2.4 Le pas d’échantillonnage en x - Aliasing spatial
2.4.5 Comment remédier à l’aliasing spatial
Pour la PRD, l’aliasing spatial est influencé par quatre paramètres (équ. (E2.12)): • la fréquence
• l’offset maximum
• le pas d’échantillonnage spatial
pmax(ms/km)
qmax(ms/km2)
Figure 2.15 : Evolution des normes L1 et L2 des décompositions des données de la figure 2.3
lorsque la gamme en p|q explorée varie. (a) LRD. (b) PRD
(b)
(a)
2.4 -Le pas d’échantillonnage en x - Aliasing spatial
• l’élimination des hautes fréquences sur les grands offsets, qui sont les plus aliasées. Mais cette solution a bien sûr l’inconvénient majeur d’éliminer de l’information, ce qui n’est jamais satisfaisant.
• la création de nouvelles traces par interpolation afin de réduire le pas d’échantillonnage spatial, en utilisant bien sûr des interpolateurs qui réduisent l’aliasing (Spitz, 1991).
Figure 2.16 : Collection de traces contenant un unique évènement
horizontal. xmin=0, xmax=1000m,∆x=50m. Signal: ricker 30Hz
0 500 1000 x (m)
1000
0
t (ms)
Figure 2.18 : Evolution des normes L1 et L2 des décompositions des données de la figure 2.16
lorsque la gamme en p|q explorée varie. (a) LRD. (b) PRD
pmax(ms/km)
qmax(ms/km2)
(b)
(a)
2 -Echantillonnage et Aliasing
(a)
(b)
(c)
t q (ms/km2) 150 300 500 0 1000 x (m)2.4 -Le pas d’échantillonnage en x - Aliasing spatial
• une gamme de courbures la plus faible possible, tout en respectant ce qui est contenu dans les données: en effet si on choisit une gamme trop faible excluant certains évènements, on peut effectivement réduire l’aliasing, mais l’inversion ne peut pas expliquer ces évènement, ce qui engendre des artefacts pouvant être aussi gênants que ceux engendrés par l’aliasing.
D’autres solutions moins évidentes sont envisageables:
Inversion de l’opérateur (LL*)
L’aliasing se traduisant numériquement par une instabilité de l’opérateur (L*L)-1, il est quelquefois conseillé de calculer l’opérateur (LL*)-1 qui doit être plus stable dans ce cas (Kostov, 1990), et d’appliquer l’inverse à droite au lieu de l’inverse à gauche (voir (E1.34)).
D’un point de vue théorique, il est équivalent d’utiliser l’un ou l’autre opérateur, qui doivent conduire à la même solution. L’inverse à droite ne résout ici que le problème de l’instabilité, pas celui de l’indétermination.
D’un point de vue pratique, l’inconvénient principal en PRD est que seule la matrice L*L est de Toeplitz, LL*étant quelconque (Darche, 1990; en LRD les opérateurs sont tous deux de Toeplitz si∆x est constant). Inverser L*L est donc beaucoup plus rapide (par l’algorithme de Levinson) qu’inverser LL*.
La différence peut se faire au niveau du facteur d’amortissement utilisé, qui peut être d’autant plus faible que l’opérateur est stable. Néanmoins, la présence de bruit dans les données réelles conduit à toujours introduire un facteur d’amortissement (Tarantola, 1987), ce qui réduit la portée de cet effet en pratique.
Finalement on obtient des solutions très semblables quel que soit l’opérateur utilisé (Kostov, 1990).
Décompositions parcimonieuses
Une autre voie plus intéressante est suggérée par les courbes de la figure 2.18: sous l’effet de l’aliasing spatial, la norme L1 de la solution augmente, alors que la norme L2 diminue. Peut-être faut-il alors régulariser l’inversion par la norme L1.
Pour une donnée d, au lieu de choisir la solution de norme L2 minimum:
on choisit la solution de norme L1 minimum (Nichols, 1994):
La figure 2.19 contient deux PRD des données de la figure 2.16, calculées avec une gamme de q telle que l’aliasing est parfaitement visible sur la PRD en norme L2. Sur l’autre PRD, calculée en norme L1, les figures d’aliasing ont disparues et l’évènement central est beaucoup mieux focalisé. On sait d’une manière générale qu’une des propriétés de la norme L1 est de rassembler au maximum l’énergie d’un évènement en un seul point de la transformée: cela concerne entre autre la partie aliasée de l’évènement. On obtient en fait des résultats comparables, à des degrés divers, en utilisant à la place de la norme L2 toute autre minimisation qui tend à concentrer l’énergie en des points privilégiés de la transformée. D’une manière générale, on appelle ces solutions des solutions parcimonieuses (voir chapitre 4).
