/2 Les limites de la Théorie de l’Utilité Espérée utilisée dans un cadre univarié
Théorème 1 42 : La relation des préférences dans l’ensemble des distributions L vérifie les
axiomes 1 à 4 si et seulement il existe une fonction u : C → Ρ continue, strictement croissante et unique à une transformation affine croissante près telle que pour tout FX, FY∈ L :
[
]
[
]
( ) ( ) ( ) ( ) u(X) u(Y)
X Y X Y
F fF ⇔
∫
u c dF c >∫
u c dF c ⇔ >C C E[ E
.b Aversion au risque et prime de risque dans le cadre de la TUE
Dans le cadre de la TUE, la condition d’aversion faible pour le risque s’écrit : ∀X ∈ X, u[Ε( X )]≥Ε[u( X )]. On reconnaît là l’inégalité de Jensen, caractéristique des fonctions concaves. Aussi dans le modèle d’espérance d’utilité, l’aversion faible pour le risque correspond à une fonction d’utilité concave. En ce qui concerne l’aversion forte pour le risque, Rothschild et Stiglitz (1970) établissent une équivalence entre étalement préservant la moyenne43 et espérance d’utilité en montrant qu’on a l’équivalence entre : Y MSP X et ∀ u croissante et concave : Ε[u(X)] ≥ Ε[u(Y)]. On a déjà vu que l’aversion forte impliquait l’aversion faible. Le résultat de Rothschild et Stiglitz
41En effet, comme le rappelle Gollier (1999), si je préfère un lot A contant un gâteau et une bouteille de vin à un lot B
contenant 3 gâteaux et pas de vin, il n’y a pas de raison de penser que je préfère du coup le lot A’ contenant 2 gâteaux et 2 bouteilles de vin au lot B’ contenant 3 gâteaux et 1,5 bouteille de vin, simplement parce que :
(2,2)=0.5(1,1)⊕ 0.5(3,3)(3,1.5)=0.5(3,0)⊕ 0.5(3,3)
42 Preuve : Von Neumann-Morgenstern (1944) et Fishburn (1970). 43 noté MSP comme Mean Spread Preserving.
(1970) montre que l’implication inverse vaut aussi : autrement dit que l’aversion faible implique l’aversion forte. En effet, considérons un individu ayant de l’aversion faible pour le risque. Par la caractérisation précédente, cet individu a une fonction d’utilité (.)u concave. Pour que cet individu soit fortement averse au risque, il faut qu’il préfère à deux risques de même espérance le moins étalé au sens de la MSP : c’est précisément ce que nous assure le résultat de Rothschild et Stiglitz. Au final dans le modèle d’espérance d’utilité, l’aversion faible et forte pour le risque coïncident donc, et on parle simplement d’« aversion pour le risque ». En matière d’aversion au risque, on distingue alors 3 cas de figure : si u est linéaire, l’agent est neutre au risque, si u est convexe l’agent est riscophile et si u est concave, ce qui est l’hypothèse généralement retenue, l’agent est riscophobe. Pourtant les notions d’aversion faible et d’aversion forte sont conceptuellement différentes : préférer du certain à du risque ne signifie pas obligatoirement, comme il a été montré dans les études expérimentales qu’on doit préférer du moins risqué à du plus risqué : des agents peuvent préférer éviter le risque, mais étant déjà dans une situation risquée, peuvent avoir envie de prendre plus de risque. Voici déjà exhibée une première limite du modèle TUE…
Enfin on ne peut définir le concept d’aversion pour le risque sans présenter la notion de
prime de risque. On a vu précédemment qu’un individu faiblement averse au risque préférait toujours
