Remarques finales

Pour conclure, nous aimerions ajouter certaines remarques concernant le prob- lème de la construction de solutions solitoniques, domaine qui se développe très rapidement. En particulier, les solitons incluent les solutions élémentaires des systèmes d’EDPs en deux variables indépendantes et q variables dépendantes

ut+ a(u)ux= b(u), (6.1.1)

qui possèdent la forme d’onde de propagation

u = ψ(x_{− ct)} (6.1.2)

où c est la vitesse de propagation de l’onde. Afin d’assurer le caractère solitonique de la solution (6.1.2), nous demandons que le profil de la fonction ψ(x − ct) tende vers une constante u0

± lorsque x → ±∞. De plus, ces solutions doivent avoir une

grande stabilité. Ces dernières conditions signifient que les solitons ne perdent pas leur "individualité" lors de leur superposition. Il s’agit alors d’interactions élastiques.

Nous pouvons constater que la matrice des dérivées de la solution solitonique de l’EDP (6.1.1) peut être représentée par des éléments intégraux simples non homogènes

∂uα

∂xi = γ α_λ

i, (Iqλ1+ a(u)λ2)γ = b(u). (6.1.3)

où Iq est la matrice identité de dimension q × q. Les solitons de l’équation (6.1.1)

[46]. Ces états simples peuvent décrire dans certains cas des perturbations local- isées. Pour chaque temps fixé t = t0, nous supposons que la dérivée de la solution

ux(t0,·) possède un support compact. La possibilité de décrire les solitons à partir

de l’équation (6.1.3) dans le langage des éléments intégraux simples suggère que nous pouvons décrire leurs superpositions dans ce langage. Il est nécessaire de souligner que jusqu’à présent, il n’a pas été possible d’obtenir des résultats posi- tifs par la méthode des caractéristiques généralisées. L’idée la plus simple nous permettant de résoudre ce problème est de procéder par analogie avec le prob- lème de superposition des ondes simples en termes des invariants de Riemann. Ces interactions analogues aux solitons ont aussi un caractère élastique. C’est-à- dire que nous pouvons décrire ces interactions à l’aide de la somme des éléments simples intégraux qui correspondent aux ondes qui entrent dans la superposition. Il semble prometteur de chercher des solutions double-solitoniques sous la forme où la matrice des dérivées des solutions peut être représentée comme la somme de deux éléments simples intégraux non homogènes

du = ∂u α ∂xidx i _=ξ(θ 1I − A)−1B⊗ (θ1dt− dx) + (1− ξ)(θ2I − A)−1B⊗ (θ2dt− dx), (6.1.4) où λs _{= (θ}

s,−1), γs = (θsI − A)−1B, s = 1, 2, et la quantité ξ peut être con-

sidérée comme une fonction dépendante de t et x. Il s’avère que les contraintes correspondant à la forme postulée (6.1.4) ne sont pas suffisantes pour extraire les solutions double-solitoniques de l’ensemble des solutions du système initial (6.1.1). La matrice des dérivées des solutions double-solitoniques consiste en la somme de deux éléments simples intégraux non homogènes, mais chaque solu- tion de (6.1.4) ne possède pas la propriété d’être une solution double-solitonique. Illustrons cela avec un exemple.

Considérons l’équation de Sine-Gordon sous la forme d’un système du premier ordre

vt= sin ϕ,

ϕx = v.

Il est bien connu dans la littérature du sujet ([1] et références incluses) que cette équation admet entre autres, des solutions de la type solitonique (par exemple, bumps, kinks) ainsi que des solutions multisolitoniques. La matrice des dérivées pour les solutions double-solitoniques prend la forme

du = ξ   sin ϕ θ1 −v  ⊗ (θ₁dt− dx) + (1 − ξ)   sin ϕ θ2 −v  ⊗ (θ₂dt− dx) (6.1.6) qui peut être écrite sous la forme équivalente des quatre équations

vt= sin ϕ, ϕt=−ξvθ1 − (1 − ξ)vθ2, vx =−ξ sin ϕ θ1 − (1 − ξ) sin ϕ θ2 , φx = v, (6.1.7) pour cinq fonctions indépendantes v, ϕ, ξ, θ1, θ2. L’équation (6.1.7) est équivalente

au système (6.1.5) car les expressions pour vx et φtn’imposent aucune contrainte,

puisque les variables θ1, θ2et ξ sont arbitraires. Pour extraire les solutions double-

solitoniques, il est donc nécessaire d’ajouter des contraintes supplémentaires. Nous donnons à présent un exemple de solution pour ce type de problème pour certains cas particuliers. Considérons tout d’abord le cas quand les vecteurs d’onde λs_{sont des 1-formes constantes et notons les par λ}

