Remarque 2

Nous pouvons traduire les expressions de l'opérateur N donné dans la proposition 2.5.7 en fonction de la divergence de contact et de la divergence tangentielle. D'une part, si k est entier, nous avons

N1|Pk δ : Fkζ k _{7→ −(−1)}F˜kk 2D(Fk)ζ k−1_{γ + k(2λ + k − 1)(∂} xFk)ζk−1.

En d'autres termes, N1(Fkζk) = 1 2γ(∂ζD)(Fkζ k_{) + (2λ + k − 1)(∂} x∂ζ)(Fkζk).

Donc pour tout entier naturel k, l'opérateur N1|Pk

δ s'écrit N1|Pk δ = 1 2γ∂ζD + (2λ + k − 1)(∂x∂ζ). (4.29) D'autre part, si k ∈ 1 2 + N, alors N2|Pk δ : Fkζ k−1 2γ 7→ (k −1 2)(k + 2λ − 1 2)∂x(Fk)ζ k−3 2γ + (−1)F˜k1 2(2λ + k − 1 2)D(Fk)ζ k−1 2. En d'autres termes, N2(Fkζk− 1 2γ) = (k + 2λ −1 2)(∂x∂ζ)(Fkζ k−1_{2γ) +} 1 2(2λ + k − 1 2)D∂γ(Fkζ k−1_2).

Donc pour tout k ∈ 1

2 + N, l'opérateur N2|Pδk s'écrit (k + 2λ − 1 2)(∂x∂ζ) + 1 2(2λ + k − 1 2)D∂γ. (4.30)

Nous rappelons que dans le cas général, l'opérateur qui sépare l'opérateur de Casimir CD _{sur les opérateurs diérentiels et l'opérateur de Casimir C}Σ _{sur les symboles ns}

s'écrit pour tout entier naturel k (ici k désigne le degré canonique du symbole S) comme

NPD|Pk δ = 1 2γD∂ζ+ (2λ + k − 1) 2 2∂x∂ζ + D∂γ
. (4.31) On peut alors comparer l'opérateur (4.31) et les opérateurs (4.29) et (4.30). En eet, pour tout entier naturel k, les opérateurs N1|Pk

δ et NPD|P k

δ sont les mêmes : il sut de

voir qu'ils sont égaux quand on les applique à un symbole S = Fkζk.

De même, pour tout demi-entier naturel k, les opérateurs N2|Pk

δ et NPD|Pδk sont égaux

quand on les applique à un symbole S = Fkζk−

1

2γ. Le degré d'Heisenberg d'un tel

symbole est égal à k tandis que son degré canonique est égal à k +1 2.

Table des matières

1 Notions de base 8 1.1 Notion de superalgèbre . . . 8 1.1.1 Superespace vectoriel . . . 8 1.1.2 Superalgèbre . . . 10 1.1.3 Stucture de A-modules . . . 11

1.2 Notion de préfaisceau et faisceau sur un espace topologique . . . 12

1.2.1 Faisceau de R-superalgèbres de superfonctions sur Rp|q _{. . . 14}

1.3 Notion de superdomaine . . . 16

1.4 Supervariétés . . . 17

1.5 Faisceau supertangent et champs de vecteurs sur Rp|q _{. . . 18}

1.5.1 Superdérivations . . . 18

1.5.2 Champs de vecteurs sur M . . . 20

1.6 1-Formes diérentielles sur M . . . 21

1.7 Structure de contact sur M . . . 22

1.7.1 Champs de vecteurs de contact . . . 24

1.8 La réalisation matricielle de spo(2l + 2|n) . . . 28

1.9 Modules des densités et d'opérateurs diérentiels . . . 35

1.9.1 Module des densités sur M . . . 35

1.9.2 Module des opérateurs diérentiels sur M . . . 36

1.9.3 Filtration canonique sur l'espace des opérateurs diérentiels sur M 38 1.9.4 Filtration d'Heisenberg sur l'espace des opérateurs diérentiels sur M . . . 39

1.9.5 Biltration de l'espace d'opérateurs diérentiels sur M . . . 40

1.10 Quantication g-équivariante . . . 41

1.10.1 La quantication ane . . . 42

1.10.2 L'application γ . . . 42

1.10.3 Opérateur de Casimir . . . 43

2 Quantication spo(2|1)−équivariante sur S1|1 ₅₀

2.1 Superfonctions et champs de vecteurs sur S1|1 _{. . . 50}

2.2 La superalgèbre de Lie spo(2|1) . . . 51

2.2.1 La superalgèbre de Lie des champs de vecteurs de contact sur S1|1 ₅₁ 2.3 Module de densités de poids λ sur S1|1 _{. . . 52}

2.4 Opérateurs diérentiels et symboles associés . . . 52

2.5 Outils de la quantication équivariante . . . 56

2.5.1 Application de quantication ane . . . 56

2.5.2 L'application γ et opérateur de Casimir . . . 57

2.6 Construction de la quantication spo(2|1)-équivariante . . . 61

2.6.1 Valeurs critiques . . . 61

2.6.2 La construction . . . 62

2.7 Formules explicites pour la quantication spo(2|1)-équivariante . . . 63

2.7.1 Le cas des degrés entiers naturels . . . 64

2.7.2 Le cas des degrés non entiers naturels . . . 65

2.8 Quantication spo(2|1)-équivariantes des symboles d'ordres 1 2, 1, 3 2 et 2 . . 66

3 Quantication spo(2|2)−équivariante sur S1|2 ₆₇ 3.1 Superfonctions et champs de vecteurs sur S1|2 _{. . . 67}

3.2 La superalgèbre de Lie spo(2|2) . . . 68

3.2.1 La superalgèbre de Lie des champs de vecteurs de contact . . . . 68

3.3 Module des densités de poids λ sur S1|2 _{. . . 69}

3.4 Opérateurs diérentiels et symboles sur S1|2 _{. . . 70}

3.5 Outils de la quantication équivariante . . . 76

3.5.1 Application de quantication ane . . . 76

3.5.2 L'application γ . . . 76

3.5.3 L'opérateur de Casimir . . . 80

3.6 Construction de la quantication spo(2|2)-équivariante . . . 84

3.6.1 Valeurs critiques . . . 84

3.6.2 La construction . . . 84

3.7 Formules explicites pour la quantication spo(2|2)-équivariante sur S1|2 _{. 86} 3.7.1 Quantication des symboles homogènes de degré k entier . . . 86

3.7.2 Quantication des symboles homogènes de degré k non entier . . 89

3.7.3 Discussion sur les situations critiques . . . 90

4 Quantications nes spo(2l + 2|n)-équivariantes sur R2l+1|n ₉₁ 4.1 Espace de Symboles ns associés à Dλµ(M ). . . 92

4.1.1 Structure de module sur les espaces de symboles Sδ(M ),Pδ(M )et

Σδ(M ) . . . 94

4.2 Aperçu des résultats connus sur Rp|q . . . 96

4.3 Application spo(2l + 2|n)-équivariante de Pδ(M )dans Sδ(M ). . . 98

4.4 Opérateur de Casimir sur les espaces de symboles Sδ(M )et Σδ(M ) . . . 102

4.5 Opérateur de Casimir sur les opérateurs diérentiels . . . 104

4.6 Unicité de la quantication ne spo(2l + 2|n)-équivariante . . . 108

4.7 Du cas général au cas particulier . . . 110

4.7.1 Remarque 1 . . . 111

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