à un risque X quelconque la variable dégénérée δ E X[ ] donnant Ε[ X ] avec certitude, autrement dit qu’on avait toujours δ E X[ ]fX pour un individu faiblement averse au risque. Une question intéressante est alors de savoir quel est le montant maximal qu’un individu est prêt à payer pour échanger le risque initial X contre la variable dégénérée δ E X[ ]. C’est précisément la définition de la
prime de risque. Formellement la prime ρ Xassocié au risque X est le réel défini implicitement par l’égalité suivante :
X
X E
X ≈ δ [ ]−ρ . Dans la théorie de la TUE, la prime de risque ρ trouve une
représentation graphique particulièrement simple. En effet, considérons le risque binaire suivant
1 2
{( , );( ,1 )}
X = x p x − p où x1= W0− D et x2= W0, et prenons p= 0,5. Notons
1 2 0
[ ] (1 )
x = E X = px + − p x = W − pD et u x( )= E u X[ ( )]= pu x( ) (11 + − p u x) ( )2 . Dans ce contexte, considérer une entreprise d’assurance qui proposerait une assurance totale remboursant intégralement le dommage D en cas de sinistre contre une prime actuarielle π =a pD revient simplement à considérer que la possibilité est offerte à l’individu d’échanger le risque X avec le risque dégénéré δ E X[ ] . Or, c’est ce que fera à coup sûr l’individu averse au risque, étant donné que dans ce cas, comme on peut le voir sur le graphique ci-dessous, on a automatiquement :
( ) ( )
u x > u x , du fait de la concavité de (.)u . En fait, un individu averse au risque sera même prêt à payer une prime π plus chère que la prime actuarielle π =a pD44 pour obtenir cette assurance totale. En terme de prime d’assurance, la prime de risque ρ peut alors être vue comme le surplus maximum que peut acquérir l’assureur en tarifant au dessus de la prime actuarielle tout en laissant
l’assuré continuer à s’assurer, soit mathématiquement parlant la quantité Argmax( ) ( a)
π π π− sous
contrainte de participation de l’assuré.
Graphique 6 : Une représentation graphique de la prime de risque
Intéressons nous également au problème suivant. Etant donnés 2 individus, l’individu 1 de fonction d’utilité u et l’individu 2 de fonction d’utilité 1 u , est-il possible de comparer ces deux 2 individus en terme d’attitudes (ou plus exactement en terme d’aversion) à l’égard du risque ? La réponse (positive) à cette question a été apportée par Arrow (1965) qui propose deux caractéristiques équivalentes pour traduire le fait que l’individu 1 est plus averse au risque que l’individu 2. La première caractérisation, assez naturelle si on se souvient que dans le cadre de la TUE l’aversion au risque est prise en compte à travers le degré de concavité de la fonction d’utilité, revient à supposer que la fonction d’utilité du premier est plus concave que celle du deuxième, autrement dit qu’il existe une certaine fonction ϕ : R→ R, croissante, strictement concave telle que u =1 ϕ (u ). La deuxième caractérisation plus originale revient à supposer que face à un risque 2
X donné, la prime de risque du premier ρ1est supérieure à la prime de risque du second ρ2, soit : 1
ρ ≥ρ2. Remarquons que cette caractérisation est beaucoup plus originale puisqu’elle consiste à caractériser un résultat global (être plus averse au risque) par un résultat local (avoir une prime de risque supérieure pour un risque X donné). Cette étrangeté se comprend mieux au vu d’un autre résultat établi par Arrow et Pratt (1965) et qui donne une valeur locale de la prime de risque dans le cas particulier où X est une variable aléatoire telle que X W= + ε avec E(ε )=0 et V(ε )=σ 2. Si
(.)
