Diverses approches de réduction de la dimension de la représentation du plan re- construit4 sont explorées ici. Le but est de réduire le temps de calcul de la reconstruc-
tion statistique sans altérer la qualité de l’image finale. En effet, une représentation de petite dimension permet des calculs de projection et de rétroprojection rapides, mais peut affecter la résolution d’image (à variance d’image égale).
Cette exploration respecte toutefois certaines limites. Premièrement, les mé- thodes impliquant une représentation de l’objet sur une base fonctionnelle alterna- tive, comme une base d’ondelettes (Niinimäki et al., 2007; Delaney et Bresler, 1995), ne sont pas considérées. Pour bénéficier d’une réduction effective de la dimension, il faut changer l’approche fondamentale de régularisation du problème. En effet, en supposant que le signal soit décrit par un petit nombre d’éléments d’une telle base, on régularise en forçant à zéro les coefficients (Candès et Guo, 2002). La présente thèse demeure dans les limites de l’approche bayésienne décrite à la section 1.3 et,
dans ce cadre, les heuristiques devant être employées pour réduire la dimension de la décomposition ne justifient pas la complexité de l’approche.
Par ailleurs, les approches multigrilles classiques (Briggs et al., 2000; Pan et Yagle, 1991) se sont avérées peu efficaces pour cette application. Des expériences préliminaires de reconstruction dans le cadre multigrille décrit par Oh et al. (2005) ont montré que 80 % des itérations servaient à obtenir les composantes de haute fréquence de l’image, de manière à obtenir la haute résolution attendue. Comme ces composantes ne sont représentables que sur la grille la plus fine de celles considérées, l’approche multigrille n’a pas réduit temps de calcul global de manière satisfaisante. On s’intéresse principalement aux approches de reconstruction tomographique d’une région d’intérêt, désignée dans la littérature sous les termes de region-of- interest tomography, zoom-in tomography ou targeted tomography. L’idée est de dé- composer l’objet imagé en deux zones : la région d’intérêt (ROI) et l’arrière-plan. La qualité d’image est principalement recherchée dans la ROI, qui est donc reconstruite par une méthode algébrique ou statistique. Pour y parvenir, il faut toutefois détenir une représentation adéquate de l’arrière-plan, obtenue simultanément ou préalable- ment par une reconstruction peu coûteuse en temps de calcul.
Hsieh et al. (2004) ont recensé et protégé par brevet la plupart des variantes de reconstruction d’une région d’intérêt. Plusieurs contributions demeurent par ailleurs notables en ce sens. La Rivière (2006) ne maintient de l’arrière-plan que sa contri- bution aux projections : il alterne entre la reconstruction de la région d’intérêt et l’estimation de la contribution de l’arrière-plan aux projections. Ziegler et al. (2008,
2006) extraient l’arrière-plan d’une image obtenue par reconstruction analytique sur une grille de même taille de pixel que celle utilisée pour représenter la région d’in- térêt. La contribution de l’arrière-plan aux projections est obtenue par simulation. Rashed et al. (2007) emploient une approche similaire, mais filtrent les projections après avoir soustrait la contribution de l’arrière-plan dans le but de réduire les arté- facts qui apparaissent dans la région d’intérêt. Stearns et al. (2006) procèdent d’une manière semblable à Ziegler et al. (2006), mais extraient plutôt l’arrière-plan d’une reconstruction itérative du volume imagé complet représenté sur une grille image grossière (de faible dimension). Hamelin et al. (2007) reconstruisent l’arrière-plan (représenté sur une grille grossière, de la même manière que dans Stearns et al. (2006)) et la ROI simultanément. Ce problème de reconstruction simultanée est mal conditionné : Hamelin et al. (2007) surmontent cette difficulté numérique par une correction d’échelle du gradient de la fonction objectif.
Toutes ces approches contournent effectivement l’usage d’une matrice de projec- tion A de grandes dimensions, permettant des réductions significatives du temps de calcul. Il reste que ces diverses représentations de l’arrière-plan (ou de sa contribu- tion aux projections) ont un impact non trivial sur les propriétés de l’image dans la région d’intérêt. À ce jour, aucun travail de comparaison de ces diverses approches n’a été rapporté.
Les techniques de reconstruction d’une région d’intérêt s’apparentent à un pro- blème qui a reçu beaucoup d’attention récemment, soit celui de la tomographie locale. Il consiste en l’identification d’un sous-ensemble des projections qui suffit à la recons-
truction stable d’une région d’intérêt circonscrite dans le volume imagé, sans erreur liée à l’incomplétude des données (comme dans le cas de la tomographie à angle par- tiel). La résolution de ce problème permet effectivement de collimater partiellement le faisceau X, ce qui permet une réduction de la dose à laquelle l’objet est soumis. Defrise et al. (2006) montrent que si la région d’intérêt chevauche partiellement le complément du support de l’objet, un sous-ensemble peut effectivement être identi- fié systématiquement. Ils en déduisent un algorithme statistique régularisé axé sur un opérateur de projection A dont le nombre de lignes est réduit de manière ap- propriée. Courdurier et al. (2008) et Kudo et al. (2008) présentent des algorithmes moins contraignants sur le choix de la ROI, mais qui nécessitent une connaissance de l’objet dans une sous-région de la ROI. Ces contraintes sont limitantes dans le cadre de l’imagerie vasculaire des vaisseaux périphériques, où l’artère sous examen est éloignée de la limite du corps du patient. De plus, les algorithmes itératifs, tels que celui proposé par Defrise et al. (2006), nécessitent la reconstruction du volume imagé complet : bien que seule la reconstruction de la région d’intérêt soit stable, les pixels de l’arrière-plan doivent être évalués pour maintenir la cohérence du modèle de projection. Ainsi, la tomographie d’une région d’intérêt et la tomographie locale souffrent de problèmes complémentaires ayant trait à la réduction du temps de calcul de la reconstruction. D’une part, les méthodes de tomographie d’une région d’inté- rêt proposent une représentation de l’objet de dimension réduites, mais exécutent la reconstruction à partir du même nombre de données. D’autre part, la tomographie locale réduit le volume de données, mais maintient la représentation de l’objet sur
une grille image de haute dimension.