Représentations temporo-fréquentielles

par Siegel et basé sur celui de Fischer pour tester la présence significative de plusieurs pics.

Durnerin (1999, p. 116) propose un test basé sur l’écart moyen entre les pics significatifs de la séquence d’autocorrélation. Si la variabilité de cet écart moyen est faible, le premier pic significatif après les premiers lags de la séquence est une période de la série. L’approche retenue par DPE proposée au chapitre 5 utilise un principe équivalent.

Bruit coloré Vaughan (2005, 2010) propose différents tests statistiques pour la validation

d’un pic de la DSP d’un signal additionné d’un bruit coloré. Thomson (1982, p. 1082) en décrit également un basé sur le test de Fisher d’adéquation, comme rappelé dans (PW, p. 496).

Tests propres aux méthodes Certaines des méthodes spécifiques présentées dans la section 4.3.1 p. 80 proposent des tests particuliers : Huijse Heise et al. (2012) dans le cadre du calcul de la DSP basée sur la correntropie, Scargle (1982) pour sa méthode de calcul du périodogramme sur des données irrégulièrement échantillonnées, Sokolove & Bushell (1978) pour le périodogramme χ2.

4.4 Représentations temporo-fréquentielles

Les représentations temporo-fréquentielles permettent d’avoir la vision en temps et en fréquence d’un signal et de s’affranchir de l’hypothèse de stationnarité associée aux représentations fréquentielles traitées dans la section précédente. Dans ce cadre, la période d’une série est ici associée à chacune des dates de la série étudiée.

La représentation temps-fréquence (T-F) du signal permet d’associer la puissance du signal (ou une mesure équivalente) à un point du plan temps-fréquence. Cette repré-sentation 3D permet donc la combinaison des reprérepré-sentations 2D temps × amplitude et

f r´equence × puissance.

Comme pour les sections précédentes, les différentes méthodes de représentation sont introduites dans un premier temps, suivies de celles liées à leur exploitation.

4.4.1 Représentations temps-fréquence

Un très grand nombre d’approches a été proposé pour représenter le signal dans le domaine T-F, réparties en non-paramétriques et paramétriques à l’instar de celles du domaine fréquentiel. Demars (2005) et Bradford (2007) donnent des listes très complètes des premières tandis que les secondes, moins développées, sont traitées par Leonowicz (2006) sous un angle théorique et comparées par Poulimenos & Fassois (2006).

Les quatre premiers paragraphes de cette sous-section introduisent les méthodes non-paramétriques basées sur le calcul de la fréquence instantanée, sur les transformations linéaires, quadratiques puis les approches plus récentes par décompositions successives. Le dernier paragraphe introduit les méthodes paramétriques.

Fréquence instantanée

La fréquence instantanée est la dérivée première de la phase φ0(t) pour un signal de la forme a(t)cos(φ(t)) avec a(t) l’amplitude, φ(t) = 2πft + φ0 la phase et φ0 le décalage initial en phase (MA, p. 137; Flandrin, 1998, p. 27; Gonçalves et al., 1997, p. 38).

La fréquence instantanée est utilisée en modulation de fréquence. Bien que simple et précise, elle ne permet pas d’étudier les signaux avec plusieurs composantes périodiques, puisqu’elle renvoie en ce cas la moyenne de leurs fréquences.

Transformées linéaires / pavage du plan T-F

Gabor (1946) propose une famille d’approches basée sur la projection du signal sur des blocs ou atomes du plan T-F translatés en temps et en fréquence. Le résultat de la projection mesure l’importance de l’atome considéré dans le signal pour un temps et une fréquence donnés, tout comme la projection du signal sur une sinusoïde dans la transformée de Fourier donne l’importance de sa fréquence dans l’ensemble du signal.

Cependant, ces atomes ne peuvent être aussi précis que possible : le produit de la largeur en temps et de la hauteur en fréquence est supérieur ou égal à 1/2 (Auger et al., 2013, p. 32; MA, p. 107).

La TF à temps court ou Short Time Fourier Transform (STFT) proposée par Gabor (1946) utilise un atome rectangulaire. Cette approche est équivalente au calcul de la TF du signal appliqué à une fenêtre temporelle glissante (Gonçalves et al., 1997). D’autres approches fenêtrées sont utilisées pour déterminer des représentations temps-fréquence avec des méthodes autres que la TF, comme la méthode MFCC basée sur le calcul du cepstre (Ganchev et al., 2005).

La transformée en ondelettes (MA, p. 30) utilise un atome translaté dans le temps et

dilaté en fréquence construit à partir d’une ondelette mère (MA, p. 119). Le pavage est

toujours rectangulaire mais n’est plus constant : lorsque l’intervalle temporel est petit, la bande de fréquence est large et située dans les hautes fréquence. A l’inverse, lorsque l’intervalle temporel est large, la bande de fréquence est étroite et située dans les basses fréquences (MA, p. 27). Ce fonctionnement permet notamment l’étude de pics de haute fréquence précisément localisés dans le temps. De plus, un algorithme de calcul rapide de la transformée en ondelette est disponible (MA, p. 134)

Un certain nombres d’atomes T-F généralisant les transformées précédentes ont égale-ment été développés : la transformée de Fourier fractionnaire à temps court qui permet une rotation du pavage obtenu par STFT (Sejdić et al., 2011) ou la transformation canonique linéaire fenêtrée (Kou & Xu, 2012) et les chirplets (Mann & Haykin, 1992) qui permettent de plus un changement d’échelle des atomes après rotation.

