Représentations de décompositions

Le coût de traitement d’un séparateur minimal est donc de O(n + m) mais comme dans un hyper-graphe planaire, m vaut au plus 3n − 6, l’algorithme 8.2 fonctionne en temps O(n) par séparateur.

8.3 Représentations de décompositions

Dans cette partie, nous considérons des hyper-graphes fortement arête-connexes.

Définition 8.31 (Hyper-graphe fortement arête-connexe)

Un hyper-graphe G est fortement arête-connexe s’il reste connexe même privé des extrémités d’une hyper-arête et si aucune hyper-arête n’en contient d’autre.

Une courbe de Jordan de GI définit une séparation de G. Pour obtenir une matriochka, se donner une famille F de courbes de Jordan de GI n’est pas suffisant. Il faut que les séparations induites par F ne se croisent pas. Définition 8.32 (Courbes de Jordan parallèles)

Deux courbes de Jordan sont parallèles si et seulement si chacune n’inter-secte qu’un des deux domaines que définit l’autre.

Définition 8.33 (Θ-structure)

Une Θ-structure d’un graphe intermédiaire G_Iest la donnée de trois chemins

ν₁, ν₂ et ν₃ d’intérieurs disjoints reliant deux sommets distincts x et y. Une Θ-structure {ν1, ν2, ν3} induit trois courbes de Jordan de G_I :

ν₂.(ν₃⁻¹), ν₁.(ν₃⁻¹) et ν₁.(ν₂⁻¹).

Le nom de Θ-structure provient du fait que les trois chemins ν₁, ν₂ et ν₃ dessinnent un Θ.

Propriété 8.34 Une familleF de courbes de Jordan deux à deux parallèles

de G_I définit une matriochka de G.

Comme nous l’avons déjà mentionné, chaque courbe µ de la famille F définit une séparation (E_µ¹, E_µ²) de G. La famille F définit donc une famille C de sous-ensembles de E telle que si X est un élément de C, E\X l’est aussi. De plus, considérons X et Y deux éléments de C. Les ensembles X et Y correspondent à deux domaines induits par deux courbes µX et µY

de F. Quitte à considérer les complémentaires de X et de Y , nous pouvons supposer que X et Y correspondent respectivement aux domaines induits par µX et µY ne contenant pas µY et µX. Ainsi, X et Y sont disjoints et ne se chevauchent pas. Les ensembles X et Y étant quelconques, la famille C est une matriochka de G.

Nous montrons ici qu’une famille de courbes de Jordan de GI induit une matriochka. Plus précisément, une famille de courbes de Jordan de G_I maximale pour l’inclusion induit une matriochka complète de G.

Propriété 8.35 Soient F une famille de courbes de Jordan de GI deux à deux parallèles maximale pour l’inclusion, µ une courbe deF et Σµ l’un des deux domaines que délimite µ.

– soit Σµ ne contient qu’une face de GI;

– soit il existe une Θ-structure de G_I incluse dans Σ_µ qui induit trois courbes de Jordan deF dont la courbe µ.

Considérons l’ensemble FΣµ des courbes de Jordan de F délimitant un domaine inclus dans Σµet supposons que Σµcontienne au moins deux faces de G_I.

Il existe une face f de GI incluse dans Σµ incidente à une arête de µ. Comme d’après la propriété 8.15, la face f correspond à une arête de G et que G est fortement arête-connexe, les sommets de V_Σ∩ µ ne sont pas tous incidents à f . Il existe donc une courbe µ⁰ de Fµ distincte de µ qui définit un domaine le plus grand possible contenant f . La courbe µ⁰ partage avec µ au moins une arête et comme µ⁰ est distincte de µ, il existe deux sommets x et y de µ et un chemin ν1 de µ⁰ de x et y dont aucune arête n’appartient à µ. Les deux sommets x et y découpent le cycle µ en deux chemins ν2 et ν₃ de x à y.

Ces trois chemins définissent trois courbes de Jordan de G_I : µ, µ₁ et µ₂ égales respectivement à ν2.(ν₃⁻¹), ν1.(ν₂⁻¹) et ν1.(ν₃⁻¹). L’un des domaines de Σ_µ défini par µ₁ et µ₂ contient celui défini par µ⁰. Supposons que ce soit celui correspondant à µ₁. Si un lacet croise µ₁ mais pas µ et µ⁰, il contient un point singulier et n’est donc pas une courbe deF. Comme aucune courbe de F ne croise µ1 et que F est maximal pour l’inclusion, µ1 est un élément de F. Le même raisonnement montre que c’est aussi le cas pour µ2, ce qui achève la démonstration.

Si nous ne supposons pas l’hyper-graphe fortement arête-connexe, la pro-priété n’est pas vraie comme l’illustre la figure 8.14.

