Repérage dans l’espace

On a−−→AG=−−→AC+−−→CG; or−−→CG=−→BFdonc finalement,−−→AG−−−→AC−−→BF=→−0 . Ainsi les trois vecteurs sont coplanaires.

10.5 Repérage dans l’espace

10.5.1 Repère cartésien de l’espace

Définition 10.6

SiO,I,Jsont trois points non alignés etKun point qui n’est pas dans le plan (OIJ), on dit que (O;−→OI,−→OJ,−−→OK) est un repère de l’espace.

Remarque 10.2

Cas particuliers, vocabulaire et notations :

– si les droites (OI), (OJ) et (OK) sont deux à deux perpendiculaires, on dit que le repère est orthogonal ;

– si de plus on aOI=OJ=OK=1, on dit que le repère est orthonormal ; – en posant :~i=−→OI,~j=−→OJet~k=−−→OK, on peut aussi noter le repère (O;~i, ~j,~k).

Théorème 10.1

Soit (O;~i, ~j,~k) un repère de l’espace. Pour tout pointMde l’espace, il existe un unique triplet (x,y,z) de réels tel que−−→OM=x~i+y~j+z~k.

Démonstration :

On se place dans un repère orthogonal (O;~i, ~j,~k).

SoitHle point d’intersection du plan (OIJ) et de la parallèle à (O;~k) passant parM. Soit (x;y) les coordonnées deHdans le repère (O;~i, ~j) du plan (OIJ). On a :−−→OH = x~i+y~jet le couple (x;y) est unique.

Par définition deH, les vecteurs−−→HMet~ksont co-linéaires. Donc il existe un unique réél ztel que

−−→HM=z~k. On a donc :

−−→OM=−−→OH+−−→HM=x~i+y→−j +z→−k Donc le triplet (x;y;z) existe et il est unique.

O

A

B C

~i ~j

~k

H M

Remarque 10.3

La première coordonnée (x) est appeléel’abscisse, la deuxième (y) est appeléel’ordonnée, et la troisième (z) est appeléela cote.

Définition 10.7

Soit (O;~i, ~j,~k) un repère de l’espace et~uun vecteur de l’espace. On appellecoordonnéesdu vecteur~udans ce repère le triplet (x;y;z) coordonnées du pointMtel que−−→OM=u. On note~

~u(x;y;z).

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84 Géométrie spatiale

10.5.2 Propriétés

En se plaçant dans un repère de l’espace, les propriétés de calculs des coordonnées de vecteurs ou de points sont identiques que dans le plan ; il faut simplement étendre les formules à la troisième coordonnée :

– siAetBsont deux points de l’espace, les coordonnées de−→ABsont (xB−xA;yB−yA;zB−zA) ; – si~u(x;y;z) est un vecteur de l’espace etk∈R, le vecteurk~ua pour coordonnées (kx;ky;kz) ; – en se plaçant dans un repèreorthonormé, siu(x;~ y;z) est un vecteur de l’espace, sa norme

est~u= p

x²+y²+z²;

– les coordonnées du milieu de [AB] sont_x

A+xB

2 ;^yA+y₂ ^B;^zA+z₂^B

; – . . .

10.5.3 Équations de surfaces

Dans cette partie, on considère que l’espace est rapporté à un repère orthonormal (O;~i, ~j,~k) Propriété 10.3

SoitA(0; 0;λ) un point de l’espace oùλ∈R. Le planPparallèle à (O;~i, ~j) passant parAa pour équationz=λ.

On note :P:z=λ.

Cela signifie que :

– siM(x;y;z)∈P, alorsz=λ(xetysont quelconques), – siMest un point tel quezM=λ, alorsM∈P.

Remarque 10.4

De même, les plansQetRpassant respectivement parB(0;µ; 0) etC(ν; 0; 0) et parallèles respectivement à (O;~i,~k) et (O;~j,~k) ont pour équation :

Q:y=µ et R:x=ν

Définition 10.8

SoitC un cercle de centreOet de rayonRdans le plan (Oxy). Le cylindre d’axe (Oz) et de rayonRest l’ensemble des droites orthogonales au plan (Oxy) en un point deC.

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10.5 Repérage dans l’espace 85

Propriété 10.4

Une équation cartésienne d’un cylindre d’axe (Oz) et de rayonRest du type x²+y²=R²

Définition 10.9

SoitCun cercle inclus dans un plan parallèle à (Oxy) et de centreI∈(Oz). Le cône de centre O, d’axe (Oz) contenant le cercleCest l’ensemble des droites passant parOet un point deC. Chacune de ces droites est appelée unegénératricedu cône.

