O método FOSM (First-Order, Second Moment), se baseia no truncamento da função de expansão da Série de Taylor.
Segundo Griffith 2007, este método fornece aproximações analíticas para a média e o desvio padrão de um parâmetro de interesse, como uma função da média e desvio padrão dos vários fatores de entrada, e suas correlações.
O fato de não ser necessário o conhecimento da função de distribuição de probabilidade das variáveis aleatórias é uma vantagem deste método em relação a outros métodos probabilísticos, além de exibir cálculos matemáticos simplificados. É necessário apenas o conhecimento dos valores dos momentos das distribuições estatísticas das variáveis que formam a função. Porém, os requisitos matemáticos necessários às derivações (embora mais simples que de outros métodos exatos), que geralmente não são elementares, são apresentados como a desvantagem do método.
Considere F(x) uma função de variáveis aleatórias x1, x2,..., xN. Obviamente, para
avaliar a média e o desvio padrão das variáveis aleatórias, a função densidade de probabilidade conjunta de x1, x2,..., xN é necessária. No entanto, em muitas aplicações
práticas, a informação disponível sobre as variáveis aleatórias sobre a sua média e variância é limitada. A média aproximada e a variância da função F(x) podem ser estimadas por uma expansão da função da série de Taylor sobre os valores médios das variáveis aleatórias.
Segundo Harr (1987), a fórmula de Taylor para a expansão da função F(x) sobre o ponto x = , é:
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(4.14)
Onde:
- É o n-ésimo derivado avaliado para x = . - É o resto, o qual pode ou não ser zero.
A expansão da Série de Taylor de uma função de duas variáveis F(x,y) nos pontos , conservando somente termos de 1a ordem (lineares), produz a Equação 4.15:
(4.15)
Onde todas as derivadas são estimadas para x = e y = .
Tomando e para serem os respectivos valores esperados das variáveis e aplicando o formulário para distribuições bivariadas, tem-se as aproximações:
(4.16)
(4.17)
Onde novamente todas as derivadas são estimadas para os valores esperados das variáveis.
Para N variáveis aleatórias não correlacionadas, F(x1, x2, ..., xN), conservando somente
39 ) (4.18) (4.19) Onde:
E[F]- Valor médio esperado para F
V[F]- Variância de F, igual ao desvio padrão ao quadrado
δFi- Variância de F que ocorre quando se varia δxi para cada um dos N parâmetros xi
δxi- Taxa de variação das variáveis envolvidas
V[xi]- Variância de cada um dos parâmetros xi.
A aproximação realizada pelo método FOSM só fornece estimativas da média e desvio padrão, o que não é suficiente para a avaliação da probabilidade de falha. Logo, para estimá-la deve-se assumir a função de distribuição para o fator de segurança de antemão.
O Índice de Confiabilidade do Fator de Segurança () é uma aplicação direta do método FOSM, e vem sendo muito utilizado na avaliação estatística do fator de segurança de taludes. Ele é calculado da seguinte forma:
(4.20)
Onde:
E[FS] é o valor do fator de segurança determinístico calculado com os parâmetros médios;
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[FS] é o desvio-padrão do coeficiente de segurança.
O método FOSM também correlaciona o Índice de Confiabilidade () com a probabilidade de ruptura, desde que se conheça a forma de distribuição do FS, conforme apresentado na figura 4.5. A probabilidade de ruptura é expressa por seu inverso, 1/P[R]. Logo, se a P[R] for igual a 1:30, a probabilidade é de 0,033 (ou 1/30). Ela também pode ser expressa em porcentagem, multiplicando o seu valor por 100, ou seja, a probabilidade 0,033 seria expressa por 3%.
Figura 4.5: Probabilidade de ruptura versus Índice de Confiabilidade para várias distribuições (Baecher, 2003).
