Relations entre classes

Il est important de noter que les familles d´ecrites pr´ec´edemment permettent de d´efinir un nombre important de classes compl`etes diff´erentes. La taille de ces classes est un facteur important puisqu’elle est `a la base de leur construction.

La diversit´e des comportements est assur´ee par la structure des familles d´ecrites et surtout sur les id´ees fondatrices de celles-ci. La principale id´ee que nous avons utilis´ee consiste en une limitation de la vision du pass´e. De nombreux travaux sont bas´es sur la mˆeme id´ee naturelle.

Un des avantages de ces structures est que le choix des strat´egies n’est a priori pas subjectif. Moins en tout cas que dans le cas d’une simulation impliquant des strat´egies d´ecrites par des joueurs humains, comme par exemple les exp´eriences d’Axelrod, cf. [Axe92], ou de Delahaye et Mathieu, cf. [DM93]. Cela ne signifie pas que ces exp´eriences ne soient pas int´eressantes, loin de l`a, mais plutˆot que la validit´e de leurs r´esultats peut toujours ˆetre mise en doute du fait non seulement du faible nombre de strat´egies utilis´ees, mais aussi des collusions possibles entre participants qui ne sont pas ´evitables. Dans le cas des classes compl`etes, ces mˆemes arguments sont difficilement utilisables.

Rappelons qu’une classe compl`ete correspond `a l’ensemble de toutes les strat´egies d´efinissables `a partir d’une structure particuli`ere. Dans notre cas les diff´erentes structures sont les familles :

– memory,

– memory with dynamic start,

– memory with limited dynamic start, – binary,

– binary with dynamic start, – moore,

– mealy

Afin de mieux identifier les diff´erentes classes compl`etes de strat´egie nous d´esignons les classes compl`etes par une construction proche de celle utilis´ee pour le nommage de leurs strat´egies. En bref, les classes compl`etes seront repr´esent´ees par la concat´enation du pr´efixe repr´esentant leur famille et des diff´erents param`etres les caract´erisant. Pour les classes des familles de strat´egies `a m´emoire, ou `a m´emoire binaires, ces param`etres sont uniquement les valeurs de M et O ; pour les classes issues des familles de strat´egies automates, ces param`etres incluent en plus le nombre d’´etats des automates. Une classe compl`ete ne pourra donc pas inclure des strat´egies ayant un nombre d’´etats diff´erents.

Voici quelques exemples de classes compl`etes :

– mem 0 1, est la classe compl`ete des strat´egies de la famille memory avec M=0, et O=1 ;

– bind 2 1, est la classe compl`ete des strat´egies de la famille binary with dynamic start avec M=2 et O=1 ;

– moore 0 1 2, est la classe compl`ete des strat´egies de la famille moore avec M=0, O=1 et n = 2, c’est-`a-dire `a 2 ´etats.

Il est int´eressant de noter que toutes les strat´egies d’une mˆeme classe compl`ete ont des comporte- ments diff´erents. Il se peut cependant que ces comportements semblent identiques dans de nombreux cas, face `a une strat´egie monotone comme all c ou all d par exemple.

La taille d’une classe compl`ete est simplement le nombre de strat´egies qui composent la classe. Le tableau 5.2 r´ecapitule les tailles des diff´erentes classes compl`etes bas´ees sur les familles disponibles en fonction de leurs param`etres.

Classe Taille

mem m o 2(max(m,o)+2(m+o)) memd m o 2(2 max(m,o)−1+2(m+o)) memld m o 2(max(m,o)+1+2(m+o)) bin m o 2(max(m,o)+2(m+o+1)) bind m o 2(2 max(m,o)−1+2(m+o+1)) moore m o n 2n× nmax(m,o)×n2(m+o)n mealy m o n (2n)max(m,o)×(2n)2(m+o)n

Tab. _{5.2 – Tailles des classes compl`etes.}

Les tableaux 5.3, 5.4 et 5.5 indiquent la taille de certaines classes compl`etes. Classe Taille mem 0 1 8 mem 0 2 64 mem 0 3 2 048 mem 0 4 1 048 576 mem 1 1 32 mem 1 2 1 024 mem 1 3 524 288 Classe Taille memd 0 2 128 memd 0 3 8 192 memd 0 4 8 388 608 memd 1 2 2 048 memd 1 3 2 097 152 Classe Taille memld 0 3 4 096 memld 0 4 2 097 152

Tab. _{5.3 – Taille des classes compl`etes des familles `a m´emoires seules.}

L’´etude des valeurs de ces tables indique clairement les classes dont les tailles sont suffisamment raisonnables pour pouvoir ˆetre utilis´ees dans des simulations d’´evolution ´ecologique. Pour chaque variation d’un des param`etres un exemple de classe inaccessible du fait de sa trop grande taille est

Classe Taille bin 0 1 32 bin 0 2 1 024 bin 0 3 524 288 bin 1 1 512 bin 1 2 262 144 Classe Taille bind 0 2 2 048 bind 0 3 2 097 152 bind 1 2 524 288

Tab._{5.4 – Taille des classes compl`etes des familles `a m´emoires binaires.} Classe Taille moore 0 1 2 128 moore 0 2 2 4 096 moore 0 3 2 2 097 152 moore 1 1 2 2 048 moore 1 2 2 1 048 576 moore 0 1 3 17 496 mealy 0 1 2 1 024 mealy 0 1 3 279 936 mealy 0 2 2 1 048 576 mealy 1 1 2 262 144

Tab._{5.5 – Taille des classes compl`etes des familles automates}

indiqu´ee dans les cellules gris´ees. L’inaccessibilit´e de ces classes est directement li´ee aux limitations de notre simulateur logiciel et de la puissance de calcul, mais aussi de stockage, des ordinateurs `a notre disposition.

