Deux remarques ` a ce propos

a) Dans le cas o`u Zk est satur´e, les obstructions en question (i.e. l’image de

pr₁Zk) s’expriment bien en termes de “torsion” (voir par exemple [2] ; la

ques-tion, qui remonte d’ailleurs `a Cartan lui-mˆeme, est reprise rapidement dans [41],

Appendice B,§1). La traduction en termes de connexions de Cartan est indiqu´ee

dans diff´erents articles, en particulier [52] : elle s’exprime en termes de

“constan-tes” (ou “fonctions”) de structure d’alg`ebres de Lie (ou cog`ebres de Lie) filtr´ees

tronqu´ees. La question m´eriterait d’ˆetre reprise plus syst´ematiquement.

b) Le Z_k⁽¹⁾ qu’on obtient ainsi n’est pas satur´e en g´en´eral. Pour pouvoir

conti-nuer, il faut le remplacer par le plus grand Z_k⁽²⁾ ⊂ Z_k⁽¹⁾ qui soit satur´e. Ceci

est en pratique la partie la plus difficile du travail, correspondant `a ce qui

est d´ecrit dans la litt´erature comme “restriction du groupe structural”, avec

´eventuellement adjonction de nouvelles int´egrales premi`eres. Je ne peux ici que

renvoyer aux exemples de loc. cit. qui permettront au lecteur de se faire une

id´ee de ces questions.

Bien sˆur, lorsqu’on a obtenu un sous-groupe satur´e, le prolongement d’ordre

un permet de passer dek`ak+ 1. En continuant, d’apr`es l’involutivit´e g´en´erique

[41], on arrive `a une situation involutive, et les prolongements suivants

n’ap-portent alors aucune information suppl´ementaire.

3.Cette derni`ere assertion n’est exacte qu’en premi`ere approximation, pour la

raison suivante : en pratique, dans un probl`eme d’´equivalence, on ne part pas

d’une ´equivalenced’ordrek, mais d’une famille, d´ependant d’un certain nombre

de fonctions qui jouent le rˆole d’ind´etermin´ees diff´erentielles ; la discussion des

prolongements se fait en fonction de celles-ci.

Pour prendre un exemple typique, on peut consid´erer le probl`eme

d’´equiva-lence deG-structures suivant :Gest un sous-groupe alg´ebrique fix´e deGℓ(n) ;

on se donnenformes

ωi=^Xλ^j_idxj, resp.ω^′_i=^Xλ^′_i^jdx^′_j,

bases deT∗X resp.T∗X′,X etX′ deux ouverts de Zariski deCn. Le probl`eme

est ici d’´etudier les germes (analytiques) inversibles f : X → X′ v´erifiant

ω′◦f =ωg,ggerme d’application deX dansG. Les ind´etermin´ees diff´erentielles

sont iciωet ω^′, ou, si l’on pr´ef`ere, lesλ^j_i et λ^′_i^j.

Il est probable (c’est le cas dans les exemples trait´es) que la r´eponse est

donn´ee par un ensemble diff´erentiellement constructible, fabriqu´e `a partir

d’in-variants diff´erentiels des deuxG-structures (cet ´enonc´e, un peu vague,

demande-rait `a ˆetre pr´ecis´e). Mais, `a l’heure actuelle on n’a mˆeme pas, `a ma connaissance,

de th´eor`eme de finitude `a la Ritt-Raudenbush, ou de th´eor`eme d’involutivit´e

g´en´erique “avec param`etres diff´erentiels”. On pourrait penser pour cela `a

utili-ser la th´eorie de l’´elimination diff´erentielle (voir [58] ; pour un ´enonc´e en termes

de th´eorie des mod`eles, voir par exemple [45]) ; mais ce th´eor`eme semble

s’ap-pliquer seulement si l’une des donn´eesω ouω′ est explicite ; voir `a ce sujet des

remarques dans [51].

N.B.Cet article ´etait termin´e quand j’ai pris connaissance des travaux de P.