0

s_{. Considérons le système}

hyperbolique du premier ordre en p variables indépendantes

aiµ_α(u)uα_i = bµ(u), µ = 1, . . . , l, α = 1, . . . , q, i = 0, . . . , p. (6.1.8) Nous cherchons les solutions pour lesquelles la matrice des dérivées est sous la forme d’une somme d’éléments simples intégraux non homogènes,

du = ξ1γ 01⊗ λ0 1_{+ ξ}2_γ 02⊗ λ0 2_{, γ} 0s ∈ Tu U, λ 0 s_{= λ} 0 s i(u)dxi ∈ Tx∗X, s = 1, 2, γ 0s = (γ 0 1 s, . . . , γ 0 q s)∈ Rq, λs= (λs1, . . . , λsp)∈ Rp, (6.1.9) sous la contrainte ξ1+ ξ2 = 1, (6.1.10)

où les ξs_{sont des variables qui dépendent seulement de x. Afin de ne pas alourdir}

la notation, nous omettons dans ce qui suit l’indice 0 pour les vecteurs λs _{et γ}s_.

sont linéairement indépendants. Les éléments simples non homogènes intégraux vérifient les équations algébriques

aiµα(u)γ(s)α λsi = bµ(u), s = 1, 2. (6.1.11)

En considérant la dérivée extérieure du système (6.1.9), nous obtenons l’équation suivante

γ1⊗ dξ1∧ λ1+ γ2⊗ dξ2∧ λ2+ ξ1dγ1∧ λ1+ ξ2dγ2 ∧ λ2 = 0,

dξ1+ dξ2 = 0,

(6.1.12) qui doit être vérifiée lorsque l’équation (6.1.9) est satisfaite. En vertu de (6.1.9), nous avons les relations suivantes

dγs= γs,uαduα = ξ1γ_s,γ

1⊗ λ

1_{+ ξ}2_γ

s,γ2 ⊗ λ

2_{, s = 1, 2. (6.1.13)}

En remplaçant les relations (6.1.13) dans le système prolongé (6.1.12), nous obtenons

γ1⊗ dξ1∧ λ1+ γ2⊗ dξ2∧ λ2 + ξ1ξ2[γ1, γ2]⊗ λ1∧ λ2 = 0,

dξ1+ dξ2 = 0.

(6.1.14) Sous l’hypothèse que les covecteurs λ1 _{et λ}2 _{sont linéairement indépendants et}

que ξ1_ξ2 _{6= 0, l’équation (6.1.14) implique que le commutateur des vecteurs γ} 1 et

γ2 est engendré par une combinaison linéaire de γ1 et γ2

[γ1, γ2] = α1(u)γ1+ α2(u)γ2, (6.1.15)

où les coefficients αs _{dépendent seulement de u. La condition (6.1.15) signifie}

que les hypothèses du théorème de Frobenius sont satisfaites. Ainsi, pour chaque point u0 dans l’espace des variables dépendantes U, il existe une surface tangente

aux vecteurs γ1 et γ2 passant par le point u0 ∈ U. En remplaçant (6.1.15) dans

les équations (6.1.14) et en utilisant l’indépendance linéaire des vecteurs γ1 et γ2,

nous obtenons

dξ1_{∧ λ}1+ α1ξ1ξ2λ1_{∧ λ}2 = 0, dξ1+ dξ2 = 0, dξ2_{∧ λ}2+ α2ξ1ξ2λ1_{∧ λ}2 = 0.

Le lemme de Cartan [10] nous permet de démontrer qu’il existe deux fonctions µ1 _{et µ}2 _{telles que}

dξ1 = µ1λ1+ α1ξ1ξ2λ2, dξ1+ dξ2 = 0, dξ2 = µ2λ2_{− α}2ξ1ξ2λ1.

(6.1.17) En additionnant les équations (6.1.17) et en utilisant le fait que les vecteurs λ1

et λ2 _{sont linéairement indépendants, nous obtenons}

µ1 = α2ξ1ξ2, µ2 =−α1_ξ1_ξ2_{. (6.1.18)}

En vertu de (6.1.10), la substitution de (6.1.18) dans l’équation (6.1.17) nous permet d’obtenir la relation suivante

dξ1

ξ1_{(1− ξ}1₎ = α

2_λ1_{+ α}1_λ2_{, ξ}2 _{= 1}

− ξ1. (6.1.19)

En prenant la dérivée extérieure de l’équation (6.1.19), nous obtenons la relation

dα1 ∧ λ2_{+ dα}2_{∧ λ}1 _{= 0, (6.1.20)}

qui doit être satisfaite lorsque l’équation (6.1.9) est vérifiée. En tenant compte de (6.1.9), nous avons

dαs= α_,usαduα = ξ1αs_,γ

1λ

1_{+ (1}

− ξ1)αs_,γ2λ2, s = 1, 2. (6.1.21) Remplaçons les relations (6.1.21) dans l’équation (6.1.20) pour obtenir