d L ˜u – 22+ε u 22 ( ) u min u 22 u2(t0 x0, )dt0dx0 t0
∫
x0∫
= d L ˜u – 22+ε u 1 ( ) u min u 1 u t0 x0( , )dt0dx0 t0∫
x0∫
=2 -Echantillonnage et Aliasing t q (ms/km2) 500 -500
(a)
(b)
Figure 2.19 : PRD des données fig. 2.16 en condition d’aliasing spatial. (a) PRD en norme L2
minimum. (b) PRD en norme L1 minimum. En norme L1 toute l’énergie est focalisée en un seul
q (ms/km2)
500 -500
2.5 -Conclusions
2.5 - Conclusions
Pour les cas usuels de transformées de Radon, l’échantillonnage des variables temps t et t0 n’est pas problématique: les fréquences maximums rencontrées sur les données et sur le modèle sont liés par le stretch factor (égal à 1.0 pour les familles de droites, de paraboles, et d’hyperboles P-SCAN).
Les pas d’échantillonnage pour p (LRD) et q (PRD) se déduisent de l’ouverture et de la fréquence maximum des données. Le sur-échantillonnage de ces variables n’est pas utile pour la qualité de la décomposition (ni même souhaitable du point de vue de la stabilité de l’inversion). Le sous-échantillonnage ne permet pas de représenter correctement les données les plus HF et les plus proches des bords du domaine spatial.
Le pas d’échantillonnage spatial∆x devrait être déterminé à l’acquisition des données suivant les gammes de pentes p ou de courbures q susceptibles d’être contenues dans les données. Une fois ce pas fixé, si les gammes de pentes ou de courbures dépassent une valeur critique l’inversion est instable à cause de l’aliasing spatial. Pour autant, tous les évènements ne sont pas forcément aliasés: la condition d’aliasing pour un évènement donné porte non pas sur la gamme de pentes (ou de courbures) totale, mais sur la différence maximum entre les pentes utilisées et la pente de l’évènement.
L’aliasing spatial n’empêche pas une décomposition des données (les résidus sont faibles) mais se traduit par une dispersion de l’énergie dans le modèle loin de la position attendue.
xmax–xmin
3 -Le Problème inverse
3 - Le Problème inverse
Figure 3.0 :3.1 -Introduction
3.1 - Introduction
Nous nous intéressons dans ce chapitre au(x) formalisme(s) du problème inverse appliqué à la décomposition de Radon, i.e. la résolution du problème .
La formulation des moindres carrés généralisés (par exemple Tarantola, 1987) introduit le modèle à priori, ainsi que les matrices de covariances sur les données et sur le modèle, qui décrivent les incertitudes sur les données observées et sur le modèle à priori.
Le formalisme de Bayes repose quant à lui sur les notions de probabilités et d’état d’information sur les différentes variables du système. Les moindres carrés généralisés constituent en fait un cas particulier d’inversion bayésienne.
L’application pratique de ces concepts n’est pas forcément aisée -parfois ni même possible- mais ils permettent d’avoir une bonne compréhension des phénomènes en jeu. Ils montrent notamment comment introduire de l’information à priori dans l’inversion, et donnent une meilleur compréhension de la signification de certains paramètres (tel que le facteur d’amortissement).
La décomposition de Radon est posée sous une forme proche des moindres carrés généralisés, ce qui permet entre autres de la résoudre par la minimisation de formes quadratiques. Compte tenu de la taille des systèmes en jeu, on préfère une méthode itérative telle que le gradient conjugué (dans le domaine temps) aux méthodes directes. Le domaine temps est par ailleurs plus adapté que le domaine de Fourier dès lors que la décomposition n’est pas effectuée en moindres carrés simples (norme L2), à cause de l’application de pondération variables en temps notamment.
La décomposition en norme L2 est étudié plus en détail, notamment la signification et le choix du facteur d’amortissement. L’influence des variations de couverture (dues aux mutes par exemple) est prise en considération.
Enfin nous étudions l’utilisation des filtres rho (rho-filter, Claerbout, 1985) pour accélérer la convergence du gradient conjugué. Alors que les filtres rho usuels sont déduits des transformées continues et infinies, nous proposons pour la LRD (et la PRD) un filtre rho déduit des transformées discrètes et finies.