Ol-ver et J. Pohjanpelto sur les formes de Maurer-Cartan (appel´ees ici “connexions

de Cartan”). Voir notammentSelecta Math.11(2005), 99-126. Leur formalisme,

tr`es simple et naturel, permettrait de simplifier les constructions faites ici en II.5

et II.6.

N´eanmoins, il me semble que, dans le cas intransitif, leur utilisation de ces

formes est diff´erente de celle qui est faite ici, du fait que leurs espaces de rep`eres

sont pris en fixant un point et non une section de l’espace des invariants (=

des int´egrales premi`eres). Ceci les conduit `a des formules un peu diff´erentes de

celles de cet article-ci.

R´ef´erences

[1] M. Audin, Les syst`emes hamiltoniens et leur int´egrabilit´e, Cours

sp´ecialis´es, Collection S.M.F., EDP Sciences 2001.

[2] R.L. Bryant, S.S. Chern, R.B. Gardner, H.L. Goldschmidt,

P.A.Griffiths,Exterior differential systems, Springer 1991.

[3] A.Buium, Differential groups of finite dimension, Lect. Notes in Math.

1506, Springer, 1991.

[4] S.Cantat, F.Loray, Holomorphic dynamics, Painlev´e VI equation and

character varieties, `a paraˆıtre.

[5] E. Cartan, Les groupes de transformations continus, infinis, simples,

Ann. E.N.S.26(1909), 93-161.

[6] H.Cartan, S´eminaire E.N.S. 1949/50, expos´e 19, Benjamin 1967.

[7] P.Cartier, Groupo¨ıdes de Lie et leurs alg´ebro¨ıdes,S´eminaire Bourbaki

987, (2007-2008).

[8] G.Casale, Feuilletages singuliers de codimension un,Annales Inst.

Fou-rier26-3(2006), 735-779.

[9] G.Casale, Le groupo¨ıde de Galois de P1 et son irr´eductibilit´e, Comm.

Math. Helv.83(2008), 471-519.

[10] G.Casale, Une preuve galoisienne de l’irr´eductibilit´e au sens de

Nishioka-Umemura de la premi`ere ´equation de Painlev´e, Ast´erisque 324 (2009),

83-100.

[11] G.Casale, The Galois groupoid of Picard-Painlev´e VI equation,R.I.M.S.

Kˆokyˆuroku Bessatu,B2(2007), Kyoto.

[12] P.J. Cassidy, Differential algebraic groups, Amer. J. Math. 94 (1972),

891-954.

[13] P.J. Cassidy, M.F. Singer, Galois theory of parameterized differential

equations and linear differential algebraic groups, Differential equations

and quantum groups, D. Bertrand et al. editors, European Math. Soc.

2007.

[14] P. Deligne, Equations diff´erentielles `a points singuliers r´eguliers, Lect.

Notes in Math.163, Springer, 1970.

[15] P.Deligne,Cat´egories tannakiennes, P. Cartier et al. editors,

Grothen-dieck Festschrift vol. 2,Progress in Math.87, Birkh¨auser 1990, 111-195.

[16] P.Deligne, J. Milne, Tannakian categories,Lect. Notes in Math.900,

Springer (1982), 101-228.

[17] T.Dyckerhoff,Picard-Vessiot extensions over number fields,

Diplomar-beit, Heidelberg (2005).

[18] A.Fr¨olicher, A.Nijenhuis, Theory of vector valued differential forms,

I.Nederland Akad. Wetensch. Proc. Ser. A59(1956), 338-359.

[19] R. Fuchs, Ueber lineare homogene Differentialgleichungen zweiter

Ord-nung,Math. Annalen63(1907), 301-321.

[20] P. Gabriel, Construction de pr´esch´emas quotients, in SGA 62-63,

fasc. 2a, expos´e 5, I.H.´E.S.

[21] B. Gambier, Sur les ´equations diff´erentielles du second ordre et du

pre-mier degr´e dont l’int´egrale est `a points critiques fixes, C.R. Acad. Sc.

Paris142(1906) 266-269, etActa Math. 33(1910), 1-55.