u est croissante et de classe C2, on peut alors faire l’approximation suivante : 2 '' ' ( ) 2 ( ) X u W u W σ ρ = −
. Ce résultat donne une valeur locale de la prime de risque (au voisinage d’un
niveau de richesse W) qui permet d’isoler dans la valeur de cette prime une partie objective, la moitié de la variance de ε , et une partie subjective dépendant des préférences individuelles, la quantité '' ' ( ) ( ) u W u W
− , aussi appelée indice d’aversion pour le risque et notée ( )I W . Ce résultat montre A alors qu’en se restreignant à la classe des risques ayant la forme du risque X précédemment considéré (une constante plus un bruit), la comparaison des valeurs des primes de risque ρ1 et ρ2 entre deux individus (1 et 2) renvoie en fait à la comparaison des indices d’aversion au risque, puisque la partie objective de la prime de risque ne diffère pas d’un individu à l’autre. C’est alors précisément parce que cette partie subjective ne dépend que des préférences individuelles et non du risque particulier que l’on considère qu’il est possible de passer d’un résultat local à un résultat global. Pourtant comme le souligne Gayant (1997), il est quelque peu paradoxal de bâtir une mesure d’aversion au risque sur une fonction définie sur les seuls résultats et où n’apparaît aucun élément probabiliste.
.c Modèles univariés d’assurances sous le prisme de la TUE
Nous présentons ici le modèle d’assurance le plus basique, tel qu’il a été formulé par Mossin en 1968, ainsi que ses extension au cas continu. Mossin (1968) considère un individu de richesse initiale W faisant face à un risque représenté par la variable aléatoire X% à valeurs dans 0 [0, ]D avec D W< 0. Cet individu averse au risque a une fonction d’utilité (.)u telle que ' 0u > et
'' 0
u < . La compagnie d’assurance est supposée neutre au risque et propose ses produits à un prix déterminé par le marché. Sous sa forme la plus générale, un contrat d’assurance est caractérisé par une prime fixe (que l’assuré paye à l’assureur) et par une indemnité (versée par l’assureur à l’assuré) contingente au montant du dommage subi. Soit [ ( )]π I X la prime correspondant à une indemnité
( )
I X .45 Mossin se demande alors quelle est la quantité d’assurance achetée par l’individu dans un tel contexte. C’est alors que deux résolutions différentes sont proposées : l’une dans un cadre discret, l’autre dans un cadre continu.
Dans la version simplifiée de son modèle de demande d’assurance, Mossin fait l’hypothèse qu’un seul niveau de perte de montant D est possible avec une probabilité p . Un contrat d’assurance dans ce cas peut être assimilé à un couple ( , )α π où π désigne la prime d’assurance et
( )
I X
α = − π l’indemnité nette. D’après le principe indemnitaire, l’indemnité ne peut dépasser le montant de la perte : ( )I X ≤ D, ce qui se traduit ici par : α π+ ≤ D. Mossin remarque alors que pour que l’activité d’assurance existe, il faut que l’espérance de profit de la compagnie, qui s’écrit
( ) (1 )
E Π = − p π − pα , soit positive. Cela implique :
1 p p π τ α ≥ − = . En supposant que la
compagnie d’assurance propose l’ensemble des contrats correspondant à un tarif t fixé46, l’individu choisit alors le contrat qui est solution de :
0 0 ( , ) ( ) (1 ) ( ) : Max pu W D p u W SC t α π α π π α − + + − − =
La condition du premier ordre s’écrit : t(1− p u W) '( 0− tα )= pu W'( 0− D+ α ). La solution optimale vérifie alors : α π+ = D si t= τ et α π+ < D si t> τ . Autrement dit, si la prime est
45 La prime π a la forme suivante : [ ( )] (1π I X% = + λ) [ ( )]E I X% , où λ désigne le taux de chargement. Si λ =0, la prime π correspondante est alors appelée prime pure ou prime actuarielle.
actuarielle, la couverture optimale est une couverture totale, au contraire si la prime est chargée, la couverture optimale est une couverture partielle.
