Matematicamente, modelos são objetos comumente associados com o valor semântico de uma teoria. Um modelo-conjunto ℳ é um objeto matemático em uma teoria de conjuntos; ele é composto de um conjunto de objetos 𝑀 , um conjunto de relações entre objetos 𝑅, um conjunto de relações de referência para as constantes da linguagem 𝐶 e um conjunto de funções 𝑠 que atribuem objetos de 𝑀 a variáveis da linguagem da teoria estudada; podemos escrever isso como ℳ = ⟨𝑀, 𝑅, 𝐶, 𝑠⟩.
Pelo teorema da completude de primeira ordem, todo conjunto consistente de fórmulas tem um modelo. É por isso que, do ponto de vista de um realista, todo conjunto de axiomas, se consistente, faz referência a um grupo de objetos abstratos. Contudo, se tomamos esse passo com o devido cuidado, devemos exigir a apresentação de uma razão epistemológica para que esse grupo de objetos matemáticos de fato exista. Assumir que um conjunto de fórmulas que satisfaz certas propriedades sintáticas (não geram, através de derivações lógicas, uma
contradição do tipo “𝐴 ∧ ¬𝐴”) garantem a existência de entidades abstratas implicaria um grande salto em comprometimento ontológico.
Esse tema foi extensivamente discutido na literatura, como podemos ver em Bena- cerraf e Putnam (1983) e Kirkham (1992), e não pretendemos explorar todos os aspectos desse profundo debate metafísico. Consideramos, de modo simplificado, que, ao assumirmos a existência realista de um modelo, comprometemos-nos ontologicamente de modo profundo e, mais ainda, estamos em uma posição desfavorável para justificar o conhecimento de tais entidades. Não queremos, com isso, afirmar que, para aceitar o uso de um modelo, alguém precise se posicionar como platonista ou qualquer outra posição em filosofia da matemática. Não obstante, um não platonista precisa justificar o que entende como um modelo de modo que evite os compromissos ontológicos realistas.
Ademais, mesmo para um platonista como Gödel, é preciso justificar a acessibilidade de um modelo nos casos em que assumimos modelos para a teoria dos conjuntos. Gödel comenta em seu importante artigo sobre a consistência da hipótese do contínuo (GÖDEL, 1939) que um método finitário poderia ser aplicado de tal forma que estaríamos justificados ao falar da existência dos modelos discutidos no seu trabalho. Para um realista, não preci- samos usar razões exclusivamente matemáticas para acreditar na existência de um modelo; ainda assim, através da descrição detalhada de um modelo e suas propriedades, um realista pode argumentar um conhecimento mais claro a respeito da sua existência. Esse método de justificação é realizado com o suporte de uma teoria dos conjuntos.
Para lidar com essas questões, a interpretação como um modelo é bastante adequada. Esse método serve tanto para evitar o comprometimento ontológico como também para ofe- recer uma justificação para acessibilidade de modelos em relação aos quais não queremos tomar sua existência de partida. Portanto, essa estratégia tem valor para diversas - e, in- clusive, opostas - posições em filosofia da matemática. Através de interpretações sintáticas, podemos afirmar a existência de um modelo em um sentido mais fraco do que é necessário para uma posição platonista, demandando apenas a crença nos procedimentos finitários ex- plicitamente colocados. Também, interpretações adicionam um fundamento epistemológico para um realista, sem que isso interfira nas suas crenças ontológicas.
Originalmente, o método da interpretação foi instanciado como uma estratégia geral para investigar indecidibilidade. Em Undecidable theories (TARSKI et al., 1953), Mostowski, Robinson e Tarski exploraram essa estratégia, promovendo uma visão epistemológica ade- quada às demandas do programa de Hilbert. Nesse sentido, se alguém obtém uma prova usando interpretações ao invés de uma prova modelo-teorética, ele ou ela estaria trocando uma metateoria infinitária por uma finitária - e, portanto, decidibilidade se tornaria não
simplesmente uma necessidade lógica, mas um procedimento explícito.
Em Shoenfield (1967), vemos um uso mais geral dessa noção na qual interpretação serve para tratar modelos sem um profundo comprometimento ontológico. Usando interpreta- ções, tornamo-nos capazes de expressar modelos usando fórmulas em uma teoria dos conjuntos e de obter resultados através de operações finitárias. Com efeito, ao fazermos isso, podemos argumentar que a consistência de uma teoria implica a consistência da teoria interpretada.
