2.2 Somme chromatique et force d’un graphe
2.2.6 Repr´esentation de l’espace des solutions par Motifs
Que ce soit pour une mod´elisation en SAT, ou pour le d´eveloppement d’un algorithme de type branch-and-bound, la r´esolution optimale de la somme chromatique d’un graphe, n´ecessite l’utilisation d’un nombre de couleurs `a consid´erer pour d´efinir l’espace des solutions `a explorer. Dans l’id´eale nous pourrions utiliser la force s(G) du graphe, mais d´eterminer cette valeur est un probl`eme NP-difficile. Il est donc primordial de d´eterminer une borne sup´erieure de s(G) de bonne qualit´e. Or, seules quelques bornes relatives au degr´e g´en´eral du graphe ´etaient connues au d´ebut de nos travaux.
Grˆace `a notre exp´erience de la d´ecomposition arborescente de graphe, et `a la mod´elisation des solutions partielles sous forme de partitions des sommets du graphe, nous avons propos´e une toute nouvelle vision du probl`eme MSCP. En e↵et, ce qui importe avant tout pour le probl`eme de la somme coloration est la cardinalit´e des classes couleurs repr´esent´ees par les blocs des partitions. Or, ces cardinalit´es sont des entiers. Une partition est donc repr´esentable par une s´equence d’entiers.
Nous avons donc d´efini la notion de motifs, qui sont des s´equences ordonn´ees d’entiers, permettant de symboliser l’espace des solutions de mani`ere agr´eg´ee. La relation d’ordre d´efinie sur l’ensemble de ces motifs nous a permis de mettre en avant une nouvelle borne inf´erieure de la somme chromatique ⌃(G) et deux nouvelles bornes sup´erieures de la force s(G). Cette derni`ere a surpass´e les r´esultats de la litt´erature.
D´efinitions des motifs
Lors de la recherche d’une solution optimale pour MSCP, seule la consid´eration des colorations majeures est n´ecessaire comme nous l’avions pr´ecis´e dans la section 2.2.2. Une coloration majeure ´etant une coloration dont les classes couleurs sont ordonn´ees par ordre d´ecroissant de leur cardi-nalit´e, on associe `a chacune de ces colorations une s´equence d’entiers eux mˆemes d´ecroissants. Une telle s´equence est appel´ee motif et se d´efinit formellement comme suit :
D´efinition 26 (Motif ) Soit G = (V, E) un graphe et X ={X1, X2, . . . , Xk} une coloration ma-jeure valide de G. Un motif est une s´equence d´ecroissante d’entiers, not´ee p ={p[1], p[2], . . . , p[k]}, o`u chacun de ces entiers est ´egal `a la cardinalit´e de la classe couleur associ´ee : p[i] =| Xi | et 8i 2 [1 . . . k], p[i] 6= 0. La cardinalit´e du motif p correspond au nombre de couleurs utilis´ees par X : | p |= k.
La somme coloration associ´ee au motif p est calcul´ee suivant l’´equation 2.3. X
(p) = 1⇥ p[1] + 2 ⇥ p[2] + . . . + k ⇥ p[k] (2.3) L’exemple de la figure 2.12 montre comment trois colorations di↵´erentes d’un mˆeme graphe, se ram`enent `a un mˆeme motif (2,1,1), dont la somme coloration associ´ee est la somme coloration de la coloration majeure des trois colorations et vaut 1⇥ 2 + 2 ⇥ 1 + 3 ⇥ 1 = 7. Dans cet exemple, si ”coloration no2” est sym´etique `a ”coloration no3”, tel n’est pas le cas pour ”coloration no1”. Ce simple exemple montre `a quel point la repr´esentation sous forme de motifs agr`ege l’espace des solutions.
Figure 2.12 – Repr´esentation d’un ensemble de colorations par un mˆeme motif
Pour un nombre de sommets n et un nombre de couleurs k donn´es, il est possible de g´en´erer l’ensemble des motifs de cardinalit´e k que l’on note (n, k). L’ensemble (n) =Si=k
i=1 (n, i) est l’ensemble de tous les motifs d’ordre n. L’ensemble des solutions de tout graphe G = (V, E) tel que | V |= n se trouve repr´esent´e par un sous ensemble des motifs de (n). Ainsi, sur la figure 2.13 les motifs (2, 1, 1) et (1, 1, 1, 1) repr´esentent `a eux seuls toutes les solutions valides du graphe.
