4.2 Perspectives
4.2.1 Restauration aveugle par extraction de la phase
Le probl`eme d’estimation aveugle ´etant sous-d´etermin´e, il est important d’injecter le plus d’information possible sur les variables. Les PSFs en particulier proviennent de la mod´elisation de l’optique en microscopie de fluorescence (cf. cadre1). Cette mod´elisation permet d’incorporer des contraintes sur la PSF dans l’espace de Fourier, des contraintes de phase dont le support est donn´e par l’ouverture num´erique de l’objectif qui est connue. Il est alors int´eressant d’imposer ces contraintes sur les PSFs dans la m´ethode d’estimation.
Nous proposons ici de reprendre l’algorithme non-param´etrique pr´esent´e dans la sec- tion3.3, et d’y ajouter une ´etape d’estimation de la phase par un algorithme de Gerchberg- Saxton (GS) [Fienup 1982, Hanser 2003] permettant l’introduction de la contrainte de support sur la phase. Nous pr´esentons des premiers r´esultats sur une image simul´ee de microscopie confocale montrant l’int´erˆet de la prise en compte de cette contrainte suppl´ementaire.
Pour ce faire, nous rappelons tout d’abord les contraintes donn´ees par la mod´elisation du syst`eme optique. Nous d´ecrivons ensuite l’algorithme que nous proposons pour l’in- jection de ces contraintes. Nous pr´esentons des premiers r´esultats sur une image simul´ee. Nous proposons enfin des perspectives permettant d’am´eliorer cette m´ethode.
4.2.1.1 Contrainte de phase sur la PSF
Nous consid´erons un syst`eme de microscopie confocale o`u chaque PSF SI hi, i = 1, ..., M prise `a une profondeur donn´ee, est mod´elis´ee par [Egner 2006] :
hi(x, y, z) = |hiA(x, y, z) |4
De plus, nous avons :
hiA(x, y, z) = T F2D−1 P i
(kx, ky, z)
o`u Pi(kx, ky, z) ∈ C est la fonction pupille 2D pour chaque coupe en Z, et kx, ky sont les
coordonn´ees fr´equentielles 2D. Cette fonction peut ˆetre d´ecompos´ee en deux termes :
Pi(kx, ky, z) = Pai(kx, ky) Pd(kx, ky, z) o`u Pd(kx, ky, z) = exp 2 jπz q (ni λ) 2− (k x+ ky)2
mod´elise la d´efocalisation de l’optique et est connu (donn´e la longueur d’onde λ , et l’IR ni du milieu d’immersion qui sont sup-
pos´e connus). Le terme Pai(kx, ky) ∈ C li´e au sp´ecimen biologique (donc inconnu), d´ecrit
les aberrations que subit le front d’onde en traversant des milieux d’indices de r´efraction diff´erents. Le support C de ce terme est un disque de rayon donn´e par l’ouverture num´erique (NA) du microscope : C = {(kx, ky) ∈ N2;
q k2
x+ k2y <2πλ NA}. Cette mod´elisation permet
d’imposer des contraintes suppl´ementaires sur les PSF (forme et support).
4.2.1.2 Algorithme d’estimation avec contrainte de phase sur la PSF
Pour prendre en compte ces contraintes de phase, nous ajoutons `a l’algorithme d’es- timation non-param´etrique propos´e dans la section3.3une ´etape d’estimation de la fonc- tion complexe hiA, et plus particuli`erement du terme Pai, les autres termes ´etant fix´es par
le syst`eme d’acquisition. Pour estimer le terme Pi
a `a partir des hi(fonctions r´eelles), nous
utilisons l’algorithme de Gerchberg-Saxton (GS) qui a ´et´e pr´ec´edemment appliqu´e avec succ`es dans [Hanser 2003] en microscopie de fluorescence `a champ large. L’estimation est obtenue en alternant des contraintes dans les domaines spatial (module de hAi donn´e
par hi) et fr´equentiel (structure de hiAdonn´ee et support de Pai donn´e par C). L’algorithme
d’estimation global est alors le suivant, k ´etant le compteur d’it´eration : 1. Estimation de l’objet par l’algorithme SGP [Bonettini 2009] :
ˆf(k+1)= arg min kfk1= c f( j) ≥ 0, j ∈Id J f, ˆh1(k), ..., ˆhM(k)
2. Estimation des PSFs : pour chaque i = 1, ..., M, it´erer les ´etapes suivantes : (a) Estimation de la PSF en intensit´e par l’algorithme SGP [Bonettini 2009] :
ˆ hi(k+1)= arg min khik 1= 1 hi( j) ≥ 0, j ∈Id supp(hi) ⊂ B J ˆf(k+1), ˆh1(k), hi , ..., ˆhM(k)
(b) Estimation du terme d’aberration Pai(kx, ky) `a partir de la PSF hi par l’algo-
rithme GS [Hanser 2003] ci-dessous.
