Jonction 1 Jonction 0
Fig. A. 3 Les jonctions dans un bond graph
Il existe enfin un dernier type d'éléments que l'on peut trouver dans le bond graphs : ce sont les liaisons d’information. Elles permettent de transférer une information concernant un flux ou un effort dans le bond-graph. Ce type de lien est particulièrement utile pour représenter l'influence d'un élément sur un autre. Par exemple, une liaison d'information peut être utilisée pour représenter dans le domaine thermique l'effet Joule d'une résistance électrique : la résistance électrique transmet l'information concernant la température à une source d'effort du domaine thermique.
A.3 Représentation de la causalité
La causalité dans les bond-graphs est basée sur l'impossibilité d'imposer ou de contrôler à la fois l'effort et le flux. Cette causalité est représentée par un trait vertical à une des extrémités d'une demi-flèche. Ce trait permet de montrer la direction vers laquelle est imposé l’effort. Ainsi, si l'on impose un effort (ou un flux) à un élément de type R, C ou I, par réaction cet élément causera un flux (respectivement un effort). Par exemple, pour une résistance électrique, si l'on impose la tension U à ses bornes il en résulte un courant I (I = U/R) ; à l'inverse si l'on impose I on obtient une tension U (U = R. I) (voir figure 4).
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Fig. A.4 Exemple de causalité sur une résistance
L'attribution de la causalité dans un bond-graph n'est pas arbitraire, elle repose sur des règles d'assignation de la causalité aux éléments et de la propagation de ces causalités dans le bond-graph [Rosenberg et Karnopp(1983)].
Les sources ont une causalité fixe puisqu'elles imposent soit un flux, soit un effort. Les éléments de stockage ont une causalité préférentielle que l'on appelle causalité intégrale. Une capacité préfère produire un effort (intégrale du flux, e = ∫ f(t)dt ) alors qu'une inductance préfère produire un flux (intégrale de l'effort, f = ∫ e(t) dt ). Les résistances n'ont pas de causalité préférentielle. Les éléments de types transformateur gardent la causalité, c'est à dire que si on leur impose un effort en entrée (ou un flux), ils imposent un effort en sortie (respectivement un flux). Les éléments de type Gyrateur inversent la causalité, c'est-à-dire que si on leur impose un effort en entrée (ou un flux), ils imposent un flux en sortie (respectivement un effort). Sur les jonctions 0 on ne peut imposer qu'un seul, effort (ce sont des bilans à effort constant) ; parallèlement, sur les jonctions 1, on ne peut imposer qu'un flux (ce sont des bilans à flux constant). Ainsi sur une jonction 0 seule une branche
porte une barre de causalité, alors que sur les jonctions 1 seule une branche ne porte pas de barre de causalité.
Pour affecter la causalité dans un bond-graph (en utilisant la procédure définie dans [Rosenberg et Karnopp(1983)]), on commence par imposer les causalités obligatoires : celles des sources. Si c'est possible, on propage ensuite ces causalités dans le bond graph en respectant les règles sur les jonctions, les transformateurs et les Gyrateur. Si un conflit apparaît durant cette étape c'est que le problème est mal posé. La deuxième étape consiste à assigner la causalité préférentielle (intégrale) sur les éléments de stockage (C et I) ; on propage ensuite cette causalité dans le bond graph. Si un conflit de causalité apparaît durant cette étape on le résout en changeant la causalité des éléments de stockage. La dernière étape consiste à propager la causalité sur les éléments résistifs (ils peuvent accepter n’importe quelle causalité).
La causalité ainsi affectée permet de construire un graphe d'influence entre les différentes variables décrites dans le bond graph. En effet, pour chaque élément, on peut définir et orienter
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le lien entre la variable d'effort et de flux. L'effort (ou le flux) imposé à l'élément « causera » le flux (respectivement l'effort) que l'élément imposera sur la jonction [39] [40] [41].
Sur les jonctions 0, c'est le flux dans la branche portant l'effort sur la jonction qui sera causé par le bilan des flux des autres branches, c'est le seul flux « libre » de la jonction. Parallèlement, sur une jonction 1, c'est l'effort sur la branche fixant le flux sur la jonction qui sera causé par le bilan des efforts des autres branches,
C’est le seul effort « libre » de la jonction.
Sur les éléments de type transformateur, le sens de la demi-flèche impose le sens d'utilisation de l’équation. Si l'on impose un effort en entrée, il influence l'effort en sortie et le flux en sortie influence le flux en entrée. Si l'on impose le flux en entrée, il influence le flux en sortie et l'effort en sortie influence l'effort en entrée.
De même sur les Gyrateur, si l'on impose l'effort en entrée, il influence le flux de sortie et l'effort en sortie influence le flux en entrée. Si l'on impose le flux en entrée, il influence l'effort en sortie et le flux en sortie influence l'effort en entrée.
La figure 5 présente les différentes influences que l'on peut extraire des liens de causalité entre les variables du bond-graph.
L'intérêt des bond-graphs est donc double : il nous permet d'un côté d'obtenir les équations qualitatives et donc de pouvoir générer un graphe d'influence et de l'autre il va nous permettre de construire une partie des modèles décrits dans l'approche multi-modèles. Tout cela sans disposer des paramètres précis des Équations décrivant le système.
Eléments Représentation équation Résistif f =1R e e = Rf Capacitif e =1C fdt f =dqdt Inertiel f = ∫ edt e =
120 Source d’effort Source de flux Gyrateur f =1r e f =1r e ee = rf= rf Transformateur e =m e1 f =m f1 e = me f = mf Jonction 1 e = e −e Jonction 0 f = f −f
Fig. A.5 Représentation des éléments du bond-graph, leurs équations et leurs causalités.