Resistance au bruit additif

(a) PSNR=10.6764 dB (b) PSNR=10.6730 dB (c) PSNR=10.6918 dB

Figure 3.16 : Résultats d’attaque par bruit Gaussien dans le cas de (a) DFRFT-DRPE à base du

pré-cryptage proposé, (b) MPDFRFT-DRPE à base du pré-cryptage proposé, et (c) La technique de [11].

Toute image cryptée peut être corrompue par le bruit pendant la transmission ou le stockage. Pour vérifier la résistance au bruit additif d'une technique de cryptage d'image donnée, on ajoute à l'image de Lena cryptée un bruit gaussien blanc avec une moyenne nulle et un écart type égal à l'unité. Le décryptage de l'image de Lena bruitée résultante est représenté dans la

figure 3.16 pour différentes techniques en termes de PSNR entre les images originales et celles

décryptées. En examinant cette figure, nous constatons que les trois techniques ont des performances similaires dans le cas d'une attaque de bruit et que l'image originale peut être obtenue à partir de l'image bruitée décryptée par utilisation de certaines techniques de débruitage connues. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 50 100 150 200 250 0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 200 250

Page 72 3.5.3 Analyse de l’espace clé

La clé secrète du cryptage est constituée de {𝑧0,, 𝑎, 𝑏, 𝑅𝑃𝑀2, 𝑐, 𝑑} dans le cas du système

DFRFT-DRPE proposé et de {𝑧₀,, 𝑎ത, 𝑏ത, 𝑅𝑃𝑀₂, 𝑐ҧ, 𝑑ҧ}} dans le cas du système MPDFRFT-DRPE proposé. Les clés de décryptage correspondantes sont respectivement {𝑧₀′_,′_{, 𝑎}′_{, 𝑏}′_{, 𝑅𝑃𝑀}

2′, 𝑐′, 𝑑′}

et {𝑧₀′,′, 𝑎ത′, 𝑏ത′, 𝑅𝑃𝑀₂′, 𝑐ҧ′, 𝑑ҧ′},. Si {𝑧₀′ = 𝑧₀,′ =, 𝑎′= 𝑎, 𝑏′ = 𝑏, 𝑅𝑃𝑀₂′ = 𝑅𝑃𝑀₂, 𝑐′= 𝑐, 𝑑′ _{= 𝑑} ou {𝑧}

0′ = 𝑧0,′=, 𝑎ത′= 𝑎ത, 𝑏ത′= 𝑏ത, 𝑅𝑃𝑀2′ = 𝑅𝑃𝑀2, 𝑐ҧ′=

𝑐ҧ, 𝑑ҧ′ _{= 𝑑ҧ}, alors l'image décryptée correspondante est exactement l'image originale donnée par}

la figure. 3.8.

Figure 3.17: MSE en termes de l’erreur de deviation 𝜹 pour le systéme DFRFT-DRPE proposé.

Pour vérifier la sensibilité de la clé du système proposé, l'image cryptée est décryptée en introduisant de petites erreurs dans un ou dans certains paramètres qui constituent la clé secrète. Si la clé de décryptage est définie sur {𝑧₀′ _{= 𝑧}

0+ 10−16,′=, 𝑎′ = 𝑎, 𝑏′= 𝑏, 𝑅𝑃𝑀₂′ _{= 𝑅𝑃𝑀} 2, 𝑐′= 𝑐, 𝑑′= 𝑑}, {𝑧0′ = 𝑧0,′= + 10−16, 𝑎′= 𝑎, 𝑏′ = 𝑏, 𝑅𝑃𝑀2′ = 𝑅𝑃𝑀2 , 𝑐′ _{= 𝑐, 𝑑}′_{= 𝑑}, {𝑧} 0′ = 𝑧0+ 10−16,′= , 𝑎ത′= 𝑎ത, 𝑏ത′= 𝑏ത, 𝑅𝑃𝑀2′ = 𝑅𝑃𝑀2, 𝑐ҧ′= 𝑐ҧ, 𝑑ҧ′ _{= 𝑑ҧ} ou {𝑧} 0′ = 𝑧0,′= + 10−16, 𝑎ത′ = 𝑎ത, 𝑏ത′ = 𝑏ത, 𝑅𝑃𝑀2′ = 𝑅𝑃𝑀2, 𝑐ҧ′ = 𝑐ҧ, 𝑑ҧ′= 𝑑ҧ},

l'image décryptée correspondante reste totalement brouillée. Cela montre que le système proposé est très sensible à la clé de pré-cryptage {𝑧₀,}. Nous calculons maintenant l'erreur quadratique

-0.040 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 ? M e a n S q u a re E rr o r FrFT-DRPE FrFT-DRPE à base du pré-cryptage proposé FrFT-DRPE à base du pré-cryptage proposé avec dependence des clés

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moyenne (MSE) entre l'image d'entrée et celle décryptée par le système DFRFT-DRPE basé sur le pré-cryptage proposé en utilisant {𝑧₀′ = 𝑧₀,′= , 𝑎′ = 𝑎, 𝑏′ = 𝑏, 𝑅𝑃𝑀₂′ = 𝑅𝑃𝑀2, 𝑐′ = 𝑐 + 𝛿1, 𝑑′ = 𝑑 + 𝛿2} où les erreurs 𝛿1 et 𝛿2 sont indépendantes et uniformément

réparties sur l’intervalle {−𝛿, 𝛿}. Pour des valeurs différentes de 𝛿, le MSE obtenu par le système proposé est représenté sur la figure 3.17 et comparé avec le MSE correspondant obtenu en utilisant seulement le système DFRFT-DRPE considéré dans la Référence [8], pour lequel la clé de décryptage employée est :{𝑎′ _{= 𝑎, 𝑏}′ _{= 𝑏, 𝑅𝑃𝑀}

2′ = 𝑅𝑃𝑀2, 𝑐′= 𝑐 + 𝛿1, 𝑑′ = 𝑑 + 𝛿2}.