Formalmente, interpretações podem ser definidas como se segue (SHOENFIELD, 1967, p. 61-65):
Definição 3 𝐼 = ⟨𝑈, 𝜑⟩ é uma interpretação da teoria 𝑇1 em 𝑇2 se 1. Universo: 𝑈 está em 𝐿(𝑇2) e é tal que 𝑇2 ⊢ ∃𝑥𝑈 𝑥.
2. Universo é fechado em relação a funções: Para cada função n’ária 𝑓 em 𝐿(𝑇2), 𝑇2 ⊢ 𝑈 𝑥1 → 𝑈 𝑥2 → · · · → 𝑈 𝑥𝑛→ 𝑈 𝑓 (𝑥1𝑥2. . . 𝑥𝑛).
3. Função de tradução: 𝜑 é a função de 𝐿(𝑇1) em 𝐿(𝑇2), de modo que,
a) Para todo predicado n’ário 𝑃 em 𝐿(𝑇1), 𝜑(𝑃 ) é um predicado n’ário e está na linguagem de 𝐿(𝑇2).
b) Para toda função n’ária 𝑓 em 𝐿(𝑇1), 𝜑(𝑓 ) é uma função n’ária e está na linguagem de 𝐿(𝑇2).
4. Interpretação parcial: Seja 𝛼′ obtida de 𝛼 pelos seguintes procedimentos:
a) Se 𝛼 é atômica, então 𝛼′ é a substituição de toda ocorrência de um símbolo 𝑠 por 𝜑(𝑠).
b) Se 𝛼 é 𝛽 ∨ 𝛾, então 𝛼′ é 𝛽′∨ 𝛾′. c) Se 𝛼 é ¬𝛽, então 𝛼′ é ¬𝛽′.
d) Se 𝛼 é ∃𝑥𝛽, então 𝛼′ é ∃𝑥(𝑈 𝑥 ∧ 𝛽′).
5. Interpretação: Para toda fórmula 𝛼 em 𝐿(𝑇1) com 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 variáveis livres, toma-
mos 𝛼𝐼 como 𝑈 𝑥
1 → 𝑈 𝑥2 → · · · → 𝑈 𝑥𝑛→ 𝛼′.
6. 𝐼 é uma interpretação de 𝑇1 em 𝑇2: Para todo axioma não lógico 𝜙 de 𝑇1, 𝑇2 ⊢ 𝜙𝐼.
Discursivamente, uma interpretação oferece um substituto sintático das variáveis in- dividuais, constantes e predicados em uma teoria usando relações definíveis em outra teoria. Desse modo, quando escrevemos explicitamente a interpretação, e.g. da teoria dos números
na teoria dos conjuntos, toda vez que alguém quiser afirmar uma relação na teoria dos nú- meros, ele ou ela pode interpretar o teorema em relações da teoria dos conjuntos (que é um procedimento finitário), provar a versão interpretada da relação na teoria dos conjuntos e, depois, afirmar uma validade sobre números sem necessariamente ter um entendimento a respeito de números.
Mais ainda, se estabelecemos uma interpretação de 𝑇1 em 𝑇2, podemos derivar a
consistência relativa entre essas teorias finitariamente. Nesse caso, a consistência de 𝑇2implica
a consistência de 𝑇1.
Fato 1 (Teorema da interpretação) Se existe uma interpretação 𝐼 de 𝑇1 em 𝑇2 e 𝛼 é uma fórmula em 𝐿(𝑇1), então:
1. se 𝑇1 ⊢ 𝛼, então 𝑇2 ⊢ 𝛼𝐼.
2. se 𝑇2 é consistente, então 𝑇1 é consistente. (consistência relativa).
Geralmente, uma prova semântica de consistência relativa começa com a suposição de um modelo ℳ para alguma teoria 𝑇1. Depois disso, devemos realizar algumas modificações,
extensões ou restrições sobre ℳ de modo a obter um modelo que satisfaça os axiomas de
𝑇2. Isso, como já discutido, tem forte comprometimento ontológico a não ser que ofereça-
mos, de acordo com a posição filosófica, um método de acesso que justifique ou desvie dessa dificuldade. Interpretações podem preencher essa lacuna em um sentido específico: muitas demonstrações modelo-teoréticas de consistência relativa podem ser convertidas sem muita dificuldade para uma contraparte sintática através de interpretações. De fato, sabendo qual extensão ou restrição devemos fazer em um modelo é notadamente um guia para instanciar- mos a interpretação entre as teorias.