Reconstruction numérique du profil de résistivité

Cette étude numérique a pour objectif de démontrer la capacité du dispositif à remonter au profil de résistivité « vraie » sur toute la profondeur sans procédure d’inversion. La procédure de simulation numérique est identique à celle présentée au paragraphe 4.1.1 ; pour chaque configuration d’électrodes, les facteurs géométriques sont calculés dans un milieu homogène puis les résistivités apparentes sont calculées dans un milieu auquel on impose un profil de

résistivité vraie suivant une fonction de Weibull (𝑘 = 3 ; 𝜆 = 1/13 m ; 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 400 Ω.m ;

𝜌𝑚𝑖𝑛 = 50 Ω.m) (paragraphe 4.1.2).

Dans cette partie, nous modélisons les dispositifs dans des éprouvettes cylindriques. La forme et les dimensions des électrodes et des grilles sont modélisées avec une précision élevée afin

C1 C2 P1 P2 C1 P2 C2 P1 C1 P2 P1 C2 Wec_a2 Q_I16 Q_I12 Q_carre C1 P2 P1 C2

73 que la géométrie du modèle soit identique à celle décrite sur les Figures 4-20 (b), 4-21 et 4- 22.

Nous avons modélisé un échantillon de béton cylindrique ayant un diamètre de 11 cm et une longueur de 22 cm. Deux grilles métalliques (Figure 4-20 (b)) sont noyées à 5 mm des bords de la surface de l’échantillon. Le dispositif Echelle est modélisé et placé au centre du cylindre, perpendiculairement aux faces opposées du cylindre et donc parallèle à la direction du profil de résistivité à générer (Figure 4-26 (a)). Nous observons dans la Figure 4-26 (a) que la configuration Transmission génère des lignes de courant presque parallèles entre les grilles (Badr et al., 2019b).

(a) (b)

Figure 4-26 Modélisation numérique de la réponse des dispositifs à un profil de résistivité vraie avec une vue 3D des lignes de courant : (a) dispositif Echelle, (b) dispositif Anneau.

Nous avons modélisé un échantillon de béton cylindrique ayant un diamètre de 16 cm (pour faciliter la mise en place des dispositifs Anneau dans l’éprouvette) et une longueur de 22 cm. Comme nous serons limités par le nombre des dispositifs dans la direction du profil de

résistivité, compte tenu de la dimension des granulats (Dmax = 12 mm), trois dispositifs

Anneau sont modélisés au centre du cylindre à des profondeurs différentes z = 5,5 cm, 11 cm et 16,5 cm, parallèlement aux faces opposées du cylindre et donc perpendiculairement à la direction du profil de résistivité à générer (Figure 4-26 (b)). Nous obtenons donc 3 mesures de résistivité apparente dans la profondeur du béton.

Afin de comparer la capacité des dispositifs Echelle et Anneau à nous permettre de remonter au profil de résistivité vraie dans le modèle, nous avons tracé le profil de résistivité apparente simulée sur la Figure 4-27 en fonction de la profondeur pour chaque dispositif. L’écart relatif

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entre la distribution de résistivité vraie imposée et les résistivités apparentes simulées est faible pour le dispositif Echelle et plus élevée pour le dispositif Anneau.

(a) (b)

Figure 4-27 Profils de résistivité apparente simulés et comparés au profil de résistivité vraie: (a) en utilisant les configurations Transmission et Wenner du dispositif Echelle, (b) en utilisant les configurations (Wec_a2, Q_I12, Q_I16 et Q_Carre) du dispositif Anneau.

L’erreur quadratique moyenne normalisée (NRMSE) est calculée entre le profil vrai et les profils simulés pour le dispositif Echelle. Une NRMSE de 0,36% est obtenue pour la configuration Transmission et 3,98% pour la configuration Wenner. Un écart plus grand est observé pour la configuration Wenner, ce qui peut être expliqué par la différence de volume d’investigation de béton étudié entre les deux configurations du dispositif (Figure 4.24). Ce résultat prometteur prouve la capacité du dispositif Echelle à estimer le profil de résistivité électrique avec une bonne résolution pour les deux configurations, uniquement à partir des mesures de résistivité apparente. De ce fait, nous proposerons en première approche de nous affranchir du processus d’inversion théoriquement nécessaire pour passer de la résistivité apparente à la résistivité réelle.

Concernant le dispositif Anneau, nous remarquons que l’écart relatif entre la résistivité vraie et la résistivité apparente simulée augmente là où le gradient de résistivité (imposé) dans le modèle est le plus fort. En effet, le dispositif Anneau permet d’obtenir une résistivité apparente moyenne sur une certaine profondeur. Quand l’écart de résistivité devient plus faible (z > 12 cm), la résistivité apparente calculée devient proche de la « vraie » valeur. Ainsi, en moyenne, l’écart relatif est faible aux profondeurs 11 cm et 16,5 cm (7,22% et 5,31% respectivement), et relativement élevé à 5,5 cm de profondeur (32,67%) où le gradient de résistivité est plus grand. Par conséquent, une procédure d'inversion numérique sera sans doute nécessaire pour obtenir plus précisément le profil de résistivité vraie, en particulier dans ces zones de fort gradient.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 ρa (Ω .m) z (cm) Profil vrai Trans Wen 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 ρa (Ω .m) z (cm) Profil vrai Wec_a2 Q_I12 Q_I16 Q_Carre

75 De plus, nous avons observé que cet écart relatif diminue quand l’espacement entre les électrodes diminue. C’est pourquoi nous avons modélisé les trois dispositifs Anneau avec 16 électrodes espacées d’un angle α = 22,5°. Nous avons tracé le profil de résistivité apparent dans la Figure 4-28 en fonction de la profondeur. Il est évident, d'après cette figure, que l’écart relatif entre la résistivité vraie et les résistivités apparentes simulées a diminué. On note des valeurs de 15,55%, 3,48% et 2,66% aux profondeurs 5,5 cm, 11 cm et 16,5 cm respectivement.

Figure 4-28 Profils de résistivité apparente simulés et comparés au profil de résistivité vraie en utilisant les configurations (Wec_a2, Q_I12, Q_I16 et Q_Carre) du dispositif Anneau.

La résolution est donc améliorée quand l’espacement inter-électrodes diminue. Ce résultat avait déjà été démontré dans la section 4.1.4.2 ; plus la distance inter-électrodes est faible, plus la résistivité apparente mesurée (ou simulée) se rapproche de la vraie résistivité du milieu. Cependant, nous sommes limités par le nombre total d’électrodes sur la profondeur (32 ou 64 électrodes selon les appareils utilisés dans ce travail) ; si le nombre d’électrode par Anneau augmente, le nombre total des Anneau diminue et la résolution diminue. Ainsi, un compromis a été trouvé entre le nombre de dispositifs Anneau en profondeur et le nombre d’électrodes par dispositif. Nous avons envisagé 4 dispositifs Anneau (dans 30 cm de profondeur) ayant 8 électrodes chacun. Nous respectons ainsi la résolution souhaitée (5 cm à cœur) et nous intégrons la variabilité latérale de la résistivité et donc de la teneur en eau. Des mesures inter-anneaux peuvent être réalisées pour augmenter la résolution à cœur si besoin (paragraphe 5.4.4).