Article 2: Absence of oxygen affects the capacity to sporulate and the spore properties of
3. Materials and methods
3.6. Resistance of B. cereus spores produced in controlled batch cultures
No segundo capítulo desta tese discutiu-se sobre funções de agregação com domínio em [0, 1]n e contradomínio em [0, 1]. No entanto, esses domínios podem ser substituídos por re-
ticulados, como pode ser encontrado em (DE BAETS; MESIAR, 1999; PALMEIRA et al., 2014;
As funções de agregação, por exemplo, são definidas da seguinte maneira:
Definição 3.12 ((DE BAETS; MESIAR, 1999)). Seja hL, ≤i um reticulado limitado. Uma fun-
ção de agregação é qualquer função monotonica A : Ln → L com A(⊥, · · · , ⊥) = ⊥ e
A(>, · · · , >) = >.
Exemplo 3.27. Se hL, ≤i é um reticulado limitado, então são funções de agregação:
1. πi(x1, · · · , xn) = xi;
2. W(x1, · · · , xn) = x1∨ x2∨ · · · ∨ xn;
3. V(x1, · · · , xn) = x1∧ x2∧ · · · ∧ xn.
Os conceitos de t-norma e t-conorma também podem ser estendidos para qualquer reticu- lado limitado (DE BAETS; MESIAR, 1999).
Definição 3.13 ((DE BAETS; MESIAR, 1999)). Seja hL, ≤i um reticulado limitado. Uma função T : L × L → L tal que:
(i) T (x, >) = x, para qualquer x ∈ L;
(ii) T (x, y) = T (y, x), para x, y ∈ L;
(iii) T (x, T (y, z)) = T (T (z, y), z), sempre que x, y, z ∈ L;
(iv) T (x, y) ≤ T (x, z), quando y ≤ z.
é chamada det-norma.
Definição 3.14 ((DE BAETS; MESIAR, 1999)). Seja hL, ≤i um reticulado limitado. Uma função S : L × L → L tal que:
(i) S(x, ⊥) = x, para qualquer x ∈ L;
(ii) S(x, y) = S(y, x), para x, y ∈ L;
(iv) S(x, y) ≤ S(x, z), quando y ≤ z.
é chamada det-conorma.
Observação 3.3. Neste trabalho, serão utilizadas as seguintes notações:
• O símbolo ⊗ será utilizado para denotar uma t-norma e x ⊗ y será usado ao invés de ⊗(x, y);
• O símbolo ⊕ será utilizado para denotar uma t-conorma e x ⊕ y será usado ao invés de ⊕(x, y).
Um estudo bem detalhado sobre as t-normas e t-conormas de reticulados limitados pode
ser encontrado em (DE BAETS; MESIAR, 1999). Além disso, todas as propriedades que foram
listadas no Capítulo 2, para funções de agregação em [0, 1]n, podem ser estendidas para funções cujos domínios são reticulados, junto com toda uma análise. Aqui, é importante destacar que as t-normas e as t-conormas satisfazem a seguinte Proposição:
Proposição 3.8 ((DE BAETS; MESIAR, 1999)). Sejam ⊗, ⊕ : L × L → L uma t-norma e uma
t-conorma, respectivamente, definidas num reticulado limitadoL. Então, para todos a, b, c ∈ L são válidos:
(i) a ⊗ b ≤La ⊗ >L = a onde a = a ⊕ ⊥L ≤La ⊕ b;
(ii) a ⊗ b ≤La ∧ b e a ∨ b ≤L a ⊕ b;
(iii) a ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c e a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c;
(iv) a ⊗ ⊥L= ⊥L = ⊥L⊗ a.
Além da Proposição 3.5, é importante notar que tanto t-normas quanto t-conormas podem ser estendidas a operadores n-ários, via associatividade, da seguinte maneira:
n
M
i=1
e n O i=1 xi = ((((x1⊗ x2) ⊗ x3) ⊗ · · ·) ⊗ xn−1) ⊗ xn.