Figure 2.13 – Espace des solutions et motifs
Notre approche consiste donc `a rechercher ou se trouvent les solutions d’un graphe G parmi les motifs de (n) afin d’approcher la solution optimale de la force du graphe et de sa somme chroma-tique. Or, nous remarquons que la construction de l’ensemble (n) est similaire `a la construction de l’ensemble des partitions des sommets du graphe. Ce nombre croit de mani`ere exponentielle en fonction de n, il n’est donc pas envisageable de g´en´erer tous les motifs de (n). Nous nous basons donc sur la relation de dominance existante entre les motifs de (n) qui nous permet alors de n’explorer qu’un tr`es petit sous-ensemble de motifs.
La relation de dominance, not´ee ⌫, sur l’ensemble des motifs de (n) a ´et´e introduite dans [93, 94]. Nous avons adapt´e cette relation de dominance `a notre approche.
D´efinition 27 (Relation de dominance) Soit p et q deux motifs de (n). On dit que p domine q, not´e p⌫ q, si et seulement si 8t tel que 1 t min{| p |, | q |}, la relation suivante est v´erifi´ee :
t P i=1 p[i] t P i=1 q[i].
A titre d’exemple, soient p et q deux motifs, tels que p = (5, 2, 1) et q = (4, 3, 1). — Pour t = 1 : 5 4 ;
— Pour t = 2 : 5 + 2 4 + 3 ; — Pour t = 3 : 5 + 2 + 1 4 + 3 + 1. On peut donc en conclure que p⌫ q.
Cependant, la relation de dominance entre deux motifs est une relation d’ordre partiel. Suppo-sons maintenant que p = (9, 3, 3) et q = (8, 6, 1). Alors :
— Pour t = 1 : 9 8 ; — Pour t = 2 : 9 + 3 < 8 + 6 ;
On dit dans ce cas que p et q sont incomparables. L’int´erˆet de la relation de dominance entre les motifs est qu’elle permet de hi´erarchiser les motifs entre eux relativement `a leur somme coloration associ´ee, comme le montre la propri´et´e 3
Propri´et´e 3 Soient p et q deux motifs, tels que p⌫ q alorsP(p)P(q).
Cette propri´et´e a ´et´e d´emontr´ee dans la th`ese de Cl´ement Lecat et g´en´eralis´ee au probl`eme OCCP. Afin d’exploiter cette relation de dominance entre les motifs, nous avons d´efini une relation d’ordre total sur l’ensemble (n). Pour cela, nous consid´erons que les ensembles (n, k) ⇢ (n) sont tri´es par ordre croissant de k et que les motifs d’un sous-ensemble (n, k) sont tri´es par ordre lexicographique d´ecroissant.
D´efinition 28 (Ordre total sur (n)) Nous notons pi
k le i-`eme motif dans l’ordre lexicogra-phique d´ecroissant de (n, k). Soit pi
k et pjk0 deux motifs de (n). Le motif pi
k pr´ec`ede pjk0 dans (n), si k > k0 ou si k = k0 et i < j .
Grace `a cet ordre et la relation de dominance nous avons construit deux bornes sup´erieures pour la force du graphe, une borne alg´ebrique U BA et une borne algorithmique U BS.
Bornes Sup´erieures de la force du graphe
Le principe de construction des bornes U BAet de U BS est le suivant : ´etant donn´e un motif p associ´e `a une coloration valide X d’un graphe G = (V, E), avec n =| V |, d´eterminer le nombre de couleurs kmax, tel que kmax2 {1, ..., n}, pour lequel tout motif q de cardinalit´e sup´erieure `a kmax est domin´e par p, ainsi que le sp´ecifie l’´equation 2.4.
