Repr´esentation de la couche limite atmosph´erique

III.2.2.1 Importance des param´etrisations physiques pour le calcul de perturbations optimales

Au noyau dynamique s’ajoutent des param´etrisations destin´ees `a repr´esenter les ph´enom`enes absents des ´equations pr´ec´edentes (m´ecanisme de pr´ecipitation, flux

`a la surface de l’oc´ean...) ou non-r´esolus par le mod`ele car associ´es `a des ´echelles plus petites que la r´esolution du mod`ele (turbulence, convection...) mais dont l’effet sur les ´echelles plus grandes doit ˆetre pris en compte. Sans ces param´etrisations les versions lin´eaire-tangente et adjointe du mod`ele peuvent produire des r´esultats non r´ealistes physiquement bien que les sorties du mod`ele non-lin´eaire le soient.

N´eanmoins, ces param´etrisations sont souvent caract´eris´ees par un degr´e de non- lin´earit´e et de complexit´e importante (pr´esence de discontinuit´es, transition r´egime stable/instable, convection en cas de stabilit´e verticale faible) qui limitent la plage de validit´e du r´egime lin´eaire. Cel`a impose un travail de programmation important et augmente le temps de calcul dans les routines adjointes (l’adjoint est ex´ecut´e `a l’envers dans le temps, toutes les variables non-lin´eaires doivent ˆetre soit stock´ees soit recalcul´ees).

Une des pr´eoccupations importantes des grands centres de pr´evision (Mahfouf et al., 1996; Mahfouf, 1999) lors des quinze derni`eres ann´ees a ´et´e de trouver un compromis entre la n´ecessit´e d’inclure des param´etrisations physiques pour am´eliorer la qualit´e de l’assimilation des observations et de la pr´evision d’ensemble tout en limitant le coˆut num´erique des calculs d’optimisation associ´es.

Le mod`ele PUMA pr´esente un degr´e de complexit´e proche de celui du mod`ele du centre europ´een dans les ann´ees 80. Les exp´eriences pionni`eres r´ealis´ees `a cette ´epoque, document´ees par de nombreux papiers et notes techniques, ont constitu´e la base de nombreux travaux de d´eveloppement en mati`ere de vecteurs singuliers dont les travaux de cette th`ese.

Buizza et al. (1993) ont ´et´e les premiers `a obtenir des vecteurs singuliers dans un mod`ele aux ´equations primitives. Buizza (1994) souligne la n´ecessit´e d’une repr´esen- tation (mˆeme simplifi´ee) de la couche limite plan´etaire tenant compte au minimum de la friction au sol et du transport turbulent dans l’´equation de quantit´e de mouve- ment. Le cas ´ech´eant, les vecteurs singuliers poss´edent une signature anormalement forte dans les basses couches dont l’amplification disparait dans le mod`ele non- lin´eaire. Avec le mod`ele PUMA2, j’ai rencontr´e le mˆeme probl`eme, c’est pourquoi j’ai inclus un sch´ema de couche limite dans les mod`eles lin´eaire-tangent et adjoint. L’objectif ´etant de construire un outil capable d’obtenir des vecteurs singuliers phy- siquement r´ealistes, nous n’avons pas cherch´e `a ´etudier l’impact pr´ecis des diff´erentes param´etrisations ni `a v´erifier les r´esultats de Buizza (1994).

III.2.2.2 Param´erisation non-lin´eaire originelle

Nous d´ecrivons ici les param´etrisations de diffusion verticale et de friction de surface qui ´etaient appliqu´ees aux champs de vitesse dans la version non-lin´eaire de PUMA2.