3.4
Funções
LM OWA
Uma noção generalizada das funções OWA, foi introduzida por (LIZASOAIN; MORENO,
2013), substitu- indo-se o intervalo [0, 1] das OWA de Yager por um reticulado limitado. As-
sim como as OWAs de Yager, as funções definidas em (LIZASOAIN; MORENO, 2013) também
necessitam de vetores de peso.
Definição 3.15 ((LIZASOAIN; MORENO, 2013)). Seja hL,L, ⊗i um reticulado limitado equi-
pado com uma t-norma ⊗ : L2 → L e uma t-conorma estendida ⊕ : Ln → L. Então,
(w1, · · · , wn) ∈ Lné umvetor de pesos em hL,L, ⊗i, se n
M
i=1
wi = >L.
Se além disso, tem-se que
a ⊗ n M i=1 wi ! = n M i=1 (a ⊗ wi), para qualquer a ∈ Ln,
então chama-se(w1, · · · , wn) ∈ Lndevetor de pesos distributivo em hL,L, ⊗i.
Exemplo 3.28. Se L é um reticulado limitado, x⊕y = x∨y e x⊗y = x∧y, então (w1, · · · , wn)
é um:
(1) Um vetor de pesos se, e somente se,w1∨ · · · ∨ wn= >L;
(2) Um vetor de pesos distributivo se, e somente se, satisfaz (1) e
a ∧ (w1∨ · · · ∨ wn) = (a ∧ w1) ∨ · · · ∨ (a ∧ wn), para todo a ∈ L.
O cálculo do valor de saída de uma função OWA de Yager somente pode ser realizado a partir do ordenamento do vetor n-dimensional de entradas. Infelizmente, esse processo nem sempre será possível em um reticulados limitado, a menos que este seja uma cadeia. Por essa
razão, (LIZASOAIN; MORENO, 2013) definiram uma forma auxiliar de realizar essa ordenação, a partir do seguinte Lema:
Lema 3.1 ((LIZASOAIN; MORENO, 2013)). Seja L um reticulado limitado. Para qualquer
(a1, · · · , an) ∈ Ln, considere os seguintes valores:
• b1 = a1∨ . . . ∨ an • b2 = [(a1∧ a2) ∨ . . . ∨ (a1∧ an)] ∨ [(a2 ∧ a3) ∨ . . . ∨ (a2∧ an)] ∨ . . . ∨ [an−1∧ an] • b3 =W{a1∧ a2∧ a3, a1 ∧ a2∧ a4, a1∧ a2∧ an, . . . , an−2∧ an−1∧ an} • ... • bk = W (j1,...,jk)⊆{1,···,n} aj1 ∧ . . . ∧ ajk • ... • bn= a1∧ . . . ∧ an.
Então,a1∧· · ·∧an = bn≤ bn−1≤ · · · ≤ b1 = a1∨· · ·∨am. Sea1, · · · , ansão comparáveis en-
tre si, existe uma permutaçãoσ, do conjunto {1, · · · , n}, tal que (b1, · · · , bn) = (a(1), · · · , a(n)).
A demonstração desse resultado pode ser encontrada em (LIZASOAIN; MORENO, 2013).
Ademais, com o intuito de simplificar notações utiliza-se:
Definição 3.16. Se L é um reticulado completo, então a funçãoLM : Ln → Lndefinida por:
LM (a1, a2, · · · , an) = (b1, b2, · · · , bn),
onde(b1, b2, · · · , bn) é o vetor obtido de acordo com o Lema 3.1, é chamada função de Lizassoain-
Moreno.
