular que o compõe tem de área de base 5 cm2e de
altura 30 cm, determina o volume do primas octogonal, tendo em conta a sua decomposição em prismas triangulares.
No problema seguinte (Figura 7), pretendia-se que os alunos calculassem a capacidade da piscina. Assim, tinham de determinar o volume da mesma. Para tal, com os dados fornecidos no enunciado (altura da piscina, medida do lado da sua base e o apótema), os alunos calculavam o produto da medida da área da base pela altura. Sendo que a área da base (hexágono) corresponde a metade do produto do perímetro do hexágono pelo apótema.
Figura 7 - Problema "A piscina"
Depois de calculado o volume do prisma hexagonal e, como passo final para a resolução do problema, esperava-se que os alunos determinassem a capacidade da piscina em litros, sabendo que um decímetro cúbico corresponde a um litro. Neste seguimento, surge uma possível resolução correta do problema proposto.
Possível resolução:
1.ºPasso: Cálculo do volume da piscina, isto é, cálculo do volume do prisma hexagonal
𝑉𝑝𝑖𝑠𝑐𝑖𝑛𝑎 = 𝐴𝑏× 𝑎 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑃 × 𝑎𝑝𝑜𝑡 2 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = (2 × 6) × 1,4 2 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 8,4 𝑚2 𝑉𝑝𝑖𝑠𝑐𝑖𝑛𝑎 = 𝐴𝑏× 𝑎 𝑉𝑝𝑖𝑠𝑐𝑖𝑛𝑎 = 8,4 × 1,2 𝑉𝑝𝑖𝑠𝑐𝑖𝑛𝑎 = 10,08 𝑚3
2.ºPasso: Conversão do volume (m3) em capacidade (l) 10,08 𝑚3 = 10080 𝑑𝑚3= 10080 ℓ
A piscina tem 10080 ℓ de capacidade.
Por fim, “O aquário” é constituído por dois problemas, sendo que a resolução do segundo depende da resolução do primeiro (Figura 8). Numa primeira questão do problema, solicitava-se que os alunos determinassem a quantidade de areia, em centímetros cúbicos, que o Roberto teria de comprar para colocar uma camada de areia de 6 cm de espessura no fundo do aquário.
Desta forma, os alunos tinham de determinar o volume de um prisma cuja base triangular tem de altura e base 50 cm e 30 cm, respetivamente, e cuja altura do prisma é 6 cm (espessura da camada de areia).
Figura 8 - Problemas "O aquário"
Relativamente ao segundo problema, solicitava-se, em centímetros cúbicos, o volume do aquário e a respetiva capacidade em litros. Sendo que os alunos foram advertidos para que o volume que era solicitado correspondia ao volume do aquário, mas excluindo o volume ocupado pela areia. Para tal, os alunos tinham de subtrair o volume da camada de areia ao volume total do aquário. Proposta de resolução: 1. 𝑉𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎= 𝐴𝑏× 𝑎 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑏 × 𝑎 2 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 50 × 30 2 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 750 𝑐𝑚2 𝑉𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎= 𝐴𝑏× 𝑎 𝑉𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎= 750 × 6 𝑉𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎= 4500 𝑐𝑚3
A quantidade de areia que o Roberto deverá comprar é 4500 cm3.
2.
𝑉𝑎𝑞𝑢á𝑟𝑖𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑏× 𝑎
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 750 𝑐𝑚2
𝑉á𝑔𝑢𝑎= 𝑉𝑎𝑞𝑢á𝑟𝑖𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙− 𝑉𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎 𝑉á𝑔𝑢𝑎= 18750 − 4500 𝑉á𝑔𝑢𝑎= 14250 𝑐𝑚3
14250 𝑐𝑚3= 14,250 𝑑𝑚3= 14,250 ℓ
O aquário tem de volume 14250 cm3 e 14,250 ℓ de capacidade.
Perante os problemas desenhados e implementados, construiu-se a Tabela 10 que integra a Adequação Didática dos mesmos. Nesta referem-se apenas as dimensões epistémica, cognitiva, afetiva, mediacional, de interação e ecológica, uma vez que estas constituem os indicadores com maior relevo nesta fase de planificação e implementação.
Tabela 10 – Indicadores de Adequação Didática dos problemas de contexto real
Outros problemas de contexto real
Indicadores de Adequação Didática com base em Godino (2011)
Dimensão epistémica
• Propriedades
- O volume de um prisma triangular (Vprismatriangular), em unidades cúbicas, é igual ao produto da medida da área da base (𝑏×𝑎𝑙𝑡
2 ) pela medida da altura (𝑎):
𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 =𝑏 × 𝑎𝑙𝑡 2 × 𝑎
- O volume de um prisma octogonal (Vprismaoctogonal) é através da decomposição em prismas triangulares, ou seja, é igual ao octúplo do volume do prisma triangular (Vprismatriangular):
𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎𝑜𝑐𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 = 8 × 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
- O volume do prisma hexagonal (Vprismahexagonal), em unidades cúbicas, é igual ao produto da área da base (𝐴𝑏) pela medida da altura (𝑎):
𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎ℎ𝑒𝑥𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 = 𝐴𝑏 × 𝑎 • Procedimentos
- Cálculo do volume do prisma octogonal através do volume de prismas triangulares;
- Cálculo do volume do prisma hexagonal e sua correspondência em litros;
- Cálculo do volume do prisma triangular (areia);
- Subtração do volume da areia ao volume total do aquário e conversão do respetivo volume para litros.
• Linguagem
Simbólica:
- Cálculos para a determinação de volumes;
Verbal:
- Apresentação de respostas aos problemas.
Dimensão cognitiva
• Conhecimentos prévios
- Cálculo de volumes (prisma e cilindros);
- Conversão de unidade de medida de volume para unidades de capacidade;
- Cálculo da área do hexágono; - Cálculo da área do triângulo.
Dimensão afetiva
• Relação com o quotidiano
- Os três problemas apresentados envolvem situações de contexto real, nomeadamente uma caixa de bolachas, uma piscina e um aquário. Correspondem a situações que permitem aos alunos atribuírem significado e utilidade ao que aprenderam, uma vez que são mais próximas da realidade dos alunos e, como tal, desperta- lhes mais interesse.
Dimensão mediacional
• Recursos
- Caderno diário; - Material de escrita.
• Espaço e tempo
- Realizado em sala de aula num tempo previsto de 10-15 minutos para cada um dos problemas.
Dimensão de interação
• Comunicação
- Corresponde a um momento de autonomia, no entanto, a sua correção é realizada em conjunto turma.
Dimensão ecológica
• Indicações curriculares (Metas)
- Resolver problemas envolvendo o cálculo de volumes de sólidos.
- Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que a medida
do volume de um prisma reto (em unidades cúbicas) é igual ao produto da medida da área da base (em unidades quadradas) pela medida da altura.
- Reconhecer, fixada unidade de comprimento, que a medida do
volume de um prisma triangular reto (em unidades cúbicas) é igual ao produto da medida de área da base (em unidades quadradas) pela medida da altura, considerando uma decomposição em prismas triangulares.