La surface de la Terre impose la pr´esence d’une couche limite dissipant la quantit´e de mouvement de l’´ecoulement par turbulence dans la couche limite. La turbulence atmosph´erique favorise aussi le m´elange au sein de l’´ecoulement et donc une homo- g´en´eisation des diff´erents champs (et tout particuli`erement au niveau de la couche limite `a cause de l’effet du sol). Les ´echelles caract´eristiques de ces tourbillons sont trop faibles pour ˆetre r´esolues par le mod`ele aux r´esolutions courantes. N´eanmoins

80 III.2 Description du mod`ele

leur action sur le m´elange vertical peut ˆetre mod´elis´ee en introduisant une ´equation de diffusion verticale turbulente. L’introduction d’un sch´ema de friction au sol qui ´elimine la quantit´e de mouvement au sol et d’un sch´ema de diffusion verticale homo- g´en´eisant tous les champs dans les basses couches permet une mod´elisation simple de la couche limite atmosph´erique. L’´equation de diffusion verticale d’une grandeur X (vent, temp´erature, humidit´e) s’´ecrit :

∂tX = 1 ρ ∂ ∂z  ρKx(X) ∂X ∂z  (III.6)

Le coefficient de diffusion verticale turbulente Kx est d´efini en fonction du nombre

de Richardson et des param`etres du mod`ele :

Kx = lX2(z)     ∂v ∂z     fx(Ri)

o`u fx est une fonction du nombre de Richardson et lX une ´echelle caract´eristique

de diffusion qui d´epend de l’altitude. Dans une couche limite la turbulence ne peut exister que si la production d’´energie cin´etique est suffisamment importante pour dominer l’effet stabilisant de la stratification verticale stable. Cette condition est mesur´ee par le nombre de Richardson :

Ri = g γT ∂(γET ) ∂z     ∂v ∂z     −2 avec γ = (ps p) Rd cp _{et γ} E = (1 − (R_Rd_v − 1)q)(p_ps) Rd

cp _{La couche limite est stable pour}

Ri > 0 et instable pour Ri < 0. A chacun de ces r´egimes correspond une expression diff´erente de la fonction fx(Ri).

L’action de la friction au sol est mod´elis´ee de fa¸con similaire via un flux de quantit´e de mouvement ´evalu´e entre le sol et la plus basse couche du mod`ele Fu =

ρ κ ln(z/z0)

2

fs(_zz₀, Risol)|v|u associ´e `a la tendance :

∂tu = −

1

ρ∆zFu (III.7)

o`u κ est la constante de von Karman, z0 la longueur de rugosit´e du sol et Risol le

nombre de Richardson au sol d´efini par :

Risol=

g∆z(γET − γETS)

γT |v|2

L’expression de la fonction fs d´epend du signe du Richardson de fa¸con similaire

au sch´ema de diffusion verticale. Ces sch´emas augmentent de fa¸con importante le degr´e de non-lin´earit´e du mod`ele pour deux raisons. La premi`ere est l’expression des coefficients de diffusion qui sont des fonctions complexes du nombre de Richardson et des diff´erents champs du mod`ele. La deuxi`eme est l’existence de structures condi- tionnelles li´ees au signe du nombre de Richardson qui rendent la formulation des ´equations non-diff´erentiable.

Si la stabilit´e des sch´emas non-lin´eaires de diffusion verticale a ´et´e ´etudi´ee en d´e- tail (Girard and Delage (1990), Davies (1983)...), la d´ependance des coefficients de diffusivit´e vis-`a-vis du nombre de Richardson introduit des instabilit´es num´eriques dans le mod`ele lin´eaire-tangent (Mahfouf, 1999). Diff´erentes solutions ont ´et´e em- ploy´ees : Mahfouf (1999) n´eglige dans le mod`ele lin´eaire-tangent les variations δKx

de ses coefficients, Janiskova et al. (1999) utilisent des approximations liss´ees de ces coefficients afin de diminuer l’amplitude des d´eriv´ees dans le mod`ele lin´eaire-tangent et Laroche et al. (2002) introduisent une r´egularisation plus compl`ete en fonction d’un crit`ere de stabilit´e du sch´ema num´erique complet. La figure III.1 montre les er- reurs associ´ees aux diff´erentes m´ethodes de lin´earisation pour diff´erentes amplitudes initiales δ de perturbation. Si pour des perturbations de temp´erature de faible am- plitude (δ = 0.001K), la lin´earisation exacte du sch´ema de diffusion verticale s’av`ere plus pr´ecise que les variantes de lin´earisation, pour des perturbations d’amplitude plus importantes (δ = 1K) de l’ordre de l’erreur d’analyse, la lin´earisation exacte des ´equations peut induire des erreurs plus ou moins importantes selon la valeur du pas de temps utilis´e. Le choix de n´egliger la variation des coefficients de diffusion verticale avec le Richardson (δKx=0) peut s’av´erer plus pr´ecis. Pour δ = 1K, les