Exemplo 3.29. Se L é um reticulado completo e a1, a2, a3, a4 ∈ L, então:
b1 = a1∨ a2∨ a3∨ a4
b2 =
_
b3 =
_
{a1∧ a2∧ a3, a1∧ a2 ∧ a4, a1∧ a3∧ a4, a2∧ a3∧ a4}
b4 = a1∧ a2∧ a3∧ a4
A função de Lizassoain-Moreno satisfaz as seguintes propriedades:
Proposição 3.9 (Propriedades da função de Lizassoain-Moreno). Sejam L um reticulado
completo eLM : Ln → Lna função de Lizassoain-Moreno. Então,
(i) Se(x1, · · · , xn) ∈ Lné tal que todo par de coordenadasxiexj, comi 6= j, é comparável,
então LM (x1, · · · , xn) = (xσ(1), · · · , xσ(n)) para alguma permutação σ no conjunto
{1, 2, · · · , n}.
(ii) Se L é uma cadeia, então para todo (x1, · · · , xn) ∈ Ln existe uma permutação σ no
conjunto{1, 2, · · · , n} tal queLM (x1, · · · , xn) = (xσ(1), · · · , xσ(n)).
(iii) Sex1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn, entãoLM (x1, · · · , xn) = (x1, · · · , xn).
(iv) LM ◦ LM = LM
(v) Para toda permutaçãoσ no conjunto {1, · · · , n} e para todo (x1, · · · , xn) ∈ Ln, tem-se
queLM (xσ(1), · · · , xσ(n)) = LM (x1, · · · , xn).
(vi) Se (x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn) ∈ Ln são tais que xi ≤L yi, para i ∈ {1, · · · , n},
LM (x1, · · · , xn) = (b1, · · · , bn) eLM (y1, · · · , yn) = (b1, · · · , bn), então bi ≤L bipara
todoi ∈ {1, · · · , n}.
Demonstração.
(i) Segue do Lema 1.
(ii) Como L é uma cadeia, então todo (x1, · · · , xn) satisfaz a hipótese (i). Logo, para cada
(x1, · · · , xn) existe uma permutação σ tal queLM (x1, · · · , xn) = (xσ(1), · · · , xσ(n)).
(iv) ComoLM (x1, · · · , xn) = (b1, · · · , bn), onde b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn então, por (iii) segue
que
LM (LM (x1, · · · , xn)) =LM (b1, · · · , bn) = (b1, · · · , bn) = LM (x1, · · · , xn),
para todo (x1, · · · , xn) ∈ Ln.
(v) Sejam LM (x1, · · · , xn) = (b1, · · · , bn) e LM (aσ(1), · · · , aσ(n)) = (c1, · · · , cn). Por
definição, tem-se que:
ck = _ {xσ(j1)∧ · · · ∧ xσ(jk) : {j1, · · · , jk} ⊆ {1, · · · , n}} = _{xj1 ∧ · · · ∧ xjk : {j1, · · · , jk} ⊆ {1, · · · , n}} = bk Portanto,LM (xσ(1), · · · , xσ(n)) =LM (x1, · · · , xn).
(vi) Basta ver que
bi = _ {xj1 ∧ · · · ∧ xjk : {j1, · · · , jk} ⊆ {1, · · · , n}} ≤L _ {yj1 ∧ · · · ∧ yjk : {j1, · · · , jk} ⊆ {1, · · · , n}} = bi
Após definir a função de Lizassoain-Moreno e provar algumas de suas propriedades, apresenta-
se a versão generalizada de OWA para reticulado completo, concebida em (LINGLING et al.,
2012).
Definição 3.17 ((DE BAETS; MESIAR, 1999)). Seja w=(we 1. . . , wn) ∈ Ln um vetor de pesos
distributivo no reticulado completohL,L, ⊗i. A função OWA de Lizasoain-Moreno associada
aw e a tripla hL,e L, ⊗i é definida por
L M OWAwe(ea) = n M i=1 (wi⊗ bi), onde(b1, · · · , bn) =LM (a1, · · · , an).
