A primeira tentativa de traduzir as combinações probabilísticas de carga em coeficientes parciais de segurança foi realizado por CIRIA (1977). Na atualidade a maioria das normas de projeto estrutural implementam esses coeficientes, tendo em vista estabelecer uma margem de segurança, tanto para as resistências quanto para a ações.
Desde que o projeto das estruturas passou a ser possível mediante cálculo matemático, as estruturas sempre foram projetadas para resistir a cargas consideravelmente maiores que as inicialmente apresentadas (Beeber, 1994). Historicamente há dois procedimentos básicos que permitem levar em consideração essas cargas majoradas, os quais utilizam uma análise de confiabilidade não sofisticada. Esses procedimentos são compostos por duas considerações:
1. incrementa-se a solicitação por um fator de segurança, e demonstra-se que a estrutura ou o elemento estrutural considerado consegue suportar a carga incrementada. Simbolicamente é dado pela expressão (8.12):
𝛾𝑠𝑆 ≤ 𝑅 ( 8.12 )
MATLAB ABAQUS
β 2,21 2,32
1,36E-02 1,02E-02 𝑷𝒇
2. limita-se a tensão no material a uma fração da sua tensão de falha e demonstra-se que, sob as condições esperadas de carga, a tensão não excederá o valor permitido. Simbolicamente é dado pela expressão (8.13):
𝑆 ≤ 𝑅
𝛾𝑅 ( 8.13 )
sendo 𝑆 e 𝑅 a solicitação e a resistência, respectivamente, 𝛾𝑠 e 𝛾𝑅 os fatores de segurança para
a solicitação e a resistência, respectivamente.
Como uma forma de avaliar a margem de segurança, foi introduzido o cálculo de coeficientes que fossem individuais (parciais) para cada tipo de material e solicitação envolvidos no problema. Através da obtenção desses coeficientes também foi apresentado o conceito de valor característico, como se mostra na equação (8.14):
𝛾𝑆𝑆𝑘 ≤ 𝑅𝑘⁄𝛾𝑅 ( 8.14 ) sendo 𝑆𝑘 e 𝑅𝑘 os valores característicos da solicitação e da resistência respectivamente, os quais são definidos pelas expressões (8.15) e (8.16):
𝑆𝑘= 𝜇𝑆+ 𝑢𝑠𝜎𝑆 ( 8.15 )
𝑅𝑘 = 𝜇𝑅 − 𝑢𝑅𝜎𝑅 ( 8.16 ) As expressões acima são derivadas da equação (6.19) utilizada no Capitulo 6 do presente trabalho, e aqui reproduzida pela equação (8.17):
𝑥 = 𝜇𝑋− 𝑢𝜎𝑋 ( 8.17 ) Para a obtenção dos coeficientes parciais de segurança, é utilizado o método FORM, o qual foi descrito no Capítulo 5 do presente trabalho. Desse método são aproveitados os valores do índice de confiabilidade 𝛽, e das variáveis aleatórias no ponto de projeto.
O ponto de projeto é definido pela equação (8.18), e representa o ponto onde se encontra a maior probabilidade de falha:
sendo
𝛽𝑥= 𝛼𝑥𝛽 ( 8.19 )
onde 𝛼𝑥 é o fator de sensibilidade calculado no item 6.3.2.
Finalmente os valores dos coeficientes parciais tanto para as solicitações quanto para as resistências, descritas nas funções estado limite 𝐺1 e 𝐺2 no Capitulo 6, podem ser calculados com as expressões (8.20) e (8.21): 𝛾𝑆 = 𝑆 ∗ 𝑆𝑘 ( 8.20 ) 𝛾𝑅 = 𝑅𝑘 𝑅∗ ( 8.21 )
Segundo Vrouwenvelder e Siemes (1987), os coeficientes parciais da resistência ou das solicitações, quando dependem de um conjunto de variáveis aleatórias, podem ser obtidos calculando-se seu valor em função do ponto de projeto 𝑋𝑖∗.
