Restauration d’images avec des méthodes bispectrales

Le bispectreB

de la fonction d’irradiancei

(−→_{x)d’un objet est défini à partir du spectre}

I

(−→_u)dei

_{par :}

B

(−→_u

−→_u

_{) = ˆI}

₍−→_u

_{) ˆI}

₍−→_u

_{) ˆI}

o

(−→_u

₊−→_u

₎

Cette fonction est accessible à l’expérience, et peut être calculée à partir du spectre de

l’image obtenue dans le plan focal d’un télescope par exemple. Pour réduire le bruit de la

mesure, on calcule souvent une moyenne temporelle que nous appellerons ici,bispectre

ex-périmental et qui sera notéB

.

En posant

I

(−→_{u) =|I}

₍−→_{u)| expiβ(}−→_u)

et :

B

(−→_u

−→_u

_{) =|B}

₍−→_u

−→_u

_{)| expiγ(}−→_u

−→_u

_),

on en déduit la relation suivante, pour le termes de phase :

expiγ(−→_u

−→_u

_{) = expiβ(}−→_u

_{) expiβ(}−→_u

_{) exp−iβ(}−→_u

−→_u

₎

On peut ainsi définir l’opérateur bispectralC0tel que

oùγ etβ sont respectivement les phases du bispectre et du spectre de l’objet.

En utilisant la propriété que la “clôture de phase” n’est pas affectée par les aberrations

de phase dues à la propagation dans l’atmosphère, on montre que la fonction de transfert

bispectrale expérimentale est réelle, avec un terme de phase nul (voirAnnexe A). Le phaseur

ξ

= expiγ

du bispectre expérimental de l’image est donc égal au phaseur du bispectre de

l’objet, à un terme de bruit près. On a donc :

expiγ

= expiγ+ǫ

L’opérateur de transformée de Fourier (TF) étant inversible, on peut calculer la fonction

d’éclairement d’une image à partir de sa TF. Le module d’une TF ne contenant que très peu

d’information, le problème de l’imagerie par méthode bispectraleconsiste donc

essentielle-ment à déterminer le phaseurexpiβ du spectre de l’objet à partir d’une mesureξ

= expiγ

du phaseur du bispectre expérimental.

Nous sommes donc amenés à minimiser la fonctionnelle :

q(β) =kexpiγ

−expi C0βk

(II.1)

La normekk

est associée au produit scalaire suivant :

(x|x

)

=x

Qx

oùQ = V

est l’inverse de la matrice de variance-covariance V du phaseur expérimental

expiγ

. Notons que la distance associée est parfois appeléedistance de Mahalanobis(

Maha-lanobis,1936). La plupart des auteurs font l’hypothèse simplificatrice queV est une matrice

diagonale, dont les termes diagonaux sontw

= 1/σ

i

, où σ

est l’écart-type obtenu lors du

calcul de la composanteidu vecteur phaseur bispectral moyen. En notantw

la fonction telle

quew

(i) = w

la fonctionnelle à minimiser (cf Eq.II.1) devient :

q

(β)≈ kw

(expiγ

−expi C0β)k

Pour résoudre ce problème (voir Annexe A), nous avons mis en œuvre la méthode de

minimisation itérative par moindres carrés avec une méthode de Gauss-Newton proposée par

Lannes (1988), et aussi (pour comparer) une version de la méthode récursive proposée par

Weigelt(1977) etLohmann et al.(1983). Nous avons aussi commencé à étudier le traitement

plus rigoureux de ce problème, avec une résolution par la méthode QR, en prenant en compte

la distance de Mahalanobis.

Lorsque la phase du spectre de l’image de l’objet a été reconstruite, on doit ensuite

ré-soudre un problème de déconvolution faisant intervenir le module de ce spectre et la fonction

de transfert du système imageur, qui est estimée à partir d’observations d’une étoile simple,

dite étoile de référence. En principe, ces observations devraient avoir été effectuées dans

des conditions aussi proches que possibles de celles de l’objet (même filtre, type spectral

et magnitude voisins, hauteur zénithale semblable, moment d’observation proche, etc.). En

fait l’expérience m’a montré que ces contraintes pouvaient être relâchées, et qu’il n’était pas

nécessaire d’observer une étoile de référence pour chaque objet étudié. L’information

conte-nue dans le module du spectre est beaucoup moins importante que celle conteconte-nue dans la

phase. Pour cette opération, j’ai utilisé la méthode de déconvolution régularisée proposée par

FIG. II.3: Système multiple ADS 11454 observé le 12/09/2006 avec PISCO à Merate (AB-C : 1".63 et C-D : 0".44,∆mV(AB−CD) = 1.2). De gauche à droite : longue intégration des images élémentaires ; spectre de puissance moyen des images élémentaires corrigé du biais introduit par le bruit de photons ; coupe du bispectre corrigé du biais de photons ; autocorrélation moyenne et image restaurée avec notre méthode bispectrale (AB non résolu, C et D). D’aprèsScardia et al.(2009).