A figura 4.6 mostra a função densidade de probabilidade do coeficiente de segurança para uma distribuição normal. A probabilidade de ruptura se refere à área em que a curva de densidade de probabilidade do FS corresponde a valores inferiores a 1,0. Nesta figura pode-se observar que as duas curvas apresentam o mesmo Fator de Segurança, porém a curva 1 apresenta um Índice de Confiabilidade () maior que a curva 2, por apresentar um desvio padrão menor. Logo, a probabilidade de ruptura PR é muito maior na curva 2 que na curva 1, devido à maior incerteza dos parâmetros. Da mesma forma, pode ocorrer de curvas com fatores de segurança diferentes, em que a curva que apresenta maior FS possui um desvio padrão maior, apresentando
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consequentemente uma maior probabilidade de ruptura em comparação à curva que apresenta um menor FS (Figura 4.7).
Figura 4.6: Distribuição de probabilidade do Fator de Segurança para FS iguais (adaptado de Phoon, 2008).
Figura 4.7: Distribuição de probabilidade do Fator de Segurança para FS diferentes (Assis, A.P., et al. 2012-Apostila do curso de Pós-Graduação em Geotecnia, UNB).
NOTA
A ÁREA SOB AS CURVAS É UNITÁRIA FR EQ U ÊN C IA R EL A TIV A COEFICIENTE DE SEGURANÇA DISTRIBUIÇÃO "A" E[FS] = 1,20 2 P[R]=1;50 =[FS]=0,1 DISTRIBUIÇÃO "B" E[FS] = 1,50 P[R]=1;7 FS P[R] PROBABILIDADE DE FS IGUAL A ESTA ÁREA
0 0,5 1,5 2 2,5 3 1 1 2 3 4
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Os procedimentos computacionais utilizados para avaliar o índice de confiabilidade revelam também quais os parâmetros que mais contribuem para a incerteza no FS, através do cálculo da variância do coeficiente de segurança, V[FS], onde se obtém as parcelas de variância do FS causadas por cada um dos parâmetros (, c, , piezometria, etc.) envolvidos no cálculo do mesmo. Dessa forma, os parâmetros que mais contribuem para a incerteza e os que mais influenciam no cálculo do FS são identificados.
A probabilidade de ruptura obtida por meio da avaliação de FS não indica a probabilidade real ou global de ruptura, mesmo se todos os parâmetros geotécnicos e geométricos variáveis forem considerados, pois muitos outros fatores de risco influenciam na probabilidade real de ruptura. Logo, é necessário estabelecer o valor aceitável do índice ou da probabilidade de ruptura a ele associada, a depender do tipo de obra, e principalmente das consequências. Neste caso, a experiência juntamente com as retroanálises de projetos existentes ajudará a determinar o valor de aceitável.
No gráfico (Figura 4.8) de Whitman (1984) pode-se observar a probabilidade de ruptura e as suas consequências para uma mina de grande porte bem desenvolvida e com poucas rupturas observadas, permitindo estabelecer um critério específico. As retroanálises das rupturas indicam valores de menores ou pouco maiores do que 1,0 (probabilidade de ruptura na faixa de 1:4 a 1:20). As análises de diversos taludes estáveis produziram valores de entre 1,8 e 3,0, indicando uma probabilidade de ruptura entre 1:30 e 1:1000. Assim decidiu-se por um valor de = 2,0, ou seja, probabilidade de ruptura menor que 1:50.
Vale ressaltar que os taludes da mina estudada por Whitman (1984), são taludes de cava simples, sem infraestrutura a seu redor, por isso uma probabilidade de ruptura de 1:50 é aceitável, pois sabe-se que as consequências são pequenas, somente no interior da cava. Já para cavas que possuem ferrovias, pátios de carregamento, plantas industriais nas vizinhanças, as consequências são enormes caso a ruptura ocorra, logo, a probabilidade de falha para estas cavas deve ser menor que esta. Portanto, quanto maiores as consequências, menores serão as probabilidades de rupturas aceitas.
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Figura 4.8 - Valores usuais de probabilidade e consequências de ruptura em projetos de engenharia (modificado - Whitman, 1984).