2.2 Reformulation du modèle dynamique dans l’espace Cartésien en fonction
2.2.1 Reformulation du modèle dynamique
Tout d’abord, dans une utilisation orientée commande articulaire, nous avons vu que l’Equation 1.11 est généralement implémentée comme présenté par la Figure 1.20. Il appa- raît une multitude de calculs notamment au moment du passage articulaire vers Cartésien puis Cartésien vers articulaire. De plus, par habitude de la robotique sérielle, les variables articulaires passives sont complètement calculées et le modèle dynamique des jambes est laissé sous la forme de l’algorithme de Paul [LWP80a, Pau81]. Nous allons donc montrer que certains calculs sont inutiles et proposer une mise en oeuvre de l’Equation 1.11 plus simple. Pour plus de clarté, nous travaillons terme par terme : modèle dynamique de l’effecteur, modèle dynamique des jambes et enfin modèle dynamique du robot :
Γ = DT FP |{z} Ef f ecteur + n X i=1 JpiTJ −T i Γi(qi, ˙qi, ¨qi) | {z } J ambes | {z } Robot (2.1) Dynamique de l’effecteur
Tout d’abord, il est possible d’écrire simplement la dynamique de l’effecteur de la manière suivante :
FP = AP(X) ¨X + HP(X, ˙X) (2.2)
où AP est la matrice d’inertie de l’effecteur, HP le vecteur des force de Coriolis, cen-
trifuge et de gravité. Sous cette écriture, ces termes ont une expression analytique. En effet, le mouvement de la plateforme est donné par la pose de l’effecteur et ses dérivées temporelles.
Dynamique des jambes
Le modèle dynamique des jambes peut être écrit sous la formulation de Lagrange :
Γi = Ai(qi)¨qi+ Hi(qi, ˙qi) (2.3)
Ainsi, il est possible de réécrire la dynamique de jambe en se basant sur les travaux de Khatib [Kha87] :
.Γi = Ai(qi)(JXi(qi, X) ¨X + ˙JXi(qi, X) ˙X) + Hi(qi, ˙qi) (2.4)
où :
– Aiest la matrice d’inertie de la jambe i, dépendant des variables articulaires passives
– Hi est le vecteur des forces de Coriolis, centrifuges et de gravité, dépendant des
variables articulaires passives
– JXi = JiJpi est la matrice jacobienne de la jambe dans le repère Cartésien, elle
dépend des variables articulaires passives (Ji) mais aussi de la pose de l’effecteur
(Jpi)
Dynamique complète du robot
Il est alors possible de réutiliser l’ Equation 2.2 et l’ Equation 2.4 dans l’ Equation 1.11 de la dynamique du robot : Γ = D−T inv(X) (AP(X) + AXi(qi, X)) ¨X + HP(X, ˙X) + HXi(qi, ˙qi, X, ˙X) (2.5) où :
– AXi(qi, X) = Pni=1JXiT (qi, X)Ai(qi)JXi(qi, X) est la matrice d’inertie des jambes
2.2 Reformulation du modèle dynamique dans l’espace Cartésien en fonction de la pose de l’effecteur – HXi(qi, ˙qi, X, ˙X) = Pn i=1 JT Xi(qi, X)Hi(qi, ˙qi) + JXiT (qi, X)Ai(qi) ˙JXi(qi, X, ˙X) ˙X est le vecteur des forces de Coriolis, centrifuges et de gravité exprimés dans le repère Cartésien
Il faut noter que nous préférons ici utiliser la notation D−1
inv qui a plus de sens pour
un robot parallèle que D qui n’existe généralement pas.
Tous les termes de l’Equation 2.5, hormis D−invT, ont généralement une expression ana-
lytique. Il est donc possible d’obtenir une expression minimale en regroupant un maximum de termes, voir de faire des simplifications à posteriori.
A première vue, ce modèle ne semble pas être uniquement fonction de la pose de l’ef- fecteur et de ses dérivées temporelles. En effet, il reste toujours les variables articulaire qi. Cependant, il faut rappeler que ces variables peuvent être analytiquement exprimées
en fonction de la pose de l’effecteur. Finalement, il n’est donc pas interdit d’écrire l’Equa- tion 2.5 uniquement en fonction de la pose de l’effecteur et de ses dérivées temporelles :
Γ = D−T inv(X) (AP(X) + AXi(X)) ¨X + HP(X, ˙X) + HXi(X, ˙X) (2.6) Il est enfin possible de regrouper les contributions de l’effecteur et des jambes en un seul terme : Γ = D−T inv(X) AP+Xi(X) ¨X + HP+Xi(X, ˙X) (2.7) Ceci n’a pas un grand intérêt d’un point de vue compréhension du modèle. Cepen- dant, il est alors possible d’obtenir une implémentation très simple du modèle dynamique permettant de garantir un temps de calcul minimal. De plus, quand la matrice jacobienne directe est définie, il est préférable d’utiliser une expression analytique du modèle dyna- mique. En effet, le recours à la matrice D analytique permette de filtrer les contributions dynamiques sans influence. L’expression et donc l’implémentation du modèle dynamique peuvent être simplifiées.
Simplification des calculs
Il également possible d’aller plus loin dans la simplification des calculs en regardant comment sont utilisées les variables articulaires dans les matrices Ai, Hi et Ji. En effet,
elles n’interviennent que lorsqu’elles caractérisent une articulation rotoïde. Dans le cas d’une liaison prismatique, il n’y a simplement que le terme unité. Dans le cas d’une liaison rotoïde, les termes présents sont des fonctions trigonométriques des variables articulaires (sinus, cosinus voir tangente). Or ces fonctions trigonométriques sont généralement des fonctions triviales de la pose de l’effecteur (souvent une forme quadratique issue du théo- rème de Pythagore généralisé). Il est donc possible d’écrire très simplement le modèle dynamique en fonction de la pose de l’effecteur sans recourir à des inversions inutiles de fonctions trigonométriques.
Résumé
Nous proposons donc une reformulation du modèle dynamique utilisé par Khalil et Guégan (Equation 1.11) dans l’optique d’une utilisation en commande Cartésienne. Tous les termes sont exprimés uniquement en fonction de la pose de l’effecteur. Le modèle
Méthode classique Méthode proposée
Calcul de X, ˙X et
¨
X Par modèles directs Mesure
Calcul des qi Complet
Simplifié (fonctions
trigonométriques uniquement) Calcul de ˙qi et q¨i
Par modèles dépen- dant des qi estimées
Par modèles dépen- dant de X mesurée
Calcul de Γi Par l’algorithme de
Newton-Euler
Par un modèle dyna- mique Cartésien ana- lytique
Projection dans
l’espace Cartésien Par J
T pi(X)JiT(qi) Projection dans l’espace articulaire actif Par DT(q) Par D−T inv(X)
Tab. 2.1 – Mise en oeuvre comparée des deux méthodes de modélisation dynamique
dynamique de jambes utilisé est exprimé de manière analytique et non sous la forme de l’algorithme de Paul. Les variables articulaires décrivant des liaisons rotoïdes ne sont pas complètement déterminées puisque seules les fonctions trigonométriques sont utili- sées. Il serait alors intéressant de comparer l’implémentation faite par Guégan et notre implémentation.