Figure 3.18: MSE en termes de l’erreur de deviation 𝜹 pour le systéme MPDFRFT-DRPE proposé.

Il est clair qu’à partir de cette figure, le système DFRFT-DRPE basé sur le pré-cryptage proposé améliore significativement la sensibilité de la clé du système DFRFT-DRPE. Afin d'améliorer encore la sensibilité de la clé du système DFRFT-DRPE basé sur le pré-cryptage proposé, nous introduisons une dépendance entre les clés de cryptage des premier et second blocs. Par exemple, nous remplaçons 𝑧₀ par 𝑧₀ + 0.1𝑎 + 0.1𝑐 dans les clés de cryptage et de décryptage. La courbe MSE résultante est représentée sur la figure 3.17, qui montre clairement l'importance de la dépendance introduite. Nous allons maintenant effectuer des simulations sur

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 ? M e a n S q u a re E rr o r MPDFrFT-DRPE Azoug et Bouguezel [11] MPDFrFT-DRPE à base du pré-cryptage Proposé MPDFrFT-DRPE à base du pré-cryptage Proposé avec dependence des clés

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le système MPDFRFT-DRPE basé sur le pré-cryptage proposé, similaires à ceux qui sont exécutés sur le système DFRFT-DRPE pré-cryptage proposé. Le MSE obtenu en utilisant {𝑧₀′ _{= 𝑧}

0,′=, 𝑎ത′ = 𝑎ത, 𝑏ത′= 𝑏ത, 𝑅𝑃𝑀2′ = 𝑅𝑃𝑀2, 𝑐ҧ′ = 𝑐ҧ + 𝛿ҧ1, 𝑑ҧ′= 𝑑ҧ + 𝛿ҧ2}, où les vecteurs

d'erreur 𝛿ҧ₁ et 𝛿ҧ₂ sont indépendants et leurs éléments sont également indépendants et uniformément répartis sur l'ensemble {-δ, δ}, est représenté sur la Figure 3.18 et comparé avec le MSE correspondant obtenu en utilisant seulement le système MPDFRFT-DRPE rapporté dans [8], pour lequel la clé de décryptage utilisée est :

{𝑎ത′ _{= 𝑎ത, 𝑏ത}′ _{= 𝑏ത, 𝑅𝑃𝑀}

2′ = 𝑅𝑃𝑀2, 𝑐ҧ′= 𝑐ҧ + 𝛿ҧ1, 𝑑ҧ′= 𝑑ҧ + 𝛿ҧ2}

. Il ressort de cette figure que le système proposé améliore significativement la sensibilité de la clé par rapport au système de la Référence [8]. Nous incluons également dans la figure3.18 le MSE obtenu dans la Référence [11] pour montrer que le pré-cryptage non linéaire récursif proposé conduit à une sensibilité de clé meilleure que celle atteinte par le pré-cryptage non linéaire introduit dans la même référence, qui s'est révélé être meilleur que ceux de tous les autres systèmes basés sur le DRPE. Pour améliorer davantage la sensibilité de la clé du système MPDFRFT-DRPE basé sur le pré-cryptage, nous introduisons une dépendance entre les clés de cryptage des premier et second blocs. Par exemple, nous remplaçons 𝑧₀ dans les clés de cryptage et de décryptage par 𝑧0+ 0.1𝑎ത(𝑁/2) + 0.1𝑐ҧ(𝑁/2) où les 𝑎ത(𝑁/2) et 𝑐ҧ(𝑁/2) sont les ième

éléments des vecteurs 𝑎ത et 𝑐ҧ, respectivement. La courbe MSE résultante est représentée sur la

figure 3.18, ce qui confirme clairement à nouveau l'importance de la dépendance introduite.

Les figures 3.17 et 3.18 comparent séparément la sensibilité de la clé des systèmes basés respectivement sur la DFRFT et la MPDFRFT, dans l'intervalle [-0,04, 0,04] de l'erreur de déviation δ. Ceci permet de montrer clairement les améliorations qui peuvent être réalisées par le système proposé aussi bien dans le domaine DFRFT que dans le domaine MPDFRFT. La comparaison entre les DPRE classiques employant ces deux domaines a déjà été effectuée dans [8] qui montre que ce dernier surpasse le premier en termes de sensibilité de la clé. Afin de comparer étroitement ces deux domaines dans le cas du système proposé, nous limitons sur la

figure 3.19 l'intervalle de l'erreur de déviation δ à [-0,01, 0,01], puis décrivons les courbes MSE

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Cette figure, nous permet de constater que le système à base MPDFRFT-DRPE peut atteindre un MSE supérieur à 9000 dans l’intervalleȁ𝛿ȁ ≥ 6 × 10−3_{, est meilleur par rapport au}

premier pour lequel l'intervalle correspondant est plus petit ȁ𝛿ȁ ≥ 8 × 10−3_{. Ceci est}

principalement dû au fait que le système MPDFRFT possède 4𝑁 paramètres indépendants, tandis que le système DFRFT n'en a que quatre.