Nous déduisons des propriétés 8.34 et 8.35 le corollaire suivant :

Corollaire 8.36 Une famille de courbes de Jordan de G_I deux à deux pa-rallèles maximale pour l’inclusion définit une décomposition en branches.

Si F est une telle famille maximale pour l’inclusion, nous en déduisons une décomposition en branches Tτ de G. Les cliques maximales de la trian-gulation HF ^{induite par T}τ correspondent aux bords des faces de G_I et aux Θ-structures induites parF.

8.3. Représentations de décompositions 121

e f

L’hyper-arête f est incluse dans l’hyper-arête e. Ceci crée une « boucle » dans la face de GI correspondant à e. La situation serait la même si f était le résultat d’une

contraction de sommets auquel cas l’hyper-arête e déconnecterait l’hyper-graphe.

Fig. 8.14 – Un graphe intermédiaire d’un hyper-graphe non fortement arête-connexe.

Maintenant que nous savons exprimer certaines décompositions en bran-ches à partir de courbes de Jordan du graphe intermédiaire, il est naturel de se demander :

– s’il existe une telle décomposition qui soit de profil minimal ou tout du moins de largeur de branches minimale ;

– s’il existe une telle décomposition qui induise une décomposition ar-borescente de largeur arar-borescente minimale.

Seymour et Thomas [ST94] ont répondu en partie à la première question en montrant qu’il existe une « bond-decomposition » de largeur de branches minimale. Nous allons répondre par l’affirmative à la seconde question. Théorème 8.37 ([ST94])

Soit G_Σ un hyper-graphe plan fortement arête-connexe. Il existe une décom-position en branches de G_Σ de largeur minimale induite par une famille de courbes de Jordan de GI deux à deux parallèles.

Théorème 8.38

Soient G_Σ une représentation plane d’un hyper-graphe planaire G et H une triangulation minimale de G. Il existe une famille F de courbes de Jordan

D’après le théorème 5.3 de Parra et Scheffler, H est donné par la famille ∆_H de ses séparateurs minimaux. Montrons le résultat par induction sur le nombre k de composantes pleines qu’induisent les séparateurs minimaux de ∆H.

Si k est égal à 0, la famille ∆_H est vide et l’hyper-graphe G est trian-gulé. La famille videF convient. Sinon, il existe un a, b-séparateur minimal S dans ∆H. D’après les propriétés 8.19 et 8.20, il existe une courbe de Jor-dan µ_S qui réalise S ; cette courbe de Jordan induit une séparation (E₁, E₂) de G. Notons G₁ et G₂ l’hyper-graphe G dans lequel nous avons contracté respectivement les ensembles E2 et E1 en l’hyper-arête S. Soient S1 et S2

les séparateurs minimaux de ∆_H qui sont des séparateurs minimaux respec-tivement de G₁ et de G₂. La famille ∆_H étant maximale pour l’inclusion, c’est aussi le cas des famillesS1 et S2; ces deux familles induisent donc des triangulations minimales H₁ et H₂ de G₁ et G₂. De plus, si nous notons V₁, E₁∪ {S}
et V₂, E₂∪ {S}
les hyper-graphes H₁ et H₂, l’hyper-graphe (V1∪ V₂, E1∪ E₂){S} est exactement la triangulation H.

D’après le corollaire 8.18, nous pouvons obtenir un graphe intermédiaire G_1I de G₁ et G_2I de G₂ en retirant à G_I les sommets et les arêtes incluses dans le domaine de µScorrespondant respectivement aux hyper-arêtes de E2

et E1. De plus, les famillesS1 etS2 induisent moins de composantes pleines que ∆_H. Par hypothèse, il existe des famillesF1 etF2 de courbes de Jordan de G1I et G2I telles que HF1 et HF2 soient exactement les triangulations H1 et H2. Soit F la famille F1∪F2∪ {S}. Par construction, µ est parallèle à toutes les courbes deF1 et deF2. Les courbes de Jordan de F sont donc toutes parallèles deux à deux. De plus, H est égale à la triangulation HF.

Le théorème 8.38 montre que toute triangulation minimale H de G est induite par une matriochka obtenue à partir d’une famille F de courbes de Jordan. Le théorème 4.23 montre que si nous complétons F en F0, la triangulation HF0est une sous-triangulation de HF^{. Le corollaire 8.36 permet}

donc d’affirmer : Théorème 8.39

Soient H une triangulation minimale d’un hyper-graphe planaire fortement arête-connexe G et GI un graphe intermédiaire de G. Il existe une décompo-sition en branches induite par une famille de courbes de Jordan de G_I telle que la triangulation H_Tτ soit exactement H.