Mossin étend ensuite ce résultat à un cadre plus général. Pour cela il ne considère non plus un risque discret mais un risque continu. Par ailleurs il suppose que deux types de couvertures sont possibles pour assurer ce risque : des couvertures proportionnelles (pour lesquelles le schéma indemnitaire est de la forme ( )I Xγ = γ .X ) et des couvertures avec franchise (pour lesquelles le schéma indemnitaire est de la forme I XF( ) max(0,= X F− )). Pour ces deux types de couverture, Mossin (1968) montre que si la prime est actuarielle (λ = 0), la couverture optimale est une assurance complète (γ =* 1 ou F*= 0). Au contraire, si la prime d’assurance est chargée (λ > 0), la couverture optimale est une assurance partielle (γ <* 1 ou F* > 0). Se demandant ensuite comment varie le niveau de couverture en fonction du niveau de richesse initial, Mossin montre que lorsque la prime est chargée l’impact d’une hausse de revenu sur la demande d’assurance dépend des préférences de l’individu à l’égard du risque. Plus précisément, si l’individu a une fonction d’utilité de type DARA47 (respectivement IARA), alors suite à une hausse de revenu l’individu demandera moins (respectivement davantage) de couverture. Si au contraire l’individu a une fonction d’utilité de type CARA, alors une hausse de revenu n’aura pas d’impact sur le niveau de couverture préféré par l’individu.
.d Critiques du modèle de Mossin et extensions Des prévisions à l’encontre de la réalité
Deux des résultats obtenus par Mossin sont mis à mal par l’observation empirique. Dès que la prime est chargée (ce qui est généralement le cas), nous avons vu précédemment qu’il était optimal pour un individu qui maximise son espérance d’utilité d’obtenir une couverture partielle. Pourtant, lorsqu’on observe la vie économique, on constate que les individus n’insistent pas pour obtenir une couverture partielle quand ils souscrivent une police d’assurance. Comme le souligne Borch (1974), ce résultat est « against all observation » car, en dépit d'un chargement positif, les individus préfèrent bel et bien s'assurer totalement (Mossin, 1968), acceptant même de payer une
47 DARA pour Decreasing Absolute Risk Aversion : c’est-à-dire pour laquelle le coefficient d’aversion absolue au risque est une fonction décroissante de la richesse. Au contraire, ce coefficient est une fonction croissante de la richesse dans le cas d’une fonction IARA (Increasing Absolute Risk aversion)et constant pour une fonction CARA (Constant Absolute Risk aversion)
prime très supérieure à la prime actuarielle (Pashigian, Schkade et Menefee, 1966). Par ailleurs, lorsque le contrat impose une franchise, ils souhaitent qu'elle soit la plus faible possible (Schoemaker et Kunreuther, 1979). Kunreuther et al. (1978) montrent ainsi que 30 à 40% des décisions d'assurance sont incompatibles avec les prédictions du modèle TUE. Ensuite, si l’individu est de type DARA (autrement dit que son aversion au risque est une fonction décroissante de son niveau de richesse), alors sa demande d’assurance est une fonction décroissante de son revenu. Autrement dit, plus l’individu est riche, moins il est averse au risque et moins il demandera d’assurance. Or, si on montre empiriquement que l’aversion absolue pour le risque est bien une fonction décroissante du niveau de richesse, en revanche on ne constate pas que l’assurance est un bien inférieur (dont la demande est négativement corrélée au revenu). Si c’était le cas, les compagnies d’assurance devraient fleurir dans les nations pauvres et décliner dans les nations riches, ce qui est encore une fois contraire à l’observation. Au final ces mises en défaut de deux résultats majeurs du modèle de Mossin ont suscité des efforts de recherche très importants. Deux voies majeures ont été empruntées pour tenter de résoudre ces paradoxes : des travaux allant dans le sens d’un élargissement du cadre d’analyse et des travaux visant le développement de théories de choix en univers incertain alternatives à la théorie de l’utilité espérée.