8q 2 ⌦kmax= n [ x=kmax
(n, x), p⌫ q (2.4)
Borne sup´erieure U BA: La borne alg´ebrique U BAs’appuie sur une propri´et´e que nous avons d´emontr´ee dans [8] et qui stipule que 8k 2 {1, . . . , n}, p1
k domine tous les motifs q 2 ⌦k. En cons´equence, si on consid`ere une coloration valide X de G = (V, E) et p1
kle motif de (n) tel que k est le plus petit nombre de couleurs pour lequelP
(p1
k) P
(X) qui s’´ecrit aussiP (p1
k) P
(X) 0. Alors k est une borne sup´erieure pour la force. Comment d´eterminer k ? Structurellement comme p1
k est constitu´e d’une classe couleur de (n k + 1) sommets et de (k 1) classes couleurs de 1 sommet, il est facile de calculerP
(p1
k) suivant l’´equation 2.5. Or, la propositionP (p1
k) P
(X) 0
est vraie si k est sup´erieur `a la seconde racine du polynˆome, c’est `a dire si k v´erifie l’´equation 2.6. Ce qui rend la force s(G) sup´erieurement born´ee par U BAdont l’expression est donn´ee par l’´equation 2.7. X (p1k) = (n k + 1) + k X x=2 x = 1 2k 2 1 2k + n (2.5) k 1 + p 1 + 8(P (X) n) 2 (2.6) U BA= max{d1 + p 1 + 8(P (X) n) 2 e 1,| X |} (2.7)
Borne sup´erieure U BS : Il est indubitable que la coloration du graphe G repr´esent´ee par p1 k est dans le cas g´en´eral loin d’une coloration valide de G. Pour cette raison, et afin d’am´eliorer la qualit´e de la borne sup´erieure de s(G), nous proposons de consid´erer la cardinalit´e du stable maximum lors de l’exploration de (n). En e↵et, aucune coloration valide de G ne peut avoir de classe couleur de cardinalit´e sup´erieure `a celle du stable maximum not´e ↵(G). Tous les motifs p pour lesquels p[1] ↵(G) peuvent donc ˆetre exclus de l’espace de recherche.
Maintenant consid´erons l’op´eration appel´ee q=left-shifting(i,j,p) qui consiste `a partir d’un motif p2 (n, k) `a le transformer en un motif q 2 (n, k) comme suit :
soit 1 i j k alors
— 8x 2 [1 . . . k], x 6= i, x 6= j, q[x] = p[x] — q[i] = p[i] + 1
— q[j] = p[i] 1
Cette op´eration, qui revient `a transf´erer un sommet de la classe couleur Xj vers la classe couleur Xi, implique que P
(q) P(p). Mais il r´esulte de la propri´et´e des motifs `a repr´esenter des colorations majeures, que le left-shifting() n’est pas toujours applicable : si la transformation entraine q[i] < q[i 1] ou si q[i] = 0, alors q n’est pas un motif. Nous nous appuyons sur cette constatation pour introduire la notion de motif majeur dans la d´efinition 29.
D´efinition 29 (Motif majeur) Soit p2 (n, k). Si @ q 2 (n, k) tel que q = left-shifting(i, j, p), et 2 i j k alors p est appel´e motif majeur.
Consid´erons (8, 4), l’ensemble des motifs possibles pour un graphe de 8 sommets, et pour 4 cou-leurs comme illustr´e par la figure 2.14. Tous les motifs de (8, 4) sont majeurs, `a l’exception de (3, 2, 2, 1), car (3, 3, 1, 1) = left-shifting(2, 3, (3, 2, 2, 1)).
Figure 2.14 – Motifs majeurs dans (8, 4).
A partir de la notion de motif majeur, nous avons ´enonc´e et prouv´e un ensemble de propri´et´es, sur lesquelles nous nous sommes appuy´es pour construire un algorithme polynomial, qui calcule une borne sup´erieure U BS de la force d’un graphe quelconque [8]. La principale propri´et´e (propri´et´e 4) ´etablit une relation de dominance entre un motif majeur pi
k et les motifs lui succ´edant suivant l’ordre total d´efini sur (n).
Propri´et´e 4 Soient k et k0 deux entiers tels que k < k0 et ⌦k0 = Sn x=k0
(n, x). Si pi
k est un motif majeur, alors8q 2 ⌦k0 tel que q[1] pi
k[1], pi k⌫ q.
A partir de la propri´et´e 4, nous pouvons ´etablir qu’´etant donn´ee une coloration X d’un graphe G, si nous d´eterminons le plus petit nombre de couleurs k, pour lequel il existe un motif majeur pi
k tel que pi
k[1] = ↵(G) et tel que P (pi
k) P
(X), alors il n’existe pas de meilleure coloration pour MSCP, utilisant plus de k couleurs. Par cons´equent, la force du graphe G est donc born´ee sup´erieurement par U BS= k 1.
L’algorithme U BS `a partir d’une coloration X de G, de la cardinalit´e du stable maximum ↵(G) ou d’une borne sup´erieure de celle-ci, calcule la borne sup´erieure de s(G) en O(n2). A partir de k =| X |, l’algorithme recherche de mani`ere incr´ementale un motif majeur pi
k, comme ci-dessus mentionn´e, jusqu’`a ce queP
(pi
k) P
(X). Il retourne alors k 1.