m´ethodes de Janiskova et al. (1999) et de Laroche et al. (2002) donnent des r´esul- tats plus satisfaisants. Je me suis bas´e sur ces consid´erations avant d’effectuer une ´eventuelle lin´earisation et adjointisation de la routine non-lin´eaire, travail d’autant plus compliqu´e au niveau de l’adjoint qu’avec les non-lin´earit´es augmente le nombre de variables de trajectoires `a stocker ou `a recalculer en partant de l’instant final.

III.2.2.3 Param´etrisations incluses dans les mod`eles adjoint et lin´eaire- tangent

La m´ethode des vecteurs singuliers lin´eaires permet l’utilisation de mod`eles lin´eaire- tangent et adjoint ne correspondant pas `a une lin´earisation exacte mais approch´ee du mod`ele non-lin´eaire (voir par exemple les travaux de Buizza (1994)). L’unique contrainte pratique est celle d’utiliser un mod`ele adjoint qui soit l’adjoint exact du mod`ele lin´eaire-tangent. En n´egligeant la variation des coefficients de diffusion ver- ticale dans les mod`eles lin´eaire-tangent et adjoint, Mahfouf (1999) et Zadra et al. (2004) obtiennent des structures optimales physiquement r´ealistes (rappelons que l’objectif principal de l’incorporation d’un sch´ema de diffusion verticale dans les mo- d`eles lin´eaire-tangent et adjoint ´etait d’´eviter la pr´esence de structures non-r´ealistes). Par contre, la m´ethode des vecteurs singuliers non-lin´eaires requiert un gradient exact et il est alors n´ecessaire que l’adjoint contienne exactement la mˆeme physique que le mod`ele non-lin´eaire. La courbe bleue figure III.2 repr´esente le test du gradient de la fonction de coˆut ´evalu´ee d’apr`es l’expression (II.3) pour le probl`eme des vec- teurs singuliers non-lin´eaires et o`u l’on a n´eglig´e la variation δK des coefficients de diffusion verticale dans le mod`ele lin´eaire-tangent : l’impact num´erique d’une lin´ea- risation approch´ee de la physique non-lin´eaire limite de fa¸con importante la plage de validit´e du gradient de la fonction de coˆut. L’´ecriture exacte de la version lin´eaire du sch´ema de diffusion verticale complet aurait demand´ee un investissement en temps important sans forc´ement aboutir `a une am´elioration du probl`eme comme le sugg`ere

82 III.2 Description du mod`ele

Fig. _{III.1 – Comparaison pour diff´erents pas de temps ∆t et amplitudes initiales} des perturbations δ aux diff´erentes variantes de mod`eles lin´eaire-tangent de diffusion verticale (d’apr`es Laroche et al. (2002)) a) Dt=1800s and δ=1˚K , (b) Dt =60s and δ=1˚K, and (c) Dt=60s and δ=0.001˚K. En traits continus est repr´esent´ee la lin´e- risation compl`ete du sch´ema, en triplet de pointill´es la lin´earisation correspondant `a δK = 0, en points serr´es la r´egularisation de Laroche et al. (2002) et en points espac´es celle de Janiskova et al. (1999)

vait donc ˆetre r´egularis´e avant qu’une version lin´eaire-tangente exacte en soit ´ecrite. L’alternative la plus simple essay´ee s’est av´er´ee satisfaisante : nous avons choisi un coefficient de diffusion vertical constant (´egal `a 5m2_.s−1_{) auquel nous avons associ´e}

le sch´ema de friction de surface (III.7) o`u la d´ependance en fonction du Richardson a ´et´e n´eglig´ee.