Distributions quadratiques / répartition de l’énergie dans le plan T-F

Les distributions quadratiques ou bilinéaires du signal ont pour objectif d’estimer di-rectement la distribution de l’énergie du signal dans le plan T-F (Gonçalves et al., 1997;

4.4. Représentations temporo-fréquentielles 85

Flandrin, 1998, p. 103). Elles permettent de s’affranchir des limites de résolution des atomes T-F ainsi que de la nécessité de leur choix (Daubechies et al. 2011; MA, p. 156). Les distributions quadratiques invariantes par translation en temps et en fréquence définissent la classe de Cohen tandis que celles invariantes par translation en temps et di-latation en fréquence sont dites affines. Le spectrogramme, calculé via la STFT, appartient à la classe de Cohen et le scalogramme, calculé via la transformée en ondelettes, appartient à celle des distributions affines (Gonçalves et al., 1997).

Parmi ces transformations, la transformée de Wigner-Ville (TWV) occupe une place particulière puisque les autres distributions quadratiques peuvent s’écrire comme une TWV multipliée par une fenêtre particulière (MA, p. 156). Cependant, toutes ces dis-tributions engendrent des interférences dans le plan temps-fréquence et la TWV peut avoir des valeurs négatives, en contradiction avec la notion de distribution.

Certaines distributions ont ainsi été proposées afin de réduire les termes d’interférences, comme les transformées de Choï-Williams, de Born-Jordan, de Wigner-Ville lissée ou de Zhao-Atlas-Marks entre autres (Bradford, 2007, pp. 28-31).

Ainsi, le compromis temps / fréquence lié au choix de l’atome pour les transformations linéaires devient un compromis résolution / interférences pour les distributions quadra-tiques (Flandrin et al., 2002, p. 182).

Transformées par décomposition

Le principe des transformées par décomposition est l’identification des composantes périodiques du signal (Intrisinc Mode Functions ou IMF) par décompositions successives basées sur les données uniquement. Elles ne nécessitent donc pas de choisir un atome T-F ou une transformée spécifique (Daubechies et al., 2011).

La transformée de Hilbert-Huang (HHT), proposée par Huang et al. (1998), est la pre-mière méthode de décomposition en IMF. Elle est basée sur la décomposition modale em-pirique qui permet l’extraction récursive des IMF. Une extension Ensemble (Wu & Huang, 2009) permettant d’en réduire la variance et une version pour séries multivariées (Rehman & Mandic, 2010) ont été proposées proposées.

La HTT est efficace (Ke et al., 2014) mais manque de fondements théoriques (Flan-drin et al., 2004; Huang & Wu, 2008; Daubechies et al., 2011). Afin d’en améliorer la formalisation, Gilles (2013) propose une méthode hybride basée sur des ondelettes. Dra-gomiretskiy & Zosso (2014) introduisent une méthode non récursive présentée comme un problème d’optimisation. Enfin, Frei & Osorio (2007) proposent une alternative à la HHT qui fonctionne également de manière incrémentale.

Méthodes paramétriques

Au même titre que la STFT correspond à une application de la méthode non paramé-trique de la transformée de Fourier sur des sous-parties du signal, certaines des méthodes paramétriques d’estimation de la DSP présentées dans la section 4.3.1 p. 80 peuvent

égale-ment être appliquées de manière fenêtrée sur le signal. Ces approches reposent sur l’hypo-thèse qu’un signal non-stationnaire peut être considéré localement stationnaire pour des fenêtres suffisamment petites.

Avec une fenêtre glissante dans le temps sur le signal, Leonowicz et al. (2002) proposent ainsi d’appliquer la méthode Min-Norm et Poulimenos & Fassois (2006) présentent un état de l’art de l’utilisation des approches AR et ARMA dans ce cadre.

4.4.2 Exploitation des représentations T-F

La représentation T-F d’un signal permet d’une part d’en analyser les différentes com-posantes périodiques grâce à la décomposition fréquentielle et d’autre part de les localiser dans le temps grâce à l’information temporelle qui leur est associée. Cette représentation est donc adaptée au calcul de périodes non constantes ainsi qu’aux composantes multiples illustrées sur la figure 4.2 p. 71.

Comme dans le domaine fréquentiel, les maxima de ces représentations donnent la ou les périodes du signal. Elles sont de plus attachées à une information temporelle, ce qui rend leur analyse plus complète mais également plus complexe.

Les méthodes d’exploitation sont présentées dans les paragraphes ci-dessous, d’abord pour les représentations obtenues par transformées linéaires ou par distributions quadra-tiques puis pour celles construites par décomposition.

Exploitation des représentations linéaires et quadratiques

La résolution de ces représentations doit être améliorée dans un premier temps avant d’être analysées à l’aide de tests statistiques.

Amélioration de la résolution Les transformations linéaires sont bruitées du fait de l’incertitude liée à la projection du signal sur des atomes T-F et les transformées quadratiques le sont à cause de la présence de termes d’interférences.

Afin de limiter ces effets d’étalement, différentes approches d’amélioration de la réso-lution sont introduites. Le calcul des crêtes (ridges) (MA, pp. 139 et 149) et les méthodes de réallocation (Auger et al., 2013) et de synchrosqueezing (Maes, 1994) permettent de ne retenir que la valeur maximale de la projection du signal sur un atome T-F. Les opérateurs de morphologie mathématique, plus largement détaillés au chapitre 5, sont également uti-lisés pour ne retenir que les valeurs maximales de la représentation (Evans et al., 2002; Borda et al., 2005).

Propriétés statistiques Les contributions suivantes détaillent les distributions des co-efficients calculés pour les représentations T-F, permettant la construction de tests destinés à distinguer du bruit les périodes réellement présentes dans le signal. Différentes approches prenant en compte des signaux bruités vus comme la somme du signal d’origine et d’un bruit, blanc ou coloré (cf. section 4.3.2 p. 82) sont proposées.