[22] R.B.Gardner, Differential methods interfacing control theory, Brackett

et.al. editors,Progress in Math.27, Birkh¨ausesr 1983, 117-180.

[23] H. Goldschmidt, Sur la structure des ´equations de Lie, I. Le troisi`eme

th´eor`eme fondamental,J. Diff. Geometry63(1972), 357-373.

[24] A.Grothendieck, SGA 1960-61, expos´e IV, I.H.E.S.

[25] A. Grothendieck, Techniques de descente et th´eor`emes d’existence I,

S´eminaire Bourbaki 1959-60, expos´e 190.

[26] A.Grothendieck, Techniques de construction et th´eor`emes d’existence

en g´eom´etrie analytique, S´eminaire Cartan 1960-61, vol. 13, Benjamin

1967, expos´es 7-17.

[27] V.Guillemin, S.Sternberg, An algebraic model for transitive

differen-tial geometry,Bull. Amer. Math. Soc.70(1964), 16-47.

[28] A. Haefliger, Groupo¨ıdes d’holonomie et classifiants, Ast´erisque 116

(1984), 70-97.

[29] R.Hartshorne,Algebraic Geometry, Graduate texts in Math. 52,

Sprin-ger 1977.

[30] M.Jimbo, T.Miwa, Monodromy preserving deformations of linear

ordi-nary differential equations, II,Physica2D(1981), 407-448.

[31] N.Kamran, K.G.Lamb, W.F.Shadwick, The local equivalence problem

for ^d_dx

²

^y

2

=Fx, y,^dy_dxand the Painlev´e transcendants,J. Diff. Geometry

22(1985), 139-150.

[32] E.R.Kolchin,Differential algebra and algebraic groups, Academic Press

1973.

[33] E.R.Kolchin,Differential algebraic groups, Academic Press 1985.

[34] E.R.Kolchin, Constrained extensions of differential fields,Adv. in Math.

12(1974), 147-170.

[35] G. Laumon, L. Moret-Bailly, Champs alg´ebriques, Ergebnisse der

Math.39, Springer 2000.

[36] K.Mackensie, Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry,

London Math. Soc. Lect. Notes Series124, Cambridge University Press,

1987.

[37] B. Malgrange, Equations de Lie I,J. Diff. Geometry6-4 (1972),

503-522.

[38] B. Malgrange, Frobenius avec singularit´es, 2. Le cas g´en´eral,

Inven-tiones Math.39(1977), 67-89.

[39] B. Malgrange, Le groupo¨ıde de Galois d’un feuilletage, Monographies

de L’Enseignement Math.38(2001), 465-501.

[40] B.Malgrange, On nonlinear differential Galois theory,Chinese Ann. of

Math.23B : 2 (2002), 219-226.

[41] B. Malgrange, Syst`emes diff´erentiels involutifs, Panoramas et

Synth`eses,Soci´et´e Math. France19, 2005.

[42] B. Malgrange, Differential algebraic groups, `a paraˆıtre.

[43] B.Malgrange, La vari´et´e caract´eristique d’un syst`eme diff´erentiel

ana-lytique,Ann. Inst. Fourier50(2000), 491-518.

[44] Yu I.Manin, Sixth Painlev´e equation, universal elliptic curve and mirror

ofP²,AMS transl.(2)186(1998), 131-151.

[45] D. Marker, Model theory ; an Introduction, Graduate texts in Math.,

Springer 2002.

[46] B.Mazur, W.Messing, Universal extensions and one dimensional

crys-talline cohomology,Lect. Notes in Math.370, Springer 1974.

[47] M.Mazzocco, Picard and Chazy solutions to the Painlev´e VI equation,

Math. Ann.321(2001) 157-195.

[48] J.J.Moral`es-Ruiz, J.P.Ramis, Galoisian obstruction to integrability of

hamiltonian systems,Methods and Appl. of Analysis 8(2001), 33-96.

[49] J.J. Moral`es-Ruiz, J.P. Ramis, C. Simo, Integrability of Hamiltonian

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