Propriété 10.5

Une équation cartésienne d’un cône de centreOet d’axe (Oz) est du type x²+y²=tan²(α)z²

oùαest l’angle formé par une génératrice et l’axe du cône.

Définition 10.10

Une sphère de centreΩet de rayonR>0 est l’ensemble des points situés à une distanceR deΩ.

86 Géométrie spatiale

Propriété 10.6

L’équation cartésienne d’une sphère de centreΩ(α;β;γ) et de rayonR>0 est : (x−α)²+(y−β)²+(z−γ)²=R²

«Deux choses sont infinies : l’univers et la bêtise humaine ; mais en ce qui concerne l’univers, je n’en ai pas encore acquis la certitude absolue.»

AlbertEinstein

Chapitre 11

Limites de suites

11.1 Limite d’une suite

11.1.1 Suite convergente

Définition 11.1

Soituune suite. On dit queuadmet pour limiteLsi tout intervalle ouvert contenantL contient tous les termes de la suiteuà partir d’un certain rang.

Dans ce cas, on dit que la suiteu convergeversLou encore queuestconvergenteversLet on écrit :

n→+∞lim un=L

Les suites qui ne convergent pas sont ditesdivergentes.

Remarque 11.1

Dire queà partir d’un certain rangtous les termes d’une suiteuappartiennent à un intervalle Isignifie qu’il existeun entierptel que pourtout n≥pon aun∈I.

Propriété 11.1(unicité de la limite)

Siuest une suite convergente alors sa limite est unique.

Démonstration :

Soituune suite convergente. Supposons queuadmette deux limites distinctesLetL⁰. On peut prendre par exempleL<L⁰et on noted=^L0₃^−L.

SoitIl’intervalle ]L−d;L+d[. La suiteuconverge versLdonc à partir d’un certains rang par exemple à partir deuptous les termes deusont dansIcarIest un intervalle ouvert contenant L. Ainsi :

sin≥palorsun∈I

SoitI⁰l’intervalle ]L⁰−d;L⁰+d[. La suiteuconverge versL⁰donc à partir d’un certains rang par exemple à partir deup⁰tous les termes deusont dansI⁰carI⁰est un intervalle ouvert contenantL⁰. Ainsi :

sin≥p⁰alorsun∈I⁰

L L⁰

I I

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88 Limites de suites

Ainsi, sin≥max(p,p⁰) (où max(p,p⁰) est la plus grande valeur entrepetp⁰) alorsun∈I∩I⁰. Or cette intersection est vide ! Notre supposition de départ est donc fausse : il n’existe donc qu’une seule limite.

Un tel raisonnement est appeléraisonnement par l’absurde: on suppose le contraire de ce qu’on veut montrer et on cherche à aboutir à une absurdité qui nous prouve alors que notre supposition était fausse.

Exemple 11.1

Quelques exemples à connaître :

– la suiteudéfinie pourn∈N^∗parun=¹_nconverge vers 0 ; – la suiteudéfinie pourn∈N^∗parun=_n¹2converge vers 0 ; – la suiteudéfinie pourn∈N^∗parun= √¹nconverge vers 0.

11.1.2 Suite divergente

Parmi les suites divergentes, on peut rencontrer plusieurs cas : celles qui admettent une limite infinie, celles qui ont des sous-suites convergentes, et les autres. . .

Exemple 11.2

Soitu,vetwles suites définies surNpar :un=2n+3,vn=cos (nπ) etwnest lan^edécimale deπ.

Les premiers termes de ces suites sont :

n un vn wn

0 3 1 3

1 5 −1 1

2 7 1 4

3 9 −1 1

4 11 1 5

5 13 −1 9

On retrouve ici les trois cas :

– les termes de la suiteuvont prendre des valeurs de plus en plus grandes et même aussi grandes que souhaité :udiverge vers+∞;

– la suitevne prend que deux valeurs :−1 et 1 ; la sous-suite des termes de rang pair est constante : sa limite vaut donc 1 et la sous-suite des termes de rangs impairs est aussi constante mais elle égale à−1 sa limite vaut−1 ;

– la suitewprend des valeurs entières comprises entre 0 et 9 : elle n’admet pas de limite et on ne peut dégager de sous-suite « régulière » qui converge.

Définition 11.2

Soituune suite. On dit queuadmet pour limite+∞si tout intervalle ouvert du type ]A;+∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors :

n→+∞limun= +∞

On dit aussi queudiverge vers+∞.

Exemple 11.3

Quelques exemples à connaître :

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