Vigneau. J’ai adapté ce logiciel à mon problème (données dans l’espace de Fourier) et à mon

environnement informatique (langage C, format FITS pour les images, allocation dynamique

de mémoire, etc).

En fait la plus grande difficulté que j’ai rencontrée dans la mise en œuvre de cette méthode

a concerné l’estimation correcte du bispectre expérimentalB

à partir des données. Des

fac-teurs multiples, à la fois théoriques (bruit de photons, biais statistiques) et pratiques (liés au

détecteurs utilisés), rendent l’estimation de ce bispectre expérimental très difficile. L’élément

décisif qui m’a permis d’aboutir a été la simulation complète du processus sur banc d’optique,

avec un simulateur de turbulence, PISCO et la caméra ICCD. Les différentes corrections, que

j’applique maintenant systématiquement dans des procédures non supervisées, font intervenir

la TF de la réponse du détecteur à un seul photon et nécessitent la résolution d’une équation

du 3ème degré pour estimer le nombre de photons moyen par image (qui n’est pas accessible

directement dans le cas de la caméra ICCD). Elles sont décrites dans l’Annexe A. Ces

correc-tions sont appliquées dans le programmevcrbqui permet depuis 2006 d’obtenir des images

restaurées par des méthodes bispectrales en temps réel, à partir des observations de PISCO

avec la caméra ICCD (voir Fig.II.2).

L’étude détaillée que j’ai faite pour résoudre ce problème a aussi été l’occasion pour moi

de faire des simulations complètes du processus d’imagerie, prenant en compte la turbulence

atmosphérique, le processus de détection, la réponse du détecteur, et les différents biais

sta-tistiques intervenant lors du calcul du bispectre expérimental (voir Fig. II.3 et Annexe A).

La partie du bispectreB qui est représentée sur les figuresII.3etII.2 correspond à la partie

réelle d’une coupeB((u1,0),(v1,0)). Plus précisément, les valeurs du bispectre de la zone

centrale correspondent à la “liste bispectrale” associée à une couverture fréquentielle

circu-laire de rayonir = 30. Les valeurs sur les axes qui s’étendent au delà de cette zone centrale

ont été obtenues à partir du spectre de puissance (pour plus de détails, voirAnnexe A).

FIG. II.4: Simulation d’observations d’une étoile triple avec PISCO et la caméra ICCD. De gauche à droite et de haut en bas : écran de phase instantané (turbulence atmosphérique), phase sur la pupille d’entrée du télescope, réponse impulsionnelle instantanée, image élémentaire analogique dans le plan focal, photons détectés, image élémentaire fournie par la caméra ICCD, longue pose, spectre de puissance, coupe du bispectre mesuré, objet hors atmosphère, image restaurée avec la phase du bispectre, image finale restaurée après déconvolution.

0 50 0 2 4 Radius log10(z) (c)

FIG. II.5: Profil de Moffat ajusté à une image d’une étoile de calibration (HR 8658) obtenue enKavec ADO-NIS : (a) image brute, (b) résidu et (c) profil de l’image brute en ligne continue et profil de Moffat en pointillés. D’aprèsLampens et al.(2012).

FIG. II.6: Analyse de Fourier des images de HIP 20087 obtenues avec ADONIS. La correction d’optique adapta-tive a produit une image intégrée (à gauche) ne comportant qu’une simple tache brillante. En divisant le spectre de puissance correspondant par celui d’une étoile de calibration, nous avons obtenu un spectre de puissance “res-tauré” (à droite) qui comporte deux systèmes de franges qui suggèrent la présence de deux compagnons autour de l’étoile primaire. On voit clairement ici le bruit blanc à l’extérieur du disque de diamètreD/λcorrespondant à la limite de diffraction du télescope. D’aprèsLampens et al.(2012).