Exemplo 3.30. Sejam X = {a, b, c, d} e ≤0, conforme Exemplo 3.14,⊕ = ∨ e ⊗ = ∧. Então,
e
w = (a, b, c) é um vetor distributivo de pesos, pois a ∨ b ∨ c = d e:
• L M (a, b, a) = (b, a, a) e L M OWAwe(a, b, a) = (a ∧ b) ∨ (b ∧ a) ∨ (c ∧ a) = a • L M (a, b, b) = (b, b, a) e L M OWAwe(a, b, b) = (a ∧ b) ∨ (b ∧ b) ∨ (c ∧ a) = b • L M (a, b, c) = (d, a, a) e L M OWAwe(a, b, c) = (a ∧ d) ∨ (b ∧ a) ∨ (c ∧ a) = a • L M (b, c, c) = (d, c, a) e L M OWAwe(a, b, c) = (a ∧ d) ∨ (b ∧ c) ∨ (c ∧ a) = a
Outros exemplos e propriedades das funçõesL M OWA podem ser encontradas em (LIZA-
SOAIN; MORENO, 2013). O importante aqui é observar que as funções OWA de Yager são casos
particulares deL M OWAs.
Teorema 3.5. Toda funçãoOWA no sentido de Yager é umaL M OWA.
Demonstração. Considere L = [0, 1], ⊗ = Tp, ⊕ = SLK e w = (we 1, · · · , wn) ∈ [0, 1]
n um
vetor de pesos, i.e.,
n
P
i=1
wi = 1. Como, SLK(w1, · · · , wn) = min(w1+ · · · + wn, 1) = 1 e c =
TP(c, SLK(w1, · · · , wn)) = SLK(TP(c, wi)), para todo c ∈ [0, 1], tem-se que
e
w = (w1, · · · , wn) ∈ [0, 1]né um vetor distributivo de pesos.
Para provar que L M OWA coincide com a função OWA de Yager, deve-se notar que, de
acordo com o item (i) da Proposição 5.2, para cada (x1, · · · , xn) ∈ [0, 1]nexiste uma permutação
σ de {1, 2, · · · , n} tal que (b1, · · · , bn) = (x(1), · · · , x(n)). Assim,
ou seja, (b1, · · · , bn) = (x(1), · · · , x(n)). Portanto, verifica-se, para todos (x1, · · · , xn) ∈ [0, 1]n, que: LM OWAwe(x1, · · · , xn) = n M i=1 (wi⊗ bi) = SLK(w1⊗ b1, . . . , wn⊗ bn) = min( n X i=1 (wi· xσ(i)), 1) = n X i=1 (wi· xσ(i)) = OWAwe(x1, · · · , xn)
As funções OWA de Yager satisfazem as propriedades da idempotência e simetria. Além disso, para qualquer vetor de pesosw ∈ [0, 1]e ne para todo (x1, · · · , xn) ∈ [0, 1]ntem-se
min(x1, · · · , xn) ≤OWAwe(x1, · · · , xn) ≤ max(x1, · · · , xn)
De forma análoga, as funçõesL M OWA também são idempotentes e simétricas e, satisfa-
zem a propriedade:
a1∧ · · · ∧ an≤LM OWAwe(a1, · · · , an) ≤ a1∨ · · · ∨ an
No Capítulo 5, serão apresentadas outras funções também definidas sob a perspectiva de reticulados.
3.5
Considerações Finais
Neste capítulo discutiu-se sobre ordens parciais, reticulados e funções (agregações, t-normas,
t-conormas eLM OWAs) com domínios em reticulados limitados, assuntos que serão neces-
sários para o entendimento da discussão que será apresentada no Capítulo 5.
serão apresentadas as seguintes discussões:
1. Introduz-se as funções mistura generalizada de (PEREIRA; PASI, 1999) e verifica-se algu- mas especifidades que estas funções alcançam;
2. Propõe-se a ampliação de função mistura generalizada para função mistura generalizada limitada, provando-se uma diversidade de peculiaridades e exemplos;
3. Estabelece-se as funções OWAs dinâmicas (Dynamic Ordered Weighted), ampliando a
noção deLM OWA;
4. Amplia-se a compreensão das OWAs dinâmicas com o auxílio de ordens admissíveis, define-se as funções mistura generalizada cujos domínios são reticulados limitados e demonstra-se diversas características dessas novas funções.