Le recours à d’autres théories de choix en univers incertain
D’autres travaux dans la théorie de l’assurance optimale concernent notamment le remplacement de la théorie de l’utilité espérée par des généralisations récentes groupées sous le nom de «non expected utility analysis ». Ce programme de recherche est récent mais a d’ores et déjà produit quelques résultats intéressants. Utilisant la distinction entre aversion pour le risque d’ordre 1 et aversion pour le risque d’ordre 248, Segal et Spivak (1990) ont montré que le résultat de Mossin (1968) concernant l’optimalité d’une couverture partielle quand la prime était chargée ne tenait plus nécessairement quand l’aversion pour le risque était d’ordre 1. L’aversion pour le risque d’ordre 1 peut se produire dans un cadre TUE (si la fonction d’utilité n’est pas différentiable au point de dotation) ou sous certaines généralisations de ce modèle, comme le modèle de théorie duale de Yaari (1987), ou la théorie de l’utilité dépendant du rang développée par Quiggin (1982). En particulier, utilisant le modèle de Yaari, Doherty et Eeckhoudt (1995) ont montré que seule la pleine assurance ou la non assurance (solutions en coin) était optimales avec une assurance proportionnelle, quand la prime était chargée. Par contre, ils montrent qu’une solution intérieure (assurance partielle) peut être obtenue avec une couverture proportionnelle et une prime chargée si
48 L’ordre de l’aversion pour le risque, telle qu’elle a été définie par Segal et Spivak (1990), repose sur le comportement de la prime de risque dans le cas limite où le risque tend vers 0.
un risque est présent en arrière plan (la pleine assurance reste optimale si la prime est actuarielle). Machina utilise sa théorie de l’utilité espérée généralisée (Machina, 1982) et conclut que la plupart des résultats sont relativement robustes à la suppression de l’hypothèse de l’utilité espérée. Pourtant la généralité de sa conclusion est remise en question par Karni (1995) : Segal et Spivak (1990) ayant montré que la théorie de l’utilité espérée généralisée développée par Machina se caractérisait par une aversion au risque d’ordre 2.
Un élargissement de la portée
Comme le rappelle Loubergé (2000), une des avancée les plus significatives pour résoudre les paradoxes précédents est venue d’un élargissement de la portée de l’analyse. Cela a été possible au début des années 80 en dérivant de l’observation la conclusion logique que l’assurance est une indemnisation financière. Markowitz (1959) avait montré que la demande d’actifs financiers devait être envisagée dans un contexte de portefeuille, prenant en compte les corrélations imparfaites entre les rendements aléatoires des différents actifs. Le même genre de raisonnement a été appliqué à l’assurance par Mayers et Smith (1983), Doherty et Schlesinger (1983a) (1983b), Turnbull (1983) et Doherty (1984). Dans cette approche de type « portefeuille », qui fut assez tôt reconnue comme une avancée importante, la demande de couverture d’un risque par une assurance ne doit pas être étudiée isolément des autres risques auxquels le preneur de décision fait face : la demande d’assurance n’est pas séparable, même lorsque les risques sont indépendants (Eeckhoudt et Kimball, 1992). Lorsqu’on considère la demande d’assurance pour un risque, on a à prendre en compte les autres risques, la dépendance stochastique avec le premier risque, savoir s’ils sont assurables ou non, et sous quelles conditions (l’assurance obligatoire ou facultative). Ainsi, en faisant l’hypothèse que la corrélation est une mesure suffisante de dépendance, il peut être optimal d’assurer partiellement un risque qui est négativement corrélé à un autre risque, même si la prime est actuarielle. A contrario, il peut être optimal d’assurer pleinement un risque même si la prime est chargée, dès lors que ce risque est positivement corrélé à un autre risque inassurable. […] Ainsi le paradoxe de Mossin peut être résolu en changeant de perspective, au lieu de changer de modèle analytique.
Au final, nous retenons cette deuxième approche, en considérant une fonction d’utilité bivariée qui tient compte à la fois du revenu et l’état de santé.