Por exemplo, na Função Estado Limite 𝐺1, a resistência está dada pelas expressões (8.22) e (8.23): 𝑀𝑛 = 𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑠(𝑑𝑝− 𝑎 2) ( 8.22 ) 𝑀𝑛∗ = 𝐴𝑝𝑠∗ 𝑓𝑝𝑠∗ (𝑑𝑝∗ −𝑎 ∗ 2) ( 8.23 )
onde 𝑀𝑛 é o valor do momento resistente característico ou nominal e 𝑀𝑛∗o valor do momento
resistente no ponto de projeto (MPP).
O coeficiente parcial de segurança para a resistência da Função Estado Limite 𝐺1 é descrita pela equação (8.24):
𝛾𝑅 = 𝑀𝑛
𝑀𝑛∗ ( 8.24 )
Com o procedimento e as expressões anteriormente descritas, foram calculados os coeficientes parciais de segurança para a resistência e para as solicitações que foram
consideradas nas Funções Estado Limite 𝐺1 e 𝐺2. Na Tabela 8.14 podem ser observados os valores dos coeficientes.
Tabela 8.14 Coeficientes parciais de Segurança.
sendo 𝑓𝑡𝑟 a tensão à tração resistente do concreto.
Os coeficientes parciais de segurança estabelecidos na norma AASHTO LRFD e na NBR-6118/2014 estão resumidos nas Tabelas 8.15 e 8.16, respectivamente.
Tabela 8.15 Coeficientes parciais de Segurança Segundo AASHTO LRFD.
Tabela 8.16 Coeficientes parciais de Segurança Segundo NBR6118.
As equações (8.25) e (8.26) expressam as combinações de carga aplicando os coeficientes parciais de segurança para as duas Funções Estado Limite:
Nominal MPP Nominal MPP [kN.m] 6371,29 6606,24 0,96 [kN/m2] 2993,33 3375,54 0,89 Nominal MPP Nominal MPP [kN.m] 1313,94 1445,74 1,10 [kN/m2] 29116,02 30671,72 1,05 [kN.m] 2066,47 5040,43 2,44 [kN/m2] 10132,11 11099,87 1,10 [kN/m2] 15939,44 22021,17 0,72 Coeficientes parciais de segurança
Resistência Ação 𝑺 𝑺 𝑀𝑛 𝑀𝐷𝐶 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 𝑓𝑡𝑟 𝑓𝑝𝑏 𝑓𝐷𝐶𝑏 𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏 1,00 1,00 1,25 1,00 1,75 1,00 0,80 𝑀𝑛 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 𝑺 𝑓𝑝𝑏 𝑓𝐷𝐶𝑏 𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏 𝑺 𝑺 𝑀𝐷𝐶 𝑓𝑡𝑟 1,40 1,00 1,40 1,00 1,40 1,00 0,50 𝑀𝑛 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 𝑺 𝑓𝑝𝑏 𝑓𝐷𝐶𝑏 𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏 𝑺 𝑺 𝑀𝐷𝐶 𝑓𝑡𝑟
1
𝛾𝑅𝑀𝑢 ≥ 𝛾𝑆𝑀𝐷𝐶+ 𝛾𝑆 𝑀𝐷𝑊+ 𝛾𝑆𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 ( 8.25 ) 1
𝛾𝑅
𝑓𝑡𝑟 ≥ 𝛾𝑆𝑓𝑝𝑏+ 𝛾𝑆𝑓𝐷𝐶𝑏 + 𝛾𝑆𝑓𝐷𝑊𝑏 + 𝛾𝑆𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏 ( 8.26 )
Substituindo-se os valores dos coeficientes, obtêm-se para a Função Estado Limite 𝐺1
as combinações com os coeficientes calculados, segundo a AASHTO LRFD, e segundo a NBR-6118/2014 nas expressões (8.27), (8.28) e (8.29), respectivamente:
1,04 𝑀𝑢 ≥ 1,10 𝑀𝐷𝐶+ 1,50 𝑀𝐷𝑊+ 2,44 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 ( 8.27 )
𝑀𝑢 ≥ 1,25 𝑀𝐷𝐶+ 1,50 𝑀𝐷𝑊+ 1,75 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 ( 8.28 )
0,71 𝑀𝑢 ≥ 1,4 (𝑀𝐷𝐶+ 𝑀𝐷𝑊) + 1,4 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 ( 8.29 )
Substituindo-se os valores dos coeficientes, obtêm-se para a Função Estado Limite 𝐺2 as combinações com os coeficientes calculados, segundo a AASHTO LRFD, e segundo a ABNT NBR-6118/2014 nas expressões (8.30), (8.31) e (8.32), respectivamente:
1,12 𝑓𝑡𝑟 ≥ 1,05𝑓𝑝𝑏+ 1,10 𝑓𝐷𝐶𝑏 + 𝑓𝐷𝑊𝑏+ 0,72 𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏 ( 8.30 )
𝑓𝑡𝑟 ≥ 𝑓𝑝𝑏+ 𝑓𝐷𝐶𝑏 + 𝑓𝐷𝑊𝑏 + 0,8 𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏 ( 8.31 )
𝑓𝑡𝑟 ≥ 𝑓𝑝𝑏+ 𝑓𝐷𝐶𝑏 + 𝑓𝐷𝑊𝑏 + 0,5 𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏 ( 8.32 )
Como a variável 𝐷𝑊 foi estabelecida como determinística na análise de confiabilidade para uma ponte em concreto protendido, os valores dos coeficientes parciais 𝛾𝑠 para as variáveis 𝑀𝐷𝑊 e 𝑓𝐷𝑊𝑏 nas expressões (8.27) e (8.30) não poderão ser calculados, portanto assumem-se
iguais aos estabelecidos na norma AASHTO LRFD devido a que o projeto da estrutura foi baseado nos critérios dessa norma. Os coeficientes a serem comparados são os definidos nas Tabelas 8.14, 8.15 e 8.16.
Comparando-se os fatores e os coeficientes parciais atualmente estabelecidos nas normas AASHTO LRFD (2012) e NBR 6118 (2014), observa-se que para o estudo de caso implementado a norma americana para estruturas em concreto protendido mantém a margem de segurança no Estado Limite Último aumentando as ações que solicitam a estrutura, enquanto a normal brasileira além de ponderar os efeitos das ações também diminui a resistência quase em 30%.
Com o fim de ver de uma forma mais clara a diferença entre as margens de segurança que usa cada norma, rearranjam-se as expressões 8.27 e 8.29 da forma especificada em (8.33) e (8.34), respectivamente:
0,962(0,97 𝑀𝑢) ≥ 0,962(1,10 𝑀𝐷𝐶+ 1,50 𝑀𝐷𝑊+ 2,44 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀)
1,00 𝑀𝑢 ≥ 1,06 𝑀𝐷𝐶+ 1,44 𝑀𝐷𝑊+ 2,35 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 ( 8.33 )
1,41(0,71 𝑀𝑢) ≥ 1,41(1,4 (𝑀𝐷𝐶+ 𝑀𝐷𝑊) + 1,4 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀)
1,00 𝑀𝑢 ≥ 1,97 (𝑀𝐷𝐶 + 𝑀𝐷𝑊) + 1,97 𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 ( 8.34 )
Dessa forma, pode-se notar que par ao caso estudado:
1. nas três combinações (8.28), (8.33) e (8.34) o coeficiente parcial para a ação variável é maior do que o coeficiente que pondera a ação permanente;
2. a norma NBR-6118 estabelece coeficientes parciais de segurança maiores para as ações permanentes em comparação à AASHTO LRFD e aos obtidos através da análise de confiabilidade realizada no presente trabalho;
3. o coeficiente parcial obtido na expressão (8.33) para a ação variável é maior do que as estabelecidas nas normas de projeto mencionadas.
Rearranjando-se igualmente a expressão (8.30), obtém-se a combinação (8.35): 0,9(1,12 𝑓𝑡𝑟) ≥ 0,9(1,05 𝑓𝑝𝑏+ 1,12 𝑓𝐷𝐶𝑏 + 𝑓𝐷𝑊𝑏 + 0,73 𝑓𝐿𝐿+𝐼𝑀𝑏)
A expressão (8.35) mostra uma combinação de ações para um Estado Limite de Serviço com coeficientes parciais menores que os estabelecidos na norma de projeto AASHTO LRFD, porém próximos aos estabelecidos na norma de projeto NBR-6118. Com base nessa comparação destaca-se que para o Estado Limite de Serviço analisado para a ponte La parrquia, a AASHTO LRFD estabelece uma margem de segurança maior que a NBR-6118.