Il est clair que toute les classes ne sont pas ´equivalentes, mais il existe cependant des relations entre les strat´egies de certaines classes et plus largement entre certaines classes.

Deux classes compl`etes de strat´egies de deux familles diff´erentes sont dites correspondantes si elles partagent leurs valeurs de param`etres :

– M, et O pour les classes `a m´emoires et `a m´emoires binaires, – M, O, et n (le nombre d’´etats) pour les strat´egies automates.

Proposition 5.1 Toutes les strat´egies des classes `a amorce fixe sont incluses dans les classes `a amorce dynamique correspondantes.

La raison en est simple comme le montre le cas de la strat´egie mem 0 2 ccdddd qui commence par coop´erer deux fois puis trahit toujours. Cette strat´egie a un comportement parfaitement identique `a la strat´egie memd 0 2 cccdddd. En fait, toutes les strat´egies `a amorce fixe d’une classe particuli`ere sont incluses dans la classe `a amorce dynamique ´equivalente : elles n’utilisent tout simplement pas la dynamicit´e de l’amorce.

On a donc :

mem m o ⊂ memd m o bin m o ⊂ bind m o

Proposition 5.2 Toutes les strat´egies des classes `a m´emoires simples sont incluses dans les classes `

a m´emoire binaires correspondantes.

Ici encore l’explication est ´evidente. Les strat´egies de la famille `a m´emoires binaires ajoutent un m´ecanisme pour la d´etermination du comportement. Certaines strat´egies des classes de cette

famille peuvent ne pas utiliser ce m´ecanisme. La strat´egie mem 0 1 ccd a le mˆeme comportement que bin 0 1 ccdcd. Il s’agit en fait dans les deux cas de la strat´egie tit for tat.

On a :

mem m o ⊂ bin m o memd m o ⊂ bind m o

On peut ´evidemment combiner les propositions 5.1 et 5.2 et obtenir de ce fait :

mem m o ⊂ bind m o

Proposition 5.3 Toutes les strat´egies des classes `a m´emoire simples et binaires sont incluses dans les classes de strat´egies automates, au sens de Mealy, correspondantes.

En effet, il est ´evident que toutes les strat´egies des classes `a m´emoire simple sont incluses dans les classes de strat´egies automates de Mealy correspondantes `a un seul ´etat, du fait de la d´efinition de la fonction de sortie des automates de Mealy. De plus on comprend ais´ement ´egalement que toutes les strat´egies `a m´emoires binaires d’une classe particuli`ere sont incluses dans une classe `a automates de Mealy correspondante qui compte deux ´etats. Un ´etat peut ˆetre utilis´e pour le cas o`u l’adversaire a plus souvent trahi que coop´er´e et l’autre pour le cas contraire. L’automate permet en quelque sorte de coder l’indicateur binaire.

Or il est tout aussi trivial de voir que toutes les strat´egies d’une classe d’automates de Mealy `a n ´etats sont incluses dans la classe correspondante `a n + 1 ´etats. Plus largement on a mˆeme : Proposition 5.4 Toutes les strat´egies d’une classe d’automates `a n ´etats sont incluses dans les classes d’automates correspondantes `a m ´etats, avec n ≤ m.

Une fois de plus, l’id´ee essentielle est que chaque famille ajoutant un m´ecanisme de choix par rapport `a une autre permet de d´ecrire des classes compl`etes incluant toutes les classes de la seconde. Une classe compl`ete est faite de toutes les strat´egies d’une classe, donc entre autre des strat´egies qui n’utilisent pas ce nouveau m´ecanisme.

Cette remarque est importante puisqu’elle permet de voir que certaines classes sont des restrictions d’autres et que, plus largement, faire des simulations incluant deux classes compl`etes cousines n’a que peu d’int´erˆet. En revanche, la modification des param`etres M, et O, assure quasiment `a deux classes de la mˆeme famille de n’avoir aucune strat´egie au mˆeme comportement. Il se peut ´evidemment qu’en moyenne et face `a des individus particuliers les comportements semblent identiques, mais au sein des classes les comportements ne peuvent ˆetre les mˆemes face `a toutes les strat´egies.

Pour conclure la figure 5.1 repr´esente sous la forme d’un sch´ema les diff´erentes relations possibles entre les classes correspondantes des quatre familles de strat´egies d´efinies dans ce chapitre.