(c) Calcul de la PSF hi `a partir du terme d’aberration :
L’algorithme GS [Hanser 2003] permet l’estimation de Pai en alternant des contraintes
dans les domaines spatial (module de hAidonn´e par hi) et fr´equentiel (support de Pai donn´e
par C) comme suit :
1. Calculer pour chaque coupe en z la PSF coh´erente par l’´equation suivante :
hAi(k+1)(x, y, z) = T F2D−1
Pd(kx, ky, z) .Pai(k)(kx, ky)
2. Remplacer le module de hAi(k+1)par
4
q ˆ hi(k+1)
3. Calculer pour chaque coupe z le terme :
Paiz (k+1) (kx, ky) = T F2D hAi(k+1)(x, y, z) . Pd−1(kx, ky, z)
ensuite calculer Pai(k+1) comme ´etant la moyenne de ces termes calcul´ees pour les
diff´erentes z.
4. Projeter Pai(k+1)sur l’ensemble des fonctions de support inclus dans C = {(kx, ky) ∈
N2; q
k2
x+ k2y <2πλ NA}.
4.2.1.3 Tests num´eriques
Nous avons appliqu´e l’algorithme ci-dessus `a l’image simul´ee de coquille de bille consid´er´ee pr´ec´edemment (cf. la figure 4.1), les param`etres de r´egularisation ´etant fix´es comme suit : α = 10−3, β1= 4. 104, β1= 5. 105, β1= 5. 105. Les PSFs et l’image estim´ees sont respectivement pr´esent´ees dans les figures 4.1 (c), (g), (k) et (o). La comparaison de ces r´esultats avec ceux obtenus sans la contrainte de phase (cf. figures 3.15 (c), (g), (k) et (o)) et la comparaison avec les vraies image et PSFs (cf. figures 4.1 (a), (e), (i), et (m)) montrent l’avantage de l’approche propos´ee. La m´ethode GS permet de contraindre la forme de la PSF qui est proche de la vraie PSF : les oscillations autour du lobe principal des PSFs sont mieux mod´elis´ees. Ceci est grˆace `a la contrainte de support dans Fourier qui revient `a convoluer la PSF dans le domaine spatial par un sinc. Nous pr´esentons aussi dans les figures 4.1(d), (h), (l) et (p), les r´esultats de restauration en ajoutant la contrainte de support objet `a cette m´ethode. Ceux-ci montrent une l´eg`ere am´elioration de l’estimation du d´ecalage des PSFs.
Cependant, l’estimation par l’algorithme propos´e pr´esentent certaines limites. La pro- jection dans le domaine fr´equentiel, effectu´ee s´epar´ement de l’algorithme d’optimisation par SGP, peut augmenter la fonctionnelle d’´energie apr`es son optimisation par rapport `a la PSF et `a l’image, ce qui d´estabilise l’algorithme d’optimisation global. Ceci peut ˆetre ´evit´e en incorporant les contraintes de phase dans l’algorithme d’optimisation par SGP, ce qui permet d’effectuer un descente de la fonctionnelle tout en v´erifiant les contraintes que nous souhaitons imposer sur les PSFs. Une autre mani`ere pour injecter ces contraintes sur la PSF est de reparam´etrer la fonctionnelle `a optimiser en injectant la contrainte de sup- port fr´equentielle par l’utilisation d’une fonction indicatrice. Le crit`ere peut ˆetre ensuite optimis´e par rapport `a la phase d’aberration et l’objet conjointement.
(a) (b) (c) (d)
(e) (f) (g) (h)
(i) (j) (k) (l)
(m) (n) (o) (p)
FIGURE 4.1 – Restauration aveugle de l’image B avec contrainte de phase sur la PSF : des coupes axiales (Y, Z) des images 3D sont pr´esent´ees : (a) image originale, (b) observa- tion, (c) restauration avec contrainte de phase sur la PSF, (d) restauration avec contrainte de phase sur la PSF et contrainte de support sur l’objet. (e), (i), et (m) montrent des coupes axiales des vraies PSFs, (f), (j), et (n) montrent des coupes axiales des PSF de l’initialisa- tion, (g), (k), et (o) montrent des coupes axiales des PSFs estim´ees avec contrainte de phase sur la PSF, (h), (l), et (p) montrent des coupes axiales des PSFs estim´ees avec contrainte de phase sur la PSF et contrainte de support sur l’objet.