ξ1α_,γ1_{1 − (1 − ξ}1)α2_,γ2 = 0. (6.1.22) L’équation (6.1.22) nous mène à considérer les deux cas suivants :

Cas 1 : Lorsque les coefficients par rapport aux puissances de ξ1 _{dans (6.1.22)}

sont identiquement nuls, nous obtenons les relations suivantes

α1_,γ1 = 0, α2_,γ2 = 0. (6.1.23)

Cas 2 : Lorsque l’équation (6.1.22) génère des contraintes sur la variable ξ1_{, nous}

obtenons la relation suivante

ξ1 = α 2 ,γ2 α1 ,γ1 + α 2 ,γ2 . (6.1.24)

En remplaçant (6.1.24) dans l’équation (6.1.19) et en utilisant le fait que les vecteurs λ1 _{et λ}2 _{sont linéairement indépendants, nous obtenons}

α1 =  ln α 2 ,γ2 α1 ,γ1 + α 2 ,γ2  ,γ2 , α2 =₋  ln  1₋ α 2 ,γ2 α1 ,γ1 + α 2 ,γ2  ,γ1 . (6.1.25)

Les conditions (6.1.15), (6.1.23) ou (6.1.25) garantissent l’existence de la solution du système (6.1.9). Le degré de liberté du système (6.1.9) dans le premier cas dépend d’une fonction arbitraire d’une variable alors que dans le deuxième cas, la solution possède seulement l’arbitrarité sur les constantes d’intégration.

Sans perte de généralité, en normalisant les vecteurs γ1 et γ2 de façon appro-

priée, nous pouvons obtenir que le commutateur (6.1.15) est égal à zéro. Dans ce cas, les vecteurs γ1 et γ2 constituent un système holonomique, c’est-à-dire qu’il

existe une surface paramétrique u = f(r1_{, r}2_{), tangente aux champs de vecteurs}

γ1 et γ2, telle que les EDPs

∂f ∂rs = α

s_{(f )γ}

(s)(f ), s = 1, 2, (6.1.26)

sont satisfaites, où les coefficients αs _{dépendent de f. En vertu de l’hypothèse}

que les vecteurs γ1 et γ2 sont linéairement indépendants et en tenant compte de

la relation (6.1.26), le système (6.1.9) peut être transformé à la forme

drs = ξsαsλs= 0, ξ1+ ξ2 = 1, s = 1, 2, (6.1.27) où les variables αs _{et ξ}s _{deviennent des fonctions des paramètres r}1 _{et r}2_.

En supposant que les profils des dérivées des fonctions rs

x possèdent chacun un

support compact et disjoint pour le temps initial t = t0 (représentant par exemple

deux solitons localisés), i.e.

∃as, bs_{∈ R} : supp r_xs(t0, x)⊂ [as, bs], s = 1, 2, (6.1.28)

et

supp r1

x(t0, x)∩ supp rx2(t0, x) = φ, (6.1.29)

où a1 _{< b}1 _{< a}2 _{< b}2_{, la forme de l’équation (6.1.27) implique que les fonctions}

rs_{(t, x) sont constantes le long des droites données par}

λ

0 s

En conséquence, le résultat de la superposition de deux solitons consiste en la propagation des deux solitons sans changement dans leur phase1 _{et leur pro-}

fil. Dans ce cas, ces solitons se propagent de façon indépendante, c’est-à-dire qu’ils n’ont aucune influence l’un sur l’autre. Selon le langage introduit dans la littérature du sujet [107], ces interactions correspondent à une superposition linéaire. Donc, le cas que nous considérons ne peut pas décrire les solutions double- solitoniques de l’équation de Sine-Gordon (voir par exemple [106])

ϕ = 4 arctan " v sinh x+t β coshv(x−t)_β # , _{où β = (1 − v}2)1/2, v _{6= 0, 1,} (6.1.31)

puisque le résultat de la superposition de deux solitons change les phases de façon appropriée. Donc, le problème que nous avons posé, la construction des doubles solitons et des n-solitons à l’aide de la méthode des caractéristiques, reste ouvert jusqu’à présent.

Le parallèle entre la problématique des superpositions des solitons et les super- positions des ondes de Riemann présentées dans ce travail nous motive à pour- suivre nos études dans ce domaine. Il est à noter que la problématique de la construction de ces solutions est basée sur la somme des éléments simples inté- graux non homogènes, qui ne doivent pas seulement se limiter à des états simples représentant des solitons.

Nous construisons à présent des solutions particulières du système de Kadomtsev- Petviashvili sans dispersion en utilisant les symétries conditionnelles et en expri- mant ces solutions en termes des invariants de Riemann. Plus précisément, nous construisons trois classes de solution de rang-2.