Repr´ esentation graphique des caract´ eristiques r´ esultantes

A la vue de ce r´esultat, une repr´esentation graphique bien choisie permet de rendre compte facilement de la d´ependance du d´ephaseur r´esultant vis `a vis des caract´eristiques individuelles des deux d´ephaseurs. Pour cela, un d´ephaseur faible

Fig. 3.7 – Repr´esentation graphique d’un d´ephaseur par un vecteur en coor-donn´ees polaires. Le d´ephaseur r´esultant de l’association des deux d´ephaseurs repr´ e-sent´es par les vecteurs →

M_e (φe; 2θ_e) et M^→_s (φs; 2θ_s) est alors repr´esent´e par le vecteur somme vectorielle →

M (φM; 2θ_M).

est repr´esent´e par un vecteur de dimension deux exprim´e dans le syst`eme de co-ordonn´ees polaires. Sa norme correspond au d´ephasage et l’angle polaire `a deux fois l’angle de l’axe lent dans le r´ef´erentiel du laboratoire4. Le vecteur-d´ephaseur r´esultant de l’association de deux autres vecteurs-d´ephaseurs se d´efinit alors simple-ment comme la somme vectorielle (figure 3.7). On retrouve facilesimple-ment l’expression de l’amplitude du d´ephasage r´esultant, relation (3.30), par la d´efinition du produit scalaire et l’expression de l’orientation de l’axe lent, relation (3.31), par la d´efinition de la tangente.

En s’appuyant sur cette repr´esentation graphique, nous pouvons suivre facile-ment l’´evolution des ´etats propres de la cavit´e et de l’amplitude du d´ephasage en

4_{Le facteur deux vient du fait que l’axe lent d’un d´ephaseur est d´efini modulo}[π] alors que dans la repr´esentation graphique le vecteur-d´ephaseur peut ˆetre d´efini par un angle modulo[2 π].

Fig. 3.8 – Evolution de l’amplitude du d´ephasage et de l’orientation du d´ e-phaseur r´esultant en fonction de la rotation du miroir de sortie sur l’intervalle [−π

2 ; ^π₂] pour deux amplitudes de d´ephasage des miroirs. La figure pr´esente, de haut en bas, le d´ephasage r´esultant d’apr`es l’expression (3.29), l’orientation r´esultante d’apr`es l’expression (3.32) et la repr´esentation vectorielle des d´ephaseurs. Les points (A), (B) et (C) correspondent `a trois positions particuli`eres du miroir de sortie.

fonction de l’orientation relative des deux miroirs. L’action d’un d´ephaseur se re-trouvant identique apr`es une rotation d’un demi-tour de ses axes propres, l’´etude du d´ephaseur r´esultant est effectu´ee en fonction de la rotation de l’un des miroirs sur l’intervalle[−π

2 ; ^π₂ ]. Elle est illustr´ee sur la figure 3.8 pour deux cas distincts de d´e-phasages φ_e et φ_so`u le miroir mobile est le miroir de sortie. Sur la partie gauche de la figure, les amplitudes des d´ephasages sont strictement ´egales (φ_e= φs= 10−5_rad).

Sur la partie de droite, le d´ephasage du miroir d’entr´ee est d’un ordre de grandeur sup´erieur `a celui du miroir de sortie (φ_e >> φs = 10−6 _{rad). De haut en bas, les}

deux premiers graphiques donnent l’´evolution, `a l’aide des expressions analytiques (3.30) et (3.32), du d´ephasage r´esultant ainsi que celle de l’orientation r´esultante. A travers l’analyse de la norme et de l’orientation du vecteur-d´ephaseur, le troisi`eme graphique reprend les mˆemes informations au moyen de la repr´esentation graphique. A chaque angle de rotation les trois vecteurs-d´ephaseurs (miroir fixe, miroir mobile et d´ephaseur r´esultant) sont repr´esent´es. Le vecteur mobile tournant `a une vitesse deux fois plus grande que l’axe lent de son d´ephaseur associ´e, il d´ecrit donc un cercle sur l’intervalle [−π

2 ; ^π₂ ]. Il est imm´ediat avec la d´efinition de la somme vec-torielle que le d´ephasage r´esultant est maximum lorsque les vecteurs-d´ephaseurs sont colin´eaires dans le mˆeme sens et minimum dans le sens oppos´e. Du point de vue de l’orientation relative des d´ephaseurs, le d´ephasage r´esultant est alors maxi-mum lorsque ceux-ci sont align´es et minimum lorsqu’ils sont crois´es. Entre ces deux valeurs extrˆemes, le d´ephasage peut donc ˆetre contrˆol´e via l’orientation d’un des miroirs. L’amplitude d’ajustement est d’autant plus importante que la diff´erence entre les normes des vecteurs est faible et la gamme accessible est maximale lorsque les d´ephasages de chacun des miroirs sont rigoureusement identiques. Dans ce cas, le d´ephasage passe d’un maximum ´egal `a deux fois le d´ephasage d’un des miroirs `a

est elle aussi modifi´ee lors de la rotation d’un des miroirs. Lorsque les d´ephasages sont strictement ´egaux, l’effet de la rotation de l’un ou l’autre des miroirs est identique et θ_M varie d’un angle moiti´e de la rotation du miroir mobile. A l’inverse, dans le cas o`u l’un des d´ephasages induit par un des miroirs est bien sup´erieur `a l’autre, avec le mˆeme raisonnement sur la somme vectorielle donn´e pr´ec´edemment, on comprend que l’angle r´esultant suit principalement l’angle du vecteur dominant. Sur la figure 3.8, c’est le miroir de faible d´ephasage qui tourne, ainsi l’orientation θ_M de la polarisation lin´eaire de l’´etat propre de la cavit´e varie tr`es peu autour de la position fix´ee par θ_e= 0˚.

Nous retiendrons que les deux miroirs de haute r´eflectivit´e repr´esent´es par des d´ephaseurs faibles rencontr´es par l’onde lumineuse sur un aller-retour, peuvent ˆetre vus comme un unique d´ephaseur faible dont les caract´eristiques sont contrˆol´ees par l’orientation relative et absolue des deux miroirs. Celles-ci se d´eduisent intuitive-ment avec la repr´esentation graphique d’un d´ephaseur comme un vecteur dont les coordonn´ees polaires sont respectivement le d´ephasage et deux fois l’orientation de l’axe lent. Cette repr´esentation s’´etend `a l’association de plusieurs d´ephaseurs faibles dans la limite o`u le d´ephaseur r´esultant est un d´ephaseur faible. Cela sera mis `a profit pour int´egrer facilement l’effet de la bir´efringence du gaz.

Ce r´esultat a permis de caract´eriser la bir´efringence intracavit´e dans le cas o`u seule la bir´efringence des miroirs est prise en compte et de donner une expression explicite aux coefficients [mij] de la matrice aller-retour.