AI =−→
IB +A
+B
+I
Preuve :
=⇒
SiI est le milieu de[AB], alors les diagonales du quadrilatère aplatiAIBI se coupent en leur milieu carI est le milieu de[AB]et évidemment de[II].AIBI est donc un parallélogramme, c’est à dire −→AI =−→IB.
⇐=
Si Si −→AI =−→IB , alors AIBI est un parallélogramme par définition des vecteurs, et donc ses diagonales se coupent en leurs milieux. Les diagonales de AIBI sont [AB] et [II]. Puisque le milieu de [II] est évidemment I, I est bien le milieu de [AB].
2) Repère du plan
2 - 1) Notation
On définit un repère du plan par trois points non alignés (O, I, J). Par convention : – (OI)est l’axe des abscisses ;
– (OJ) est l’axe des ordonnées.
Notation vectorielle : Soit un repère(O, I, J). En définissant~i =−→
OI et~j = −→OJ, on peut noter ce repère (O;~i;~j).
– I est l’image de O par la translation de vecteur~i; – J est l’image de O par la translation de vecteur~j.
Différents types de repères :
– lorsque (OI)et (OJ) sontperpendiculaires, on dit que le repère estorthogonal; – Lorsque OI =OJ , on dit que le repère est normé;
– Lorsque le repère est à la fois orthogonal et normé, il est orthonormal (on dit aussi orthonormé).
2 - 2) Coordonnées dans un repère
Coordonnées d’un point
Définition 8 : Dans un repère (O;~i;~j), dire qu’un point M a pour coordonnées (xM;yM), c’est dire que : −−→OM =xM ×~i+yM ×~j
Autre formulation :
M(xM;yM) est l’image de O dans l’enchaînement de xM fois la trans-lation de vecteur~i, suivie de yM fois la translation de vecteur~j.
−−→OM = 3~i+ 4~j
Définition 9 : Dans un repère (O;~i;~j), dire qu’un vecteur ~u a pour coordonnées (x;y), c’est dire que :
~u=x×~i+y×~j
Autre formulation : ~u est le vecteur issu de la translation dexfois la translation de vecteur~i, suivie de y fois la translation de vecteur~j.
Notation :
Remarque Importante : dans un repère (O;~i;~j) , on admet qu’il n’y a qu’une seule expression d’un vecteur en fonction de~i et~j : les coordonnées d’un vecteur et d’un point sont donc uniques pour ce repère.
2 - 3) Exprimer des coordonnées dans un repère
Égalité de vecteurs
Coordonnées d’un vecteur donné par ses extrémités Propriété 9 : Dans un repère du plan, avec
A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points du plan, les coordonnées du vecteur −→
AB sont
Preuve : par le relation de Chasles,
−→AB =−→
Coordonnées du vecteur opposé, coordonnées de la somme de deux vecteurs Propriété 10 : Dans un repère du plan,
avec ~u(x;y) et ~v(x′;y′) du plan, les
Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel Propriété 11 : Dans un repère du plan,
avec ~u(x;y) etk ∈R, les coordonnées du vecteur k×~u sont (k×x;k×y)
On notek~u(kx;ky)ou encore k~uÄkxkyä
Preuve :
k~u=k×(x~i+y~j) = kx×~i+ky×~j
Coordonnées du milieu d’un segment
Propriété 12 : Dans un repère du plan, avec A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points
2 - 4) Distance en repère orthonormé
Propriété 13 : norme d’un vecteur ~u(x;y) Dans un repère orthonormal du plan,
||~u||=√
x2+y2
Preuve : Puisque le repère est orthonormal, on peut construire un triangle rectangle de côtés me-surant x et y entre l’origine et l’extrémité des
re-présentants de ~u. ~j ~i
~u(x;y)
Puisqu’il est normé, ajouter les carrés des distances en abscisses et ordonnées a un sens (même unité de mesure).
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore et obtenir le résultat.
Propriété 14 : distance entre deux points
Dans un repère orthonormal du plan, avecA(xA;yA) etB(xB;yB)deux points,
ä et appliquer la propriété précédente.
Remarque : comme AB >0,
AB =»(xB−xA)2+ (yB−yA)2 ⇐⇒AB2 = (xB−xA)2+ (yB−yA)2
2 - 5) Colinéarité : expression dans un repère
Propriété 15 : Dans un repère du plan, soient ~u et~v deux vecteurs :
~u et~v sontcolinéaires ⇐⇒les coordonnées de ~u et celles de~v sontproportionnelles Cette propriété permet de mettre en place la méthode suivante :
Méthode 7 : pour démontrer la colinéarité de deux vecteurs
pour montrer que deux vecteurs sont ou ne sont pas colinéaires, on peut utiliser les mé-thodes de proportionnalité, comme tester l’égalité des produits en croix :
~u(x;y)et~v(x′;y′) sont colinéaires⇐⇒xy′ =x′y⇐⇒xy′−x′y= 0
Chapitre 13
Équations de droites
Bulletin Officiel (B.O)
Contenu Capacités Attendues Commentaires Droites
Droite comme courbe représentative d’une fonction affine.
Équations de droites.
– Tracer une droite dans le plan repéré.
– Interpréter graphiquement le coefficient directeur d’une droite.
– Caractériser analytiquement une droite.
On démontre que toute droite a une équation soit de la forme y=mx+p, soit de la forme x=c.
Droites parallèles.
– Établir que trois points sont alignés, non alignés.
– Reconnaître que deux droites sont parallèles, sécantes.
– Déterminer le point d’intersec-tion de deux droites sécantes.
On fait la liaison avec la colinéarité de vec-teurs.
C’est l’occasion de résoudre des systèmes d’équations linéaires.
Objectifs du chapitre :
item références auto évaluation
interpréter graphiquement le coefficient directeur d’une droite
caractériser une droite par une équation tracer une droite dans un plan repéré
reconnaître que deux droites sont paral-lèles, sécantes
établir que trois sont ou non alignés déterminer les coordonnées du point d’intersection de deux droites sécantes
Dans tout ce chapitre, on se place dans le plan muni d’un repère (O;~i;~j)
1) Équation de droite
1 - 1) Vecteurs directeurs d’une droite
Définition 1 : les vecteurs directeurs d’une droite(AB)sont tous les vec-teurs non nuls (6=~0) qui sont colinéaires à −→AB.
Remarques :
Il existe une infinité de vecteurs directeurs d’une droite. Ils sont tous colinéaires entre eux.
Pour caractériser géométriquement une droite, on peut : – donner deux points ;
– donner un point et un vecteur directeur.
1 - 2) Équations cartésiennes de droite
Définition 2 : une équation de droite du type ax+by+c= 0 est appelée équation cartésienne (avec au moinsa oub non nul).
Remarque: une droite a une infinité d’équations cartésiennes, qui sont toutes équivalentes à un coefficient multiplicatif près.
Important : il n’est pas nécessaire en seconde de savoir retrouver une équation cartésienne de droite, mais cela permet d’interpréter graphiquement des systèmes d’équations, et d’in-troduire les équations réduites.
1 - 3) Équation réduite d’une droite
Propriété 1 : dans un repère quelconque, toute droite a uneunique équation réduitede la forme y=mx+pou x=c, avec m,p et cdes nombres réels qui caractérisent la droite.
Vocabulaire :
– m est le coefficient directeur de la droite ; – pest l’ordonnée à l’origine de la droite.
Méthode 1 : appartenance à une droite dont on connaît une équation.
Une équation de droite a deux inconnues. On ne peut pas la résoudre, mais on peut l’utiliser poursavoir si un point M appartient à la droite: il s’agit de tester l’équation
Important: sur une droite d’équation réduitey=mx+p, l’ordonnée des points est fonction de l’abscisse, et cette fonction est affine. Cela explique la propriété de représentation des fonctions affines . . .
Remarques :
– Les droites parallèles à (Oy)ont une équation réduite du type : x=c – Les autres ont une équation réduite du type :y=mx+p
Propriété 2 : un vecteur directeur facile à trouver
Une droite d’équation réduite y = mx +p a pour vecteur directeur (entre autres) ~u(1 ; m) Une droite d’équation réduite x = c a pour vecteur directeur (entre autres)~j(0 ; 1)
~i b 6= 0 dirige une droite (d), alors le coefficient directeur de (d)est b
a
Preuve : le vecteur ~v
Ç
D’après la propriété précédente, on a bien m = b
a
Remarque: le coefficient directeur qui s’ob-tient en faisant b
a est à mettre en rapport avec des calculs